Математика МУ к КР ЗФО 24.04

31

z

= 5 −i ± − 2i .

1,2

4 + 2i

Отсюда

z =

5 −i + (1 −i)

=

6 − 2i

=

3 −i

=

(3 −i)(2 −i)

=

5 −5i

=1 −i

4 + 2i

4 + 2i

2 + i

(2 + i)(2 −i)

5

1

z2 =

5 −i −(1−i)

=

4

=

2

=

2(2 −i)

=

4

−

2

i

4 + 2i

4 + 2i

2 +i

(2 +i)(2 −i)

5

5

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Рассмотрим полярную систему координат на плоскости, совместив полюс с началом координат, а полярную ось направив по оси OX. Тогда комплексному числу z = x + iy ≠ 0 будут соответствовать полярные координаты

r и ϕ. Число r называют модулем комплексного числа:

r = z = x2 + y2 .

Геометрический смысл модуля комплексного числа – длина вектора, изображающего комплексное число (рис. 1). Полярную координату ϕ называ-

ют аргументом комплексного числа:

Φ = Argz

При этом угол Φ– это угол между вектором, изображающим комплексное число и положительным направлением оси OX (рис. 1). Аргумент комплексного числа Argz многозначен и определяется с точностью до значения,

кратного числу 2π . Главным значением аргумента аrgz называют угол, удовлетворяющий условиям −π < arg z ≤ π .

Тогда Argz = arg z ± 2πn =ϕ ± 2πn .

Для определения главного значения аргумента комплексного числа ϕ

следует учитывать, какой четверти комплексной плоскости соответствует комплексное число:

32

Приведем примеры определения модуля и аргумента комплексного числа.

Пример 3. z = 2.

Число z = 2 является действительным. Поэтому x = 2 ; y = 0

z = 2 ; ϕ = arctg xy = arctg0 = 0.

Пример 4. z = −2.

Число z = −2 является действительным. Поэтому x =−2; y = 0

z = 2 ; ϕ =π .

Такое значение аргумента ϕ соответствует любому действительному отрицательному числу.

Пример 5. z = i .

Число z = i чисто мнимое x = 0 , а y =1.

z =1; ϕ = π2 .

Такой аргумент соответствует всем чисто мнимым числам iу при условии у > 0 .

33

Пример 6. z = −i .

Это также чисто мнимое число. z =1, но ϕ = −π2 , так как вектор

соответствующий комплексному числу направлен вдоль оси OY в отрицательную сторону.

Пример 7.

z =1 + i .

Здесь x = Re z =1; y = Im z =1

z = 1 +1 =

2 ; ϕ = arctg

y

= arctg1 = π .

Пример 8.

z = −1 + i .

x

4

y =1. Вектор, изображающий число, лежит во второй

Здесь x = −1;

четверти. Поэтому ϕ = π − arctg

y

= π − arctg1 = π −

π

=

3π

.

x

4

4

r = z = x2 + y2 = 2 .

Пример 9.	z = −1 −	3i .
Здесь x = −1;		y = − 3
z	= 1 + 3 = 2;
ϕ = −π + arctg y			= −π + arctg	3	= −π +	π	= −	2π
		x				3		3

Понятие модуля и аргумента комплексного числа позволяют представить комплексное число в тригонометрической форме:

x = rcosϕ ; y = rsinϕ ;

z = x + iy = rcosϕ + irsinϕ = r(cosϕ + isinϕ).

Пример 10. Согласно примерам 9,5, 7 получаем:

z = −1 −	3i =					2π		2π
			2 cos				−isin	;
						3		3
z = i = cos	π	+isin π			;
	2			2
z =1 + i =				π	+ isin		π
		2 cos		4			.
							4

34

Разложение стандартной экспоненты в ряд Маклорена позволяет определить показательную функцию с мнимым показателем:

exp(iϕ)=1 + iϕ +

21!(iϕ)2 +

31!(iϕ)3

+

41!(iϕ)4 +

51!(iϕ)5 +... =

1

2

1

4

1

3

1

5

= 1 −

ϕ

+

ϕ

...

+ i x −

ϕ

+

ϕ

...

2!

4!

3!

5!

С учетом разложения в ряд функций sinϕ ,

cosϕ :

sinϕ =ϕ − 31!ϕ3 + 51!ϕ5 − 71!ϕ7 ...; cosϕ =1− 21!ϕ2 + 61!ϕ6 − 81!ϕ8... ;

получаем формулу Эйлера

eiϕ = cosϕ + isinϕ .

Формула Эйлера позволяет записать комплексное число в показательной форме

z = x + iy = r(cosϕ + isinϕ)= reiϕ .

Пример 11. Продолжая примеры 9 ,5,7 можно записать числа в показательной форме

z = −1 −

3i =

2π

− isin

2π

=

2e

−

2π

i

;

2 cos

3

3

3

z = i = cos

π

+ isin π

= ei

π

2

;

2

2

z =1 + i =

π

+ isin

π

=

i

π

2 cos

4

4

2e 4 .

Запись комплексного числа в показательной и тригонометрической формах очень удобна для выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Пусть заданы комплексные числа:
					z = r eiϕ1		и	z	2	= r eiϕ2 .
					1	1				2
Тогда справедливо:
z	z	2	= r r eiϕ1		eiϕ2	= r r		eiϕ1+iϕ2 = reiϕ =
1			1	2		1	2
1) = r(cosϕ + isinϕ),

где r = r1 r2 ; ϕ =ϕ1 +ϕ2 .

35

2)

z1

=

r1eiϕ1

= rei(ϕ1−ϕ2 )

= reiϕ = r(cosϕ + isinϕ),

r eiϕ2

z

2

2

где r =

r1

; ϕ =ϕ1

−ϕ2 .

r2

3)

zn

= (reiϕ )n = r n

eiϕn

= r n (cosϕn + isinϕn).

4)

ϕ + 2πk

+ isin

ϕ + 2πk

n z = n r cos

n

n

. k = 0,1, 2, 3,...,n −1.

Заметим, что корни из комплексного числа лежат в вершинах правильного n -угольника, вписанного в круг радиуса n r .

3i

24

Пример 12.

Выполним действия

−1 +

1

+ i

.

2

πi

π

С учетом того, что −1 +

3i = 2e

, 1 + i =

2e 4 i , получаем

3

−1 + 3i

= 2e

2

πi

2

π

5π

3

π −

i

π

= 2e 3

4

= 2e12 i .

1 + i

2ei 4

Далее

−1 + 3i 24

5π

i

24

12 10πi

12

= 2e

=

2 e =

1 + i

= 212 (cos10π + isin10π )= 212

Пример 13.

Найдем все корни 4

− 4 .

Число z = −4 имеет r =

z

= 4 и аргумент ϕ =π .

С учетом этого, все корни можно найти по формуле

− 4 = 4

π + 2πk

+ isin

π + 2πk

4

4 cos

4

4

;

k = 0 , 1, 2, 3 .

k = 0 ,

z1

=

π

+ isin

π

=

2

1

+ i

1

=1 + i ;

2 cos

4

4

2

2

k =1,

z2

=

3π

+ isin

3π

=

−

1

+ i

1

+ i ;

2 cos

4

2

2

2

= −1

4

								36
k = 2 ,	z3	=		5π	+ isin	5π		=		−		1	− i		1			= −1	−i ;
			2 cos	4		4			2			2				2
k = 3,	z4	=		7π	+ isin	7π		=		1		−i		1			=1 −i .
			2 cos	4		4			2						2
											2

Расположение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4.

x

X

Рис.4

Пример 14.

Найдем

−1 +

3i .

2π

С учетом того, что z

= −1 +

3i

= 2, а аргумент ϕ =

, получаем

3

(рис. 5)

2π

2π

+ 2πk

+ 2πk

3

3

−1+

3i

=

2 cos

+isin

,

2

2

k = 0,1.

π

π

1

3

k = 0 ,

z1

=

+ isin

=

2

+ i

;

2 cos

3

2

2

3

4π

4π

1

3

k =1,

z2

=

+ isin

=

2

−

−i

2 cos

3

3

2

2

.

37

Задания контрольной работы

Провести вычисления в алгебраической форме:

2 −i

i5

+ 2

2

2.1.

+ (i −1)(2 −3i);

2.2.

19

5 + i

−1

i

2.3.

4 −i

+ (i −1)(2 + 3i);

2.4.

2 + i

+ (i − 3)(2 − 3i);

5 + i

5 + i

2.5.

3 −i

+ (i −5)(2 − 3i);

2.6.

7 −i

+ (4i −1)(2 − 2i);

5 −i

5 + i

2 −i

i6 + 2

2

2.7.

+ (3i −1)(2 − 3i);

2.8.

21

3 + i

−1

i

i4 + 2

2

i12

+ 2 2

2.9.

2.10.

18

−1

15

−1

i

i

Для указанных комплексных чисел определите реальную часть, мнимую часть, модуль и аргумент . Построить вектор комплексного числа на плоскости. Записать число в тригонометрической и показательной формах:

2.11.	z = 4	2.12.	z = −4	2.13.	z = 2i	2.14.	z = −3i
2.15.	z =1+i	2.16.	z = −1 + 3i	2.17.	z = −2 − 2i	218.	z = 4 − 4i

Проведите вычисления, используя показательную и тригонометрическую форму записи комплексного числа. Дайте геометрическую интерпретацию операции извлечения корня:

		−1 +	3i		24			4						3							6
2.19.						;	2.20.		− 4 ;				2.21.		8 ;				2.22			1;
		1 −i
	4						2.24.		+1 +	3i	24		2.25.		−1 +	3i	24		2.26.		−1 − 3i		24
2.23.		1+ i										;						;						;
									1 −i						1 + i							1 −i
2.27.		+1 − 3i			24		2.28.	1 − 3i		24
					;						;
		1 −i							1 + i

38

Тема 2­3. Функции комплексной переменной.

Аналитические функции Вычет аналитической функции

визолированной особой точке. Вычисление контурных

инесобственных интегралов при помощи вычетов.

Теоретическоевведение

Понятие функции комплексной переменной

Если каждому комплексному числу z , принадлежащему области D (связное открытое множество), поставлено в соответствие некоторое комплексное число w , то говорят, что в области D определена функция комплексной переменной w = f (z) , которая может быть представлена с помощью

двух действительных функций U (x, y) и V (x, y) действительных аргументов:

	w =U (x, y) +iV (x, y) ,
где U (x, y) = Re f (z),	V (x, y) = Im f (z) .

К основным элементарным функциям относят:

•Степенную функцию zn ;

•Показательную функцию ez = ex (cos y +i sin y) ;

•Тригонометрические функции

sin z =

ei z

−e−i z

,

cos z =

ei z

+ e

−i z

sin z

, ctgz =

cos z

;

2i

2

, tgz =

cos z

sin z

•

Гиперболические функции

shz =

e z −e−z

ch z =

ez + e−z

thz =

sh z

ctgz =

ch z

;

,

,

,

2

2

ch z

sh z

•

Логарифмическая

функция

Ln z = ln

z

+i (arg z +2kπ)

является много-

значной. В каждой точке z ≠ 0,

z ≠ ∞ она принимает бесконечно много

значений. Выражение ln z = ln

z

+i arg z

называют

главным значением

логарифмической функции;

•Общая степенная функция za = ea Ln z является многозначной. В частном

случае a = n1 получаем многозначную функцию – корень n -й степени из комплексного числа:

	1		(ln		z		+i (arg z+2kπ ) = n z (cos arg z +2kπ	+i sin arg z +2kπ ) .
	n z = e
		n
							n	n

•Общая показательная функция az = ez Lna является многозначной;

•Обратные тригонометрические и гиперболические функции выражаются через логарифмическую функцию и являются многозначными

Arccos z = −iLn(z + z2 +1) .

39

Интеграл от функции комплексной переменной вводится аналогично интегралу от векторной функции вдоль кусочно-гладкой кривой:

∫ f (z) dz = ∫U (x, y)dx −V (x, y)dy +i V (x, y)dx +U (x, y)dy .

L L

Функция f (z) , дифференцируемая в некоторой области, и имеющая в этой области непрерывную производную f ′(z) , называется аналитической в

этой области. Необходимые и достаточные условия аналитичности в некоторой области выражаются следующими соотношениями:

•Существование непрерывных частных производных функций U (x, y), V (x, y) , которые удовлетворяют условиям Коши-

	Римана:	∂U	=	∂V	;	∂U	= −	∂V	;
		∂x		∂y		∂y		∂x

•Интеграл по кривой не зависит от контура интегрирования, и справедлива формула Ньютона-Лейбница:

z∫2 f (z) dz = F(z2 ) − F(z1 );

z1

•Интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру, который ограничивает односвязную область, равен нулю (теорема

Коши для односвязной области):

∫ f (z) dz = 0 ;

C

•Теорема Коши для многосвязной области:

∫f (z) dz = ∑∫ f (z) dz ;

Сk Ck

•Если функция f (z) аналитична в некоторой области D , а контур

C принадлежит этой области и охватывает точку z0 , то справед-

лива интегральная формула Коши, которая связывает значение функции в точке с интегралом по контуру:

f (z0 ) =	1		f (z) dz.
	2π i	C∫	z − z0

При этом функция f (z) имеет в области D производные, для которых справедливы формулы:

f (n) (z0 ) =	n!		f (z)	dz, n =1,2K
	2π i	C∫	(z − z0 )n+1

• В окрестности точки аналитичности z0 ≠ ∞ функция f (z) представляется рядом Тейлора

∞

f (z) = ∑ck (z − z0 )k ,

k=0

40

областью сходимости которого является круг z − z0 < R , радиус ко-

торого равен расстоянию от точки аналитичности до ближайшей особой точки.

•В окрестности особой точки z0 ≠ ∞ функция f (z) представляется

рядом Лорана:

∞	C−k		∞
f (z) = ∑			+ ∑Ck (z − z0 )k ,
	(z − z0 )	k
k=1			k=0

который состоит из главной (по отрицательным степеням) и правильной (по положительным степеням) частей. При этом областью сходимости является кольцо r < z − z0 < R .

Точка z0 ≠ ∞ называется изолированной особой точкой функции f (z) , если однозначная функция аналитична в открытом круге

0 < z − z0 < R . Основой для классификации особых точек является вид разложения в ряд Лорана в окрестности точки:

• Устранимая особая точка – ряд содержит только правильную часть (предел в точке существует и конечен)

∞

f (z) = ∑ck (z − z0 )k ;

k=0

•Существенно особая точка – ряд содержит бесконечное число членов в главной части (предел в точке не существует)

f (z) = ∑ C−k		k	+ ∑Ck (z − z0 )k ;
∞			∞
k=1	(z − z0 )		k=0

•Полюс порядка m - ряд содержит конечное число членов в главной части, равное m , в главной части (в точке существует бесконечный предел).

Вычетом функции в изолированной особой точке z0 ≠ ∞ называют ко-

	эффициент C−1 при	1	разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки:
		z − z0

C−1 = res f (z0 ) . С другой стороны вычет выражается через контурный инте-

грал

C−1 = res f (z0 ) = 2π1 i C∫ f (z) dz .

Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет в существенно особой точке находят непосредственно как коэффициент разложения в ряд. В особой точке типа полюс вычет может быть найден как непосредственным разложением в ряд, так и специально полученных формул: