2.Интерполяционные квадратурные формулы наилучшей алгебраической точности

Постановка задачи

В предыдущем пункте было доказано, что используя nузлов интерполяции функцииf(x), можно получить квадратурные формулы, точные для многочленов степени , не превосходящей (n-1).

Необходимо построить такую квадратурную формулу, которая при заданном nбыла бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени (квадратурная формула улучшенной алгебраической точности).

Докажем их существование и точность для любого многочлена степени,не превосходящей (2n-1).

Теорема 2 Квадратурная формула (1) точна для любого многочленаP_k(x),

k≤ (2n-1) тогда и только тогда, когда

1)она – интерполяционная;

2)ω_n(x) ортогональна с весомq(x) любому многочлену степениk≤ (n-1).

Доказательство

Пусть формула (1) точна для любого многочленаP_k(x),k≤ (2n-1).

Тогда выполняются условие Теоремы 1.

Рассмотрим многочлен P_2n-1=ω_n(x)P_n-1(x)+Q_n-1(x):P_2n-1(x_k)=Q_n-1(x_k),k=1..n.

По условию , гдеA_kвычисляются по формуле (2).

С другой стороны, .

Полученные формулы верны для любых многочленов степени, не превосходящей (n-1), в частности и дляQ_n(x)≡0. Тогда получим:

.

Пусть выполняются условия 1), 2). ПустьP_2n-1– произвольный многочлен степени (2n-1). Тогда он представим в виде:

P_2n-1=ω_n(x)p_n-1(x)+q_n-1(x) иP_2n-1(x_k)=q_n-1(x_k),k=1..n.

Следовательно, .

Первое слагаемое равенства равно 0 из условия 2).

Второе слагаемое равняется из Теоремы 1: , гдеA_kвычисляются по формуле (2).

Что и требовалсь доказать.

3.Ортогональные многочлены и их свойства

Многочлены S_n(x),n=0,1…ортогональны на (a;b) с весом q(x)≥0, если:

.

Ортогональные многочлены обладают следующими свойствами:

1⁰. Всякий многочленP_n(x) может быть представлен в виде, гдеC_k– коэффициенты разложения.

Доказательство

Докажем существование таких коэффициентов C_k.

Умножим последнее равенствоскалярно на qS_m,m=0,1..n. Получим:

Единственность такого разложения следует из построения.

Что и требовалось доказать.

2⁰. Всякий многочленP_nортогоналенS_mс весомq(x), еслиn<m.

Доказательство

Пусть n<m.

Из свойства 1 многочлен P_n(x) представим в виде:

.

Умножим скалярно равенство на q(x)S_m(x). Получим:.

Что и требовалось доказать.

3⁰. S_n(x) имеет на [a;b] всеnнулей, более того все они – простые.

Доказательство

Предположим, что S_n(x) имеет на [a;b] лишьk<nнулей, которые являются простыми (x₁..x_k).

Тогда многочлен вида не меняет знак на [a;b], а значит.

С другой стороны, многочлен имеет степеньk<n, а значит по свойству 2:

Противоречие доказывает требуемое.

Таким образом, выбирая для квадратурной формулы x_kкак нули многочлена степениnиз некоторой ортогональной системы многочленов на [a;b], получим выполнение условия 2) Теоремы 2 (из свойства 2 ортогональных многочленов). А значит, интерполяционная квадратурная формула становится формулой наилучшей алгебраической точности.

Например, если необходиом найти интеграл на [-1;1], то узлы выгодно рассматривать, равные нулям многочлена Чебышева. Тогда интеграл примет вид:

. Вместо функцииf(x) будем рассматривать функциюв квадратурной формуле.