Математика МУ к КР ЗФО 24.04

61

(

)

1

t

)

t

)

−t

∫(

−(t−τ)

∫(

−(t−τ)

x(t) =

1−e

η(t) +

1−e

1−e

−

2

dτ η(t) −

dτ η(t −2)

2

0

(

)

(

)

2

(

)

− 2 1

− e−(t

−2)

η(t

− 2)

=

1− e

−t η(t) +

1

t −1

+ e−t η(t)

−

(

2

)

(

)

−

1

t

− 3 + e−(t −2) η(t

− 2) − 2 1

− e−(t −2)

η(t

− 2)

=

1

1

+t −e−t

η(t),

1

1

−t

−

t +1−3e

−(t−2)

η(t −2)

=

2

(

)

1 + t − e

η(t) −

(

)

1

= 2 (

)

2

3

e

−(t−2) −

e−t ,

2

0 ≤ t ≤ 2,

2

t > 2.

Задания контрольной работы

y′ + y = x(t)

Решите дифференциальное уравнение

y(0) = 0

для правых

частей различного вида

2.68)

x(t) = t, 2.69) x(t) = exp(2t),

2.70) x(t) = sin(2t),

2.71) x(t) = 2η(t) −η(t −2) −η(t −3),

2.72) x(t) = (

2

t +

2)η(t) −

2

(t −3)

+

−3)

3

3

4 η(t

2.73)

x(t) = t −5,

2.74) x(t) = exp(3t),

2.75) x(t) = (2t) cos 2t,

2.76)

x(t) = t −3,

2.77) x(t) = exp(−4t)

ЗАДАНИЕ 3. Теория вероятностей и математическая статистика

1.Алгебра случайных событий.

2.Случайные величины. Законы распределений. Числовые характеристики.

3.Математическая статистика. Оценки числовых характеристик. Определения закона распределения по выборке. Критерии согласия.

4.Математическая статистика: оценка коэффициента корреляции по выборочным данным, уравнение линейной регрессии.

Список литературы [1,2,3, 6, 7,9]

62

Задания контрольной работы

3.1

1. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков больше шести.

2.В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 15% и третьего – 6%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 телевизоров с первого завода, 25 – со второго, 60 – с третьего?

3.Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,6. Случайная величина X – суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Записать закон распределения данной величины и найти её числовые характеристики.

4.Некоторая категория людей имеет средний вес 60 кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг. Предполагая, что вес m – случайная величина, имеющая нормальное распределение, записать её функцию плотности вероятности распределения. Определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от среднего не более чем на 5 кг..

3.2.

1.Телефонный номер состоит из пяти цифр. Определить вероятность того, что все цифры различны.

2.Из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, переложили 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Вычислить вероятность вынуть белый шар из второй урны.

3.На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля. Составить закон распределения случайной величины X – числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти числовые характеристики.

4.Единица шкалы прибора равна 0,1. Записать функцию распределения, функцию плотности случайной величины X, построить их графики. Найти числовые характеристики. Определить вероятность того, что систематические ошибки измерения X не превышают 0,01.

63

3.3.

1.В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад два шара. Найти вероятность того, что эти шары не одного цвета.

2.При разрыве снаряда образуются крупные, средние, мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний – 0,3, мелкий – 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет её?

3.У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу до тех пор, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Описать закон распределения случайной величины X – количества выстрелов, если вероятность попадания 0,25. Найти числовые характеристики.

4.Время между двумя сбоями вычислительной машины T есть случайная величина, имеющая показательное распределение, с математическим ожиданием, равным 400 часов. Записать функцию распределения, функцию плотности вероятности случайной величины T, построить их графики. Найти вероятность того, что время между двумя сбоями:

А) не превышает 300 часов, Б) составит от 100 до 200 часов.

3.4.

1 В трех одинаковых по виду и размеру коробках находятся по 20 сверл. В первой коробке 2 сверла бракованные, во второй – 3, в третьей – 5. Взятое наудачу сверло оказалось годным. Какова вероятность того, что оно взято из второй коробки?

2.В партии из 5 изделий 2 имеют скрытый дефект. Реализовано 4 изделия. Составить закон распределения числа качественных изделий среди реализованных изделий и найти его числовые характеристики.

3.Поезда метрополитена идут с интервалом в 2 минуты. Время ожидания поезда пассажиром T – случайная величина, имеющая равномерное распределение. Записать плотность распределения этой случайной величины T, определить её математическое ожидание и дисперсию, найти вероятность того, что время ожидания не превышает полторы минуты.

4.Устройство75% времени работает в нормальном режиме и 25% в режиме с перегрузкой. Надежность работы каждого элемента 0,9 в нормальном режиме и 0,8 в режиме с перегрузкой. Найдите надежность устройства.

64

3.5

1.В партии из 10 деталей 4 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу трех деталей две окажутся нестандартными.

2.На участке, изготавливающем болты, первый станок производит 25%, второй - 35%, третий – 40% всех изделий. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найти вероятность того, что взятый наугад болт – с дефектом.

3.Составить закон распределения числа попаданий в мишень при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найти его числовые характеристики.

4.Для ремонта автомобиля требуется в среднем 3 часа. Предполагая, что время T, необходимое для ремонта автомобиля, случайная величина, имеющая показательное распределение, записать плотность вероятность случайной величины T. Найти её математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что время ремонта составит самое большее 2 часа.

3.6.

1.В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наугад извлечен шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наугад извлечен шар и переложен в третью. Найти вероятность того, что шар, наугад извлеченный из третьей урны, окажется белым.

2.Студент может сдавать экзамен 3 раза, и если все три раза получил

«неудовлетворительно», то его отчисляют. Составить закон распределения числа приходов студента на экзамен, если вероятность сдачи экзамена 0,8. Найти числовые характеристики.

3. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. T – время ожидания очередной машины контролером имеет показательное распределение. Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины T, если среднее время ожидания равно 0,2 часа. Найти вероятность того, что время ожидания не превышает 15 минут.

4. Найдите вероятность безотказной работы системы (надежность), если надежность каждого элемента

65

3.7.

1.Из ящика, в котором находится 31 стандартная и 6 нестандартных деталей взято наугад три детали. Какова вероятность того, что по крайней мере одна деталь окажется стандартной.

2.Студент выучил 30 вопросов из 40. Экзаменационный билет содержит 2 вопроса. Составить закон распределения числа правильных ответов на вопросы билета и найти его числовые характеристики.

3.Из пункта C ведется стрельба из орудия вдоль прямой CK. Предполагается, что дальность полета распределена нормально с математическим ожиданием 1000 м и среднем квадратическим отклонением 5 м. Определить (в %), сколько снарядов упадет с перелетом от 5 до 70 метров.

4.Устройство 60% времени работает в нормальном режиме и 40% в режиме с перегрузкой. Надежность работы каждого элемента 0,95 в нормальном режиме и 0,7 в режиме с перегрузкой. Найдите надежность устройства

3.8.

1. Из зенитного орудия производится три выстрела по снижающемуся самолету. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны: 0,4, 0,1, 0,2. Определить вероятность не менее двух попаданий в самолет.

2.Имеется пять урн: в двух урнах – по 2 белых и 1 черному шару, в одной – 10 черных и в двух – по 3 белых и 1 черному шару. Найти вероятность того, что вынутый из наудачу взятой урны, шар окажется белым.

3.В магазин вошло три покупателя. Вероятность сделать покупку для каждого одна и та же – 0,4. Составить закон распределения случайной величины X – числа покупателей, сделавших покупку. Найти её числовые характеристики.

4.Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

66

3.9.

1.В круг вписан квадрат, какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, окажется внутри квадрата.

2.В ящике лежат 30 мячей, в том числе 20 новых и 10 старых. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй также наудачу извлекаются два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

3.Вероятность того, что в библиотеке интересующая студента книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины X – числа библиотек, которые посетит студент в поиске книги, если в городе три библиотеки. Найти его числовые характеристики.

4.Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 до 2 см.

3.10.

1.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.

2.Турист, заблудившийся в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течении часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; по третьей – 0,2; если по четвертой – 0,1; по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он через час вышел из леса?

3.В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа нестандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики.

4.Минутная стрелка перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 секунд.

3.11.

1. Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара наудачу извлечены и переложены во вторую урну три. Из второй урны извлечен шар, оказавшийся черным. Каков состав оставшихся шаров во второй урне более вероятен?

67

2.Игральная кость брошена 3 раза. Составить закон распределения числа появления 5 очков и найти его числовые характеристики.

3.Время (в днях) продолжительности ремонта станков есть показательно распределенная случайная величина с λ = 1. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что продолжительность ремонта займет от одного до двух дней.

4.Найдите вероятность безотказной работы системы, если задана веро-

ятность безотказной работы каждого элемента.

3.12.

1.Из 12 собранных аппаратов 3 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наугад 4 аппаратов имеется 2 аппарата высокого качества.

2.В батарее из 10 орудий одно непристрелянное. Вероятность попадания из пристрелянного орудия равна 0,73, а из непристрелянного – 0,23. Произвели один выстрел и промахнулись. Найти вероятность того, что выстрел произведен из непристрелянного орудия.

3.В первой коробке 10 сальников, из них два бракованных, во второй – 16 сальников, из них 4 бракованных, в третьей 12, из них 3 бракованных; случайная величина X – число бракованных сальников при условии, что из каждой коробки взято наугад по одному сальнику. Найти числовые характеристики.

4.Поток заявок, поступающих на телефонную станцию представляет собой простейший пуассоновский поток. Математическое ожидание числа вызовов за 1 час равно 30. Найти вероятность того, что за 1 минуту поступит не менее двух вызовов.

Данные для статистической обработки (расчетные работы № 1, 2) приведены в приложении.

Расчетная работа № 1

Статистическое описание результатов наблюдений. Числовые оценки выборочного распределения.

Интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения

68

Все ссылки на страницы соответствуют литературе [7]

1.Получите выборку из n чисел

2.Постройте вариационный ряд (упорядочите элементы выборки по ве-

личине). При этом можно использовать соответствующую команду на панели инструментов Excel.

3.Представьте выборку в виде группированного статистического ряда

(с.178181)

•определите размах выборки w = xmax − xmin

•определите число интервалов группировки одним из способов:

а) Способ 1: выбираете число интерваловk ≈ n , а затем находите шаг

(ширину интервала группировки)						b ≈ w ,
						k
б)	Способ 2: выбираете шаг (ширину интервала группировки)								по формуле
b ≈		xmax − xmin	=	w
		1+3,2lg n		1+3,2lg n	.
•	Определите границы интервалов группировки						xmin −(xmin +b)			, и так
							(x +b) −(x + 2b)
							min	min

далее до тех пор, пока наибольший элемент выборки не попадет в последний интервал ( наилучшая ситуация, если он точно совпадает с верхней границей последнего интервала)

•Найдите середину каждого интервала xi

•Определите частоты ni - число элементов выборки, содержащихся

вкаждом i -м интервале. При этом элемент, совпадающий с верхней границей интервала, условимся относить к следующему интервалу.

•Найдите накопленные частоты ∑i nj . При этом сумма частот по всем

j =1

k

интервалам должна совпадать с объемом выборки ∑ni = n

i =1

Если сумма частот по всем интервалам не совпадает с объем выборки, то следует проверить, правильно ли найдены частоты.

ni

• Найдите относительные частоты n , которые служат оценкой вероятности попадания элемента выборки в данный интервал

69

	∑nj
	i
• Найдите относительные накопленные частоты	j =1		.
		n

Значения накопленных частот служат оценкой функции распределения и определяют эмпирическую (выборочную) функцию распределения

Fn (x) = ∑ni

xi px n

•Все полученные характеристики заносим в таблицу, которую называют стати-

стическим рядом (табл. 1.1 на стр. 181)

Номер	Границы	Середина	Частота	Накопленная	Относитель	Накопленная
интервала	интервала	интервала	ni	частота	ная частота	Относитель-
		xi		∑ni	ni	ная частота
					n	∑ni
						n
•	•	•	•	•	•	•
•	•	•	•	•	•	•

•Представить выборку графически (стр. 182-183)

•строим полигон частот- ломаную с вершинами в точках ( xi ,ni )

•строим полигон относительных частот- ломаную с вершинами

вточках ( xi ,ni n )

•строим гистограмму - кусочно-постоянную функцию, которая

ni

на каждом интервале группировки принимает значение b .

Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки n .

Полигон относительных частот является статистическим аналогом функции плотности вероятности. Гистограмма и полигон частот

отличаются от указанной характеристики растяжением в n раз. Поэтому все данные функции также являются характеристиками закона распреде-

ления генеральной совокупности f (x) .

Примечание. Все перечисленные выше операции можно провести вручную или с использованием компьютерных программ. Самое доступное математическое обеспечение – Microsoft Excel при помощи команд: сервис анализ данных гистограмма. При этом карманы

(интервалы группировки) надо задать отдельно.

			70
Пример выдачи данных.
4,05001	Размах		Шаг	Интервалы группировки
3
6,38965	9,53838		0,9538
2	7
6,63373				5,0038
3
6,76392				5,9576
7
6,91932				6,9114
3
7,09546				7,8652
5
7,32934				8,819
2
7,45222				9,7728
8
7,63468	Карман Часто-		Интегральный	10,7266
6	та		%
7,64757	5,0038	1	1,00%	11,6804
4
7,69012	5,9576	0	1,00%	12,6342
7,83211	6,9114	3	4,00%	13,58
7,88450	7,8652	8	12,00%
2
8,05237	8,819	15	27,00%
2
8,08335	9,7728	23	50,00%
8
8,09687	10,7266	14	64,00%
3
8,12840	11,6804	19	83,00%
1
8,14257	12,6342	11	94,00%
5
8,36074	13,58	5	99,00%
8,39876	Еще	1	100,00%
4

8,41871

2

8,45298

6

8,49555

9