Математика МУ к КР ЗФО 24.04

			81
		Корреляционная диаграмма
Пример построения прямой регрессии в Excel.
14
12	y = 2,162x - 0,9681
	R2 = 0,9548
10
8
Y
6
4
2
0
1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
			X
			График остатков

1

0,5

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,5

-1

-1,5

82

Данные описательной статистики для случайной величины «остатки»

Среднее	6,66134E-16
Стандартная ошибка	0,108822029
Медиана	0,109108445
Мода
Стандартное отклонение	0,486666907
Дисперсия выборки	0,236844679
Эксцесс	0,294111648
Асимметричность	-0,602186657
Интервал	1,892506228
Минимум	-1,181791019
Максимум	0,710715209
Сумма	1,33227E-14
Счет	20
Уровень надежно-	0,227767194
сти(95,0%)-

Из приведенных зависимостей и расчетов видно, что предложенная регрессионная модель адекватна: остатки распределены около нулевого среднего. Значение стандартной ошибки ε = 0,1088 и ошибки с учетом распределения

Стьюдента = 0,2278 задает доверительный интервал для M [ε],

содержащий значение ε = 0 .

Статистическую значимость регрессионной модели можно проверить по коэффициенту регрессиии A .

Линейная регрессионная модель называется незначимой, если параметр A = 0 . Проверку основной гипотезы H0 : A = 0 против альтернативной ги-

потезы H1 : A ≠ 0 можно провести двумя способами.

СПОСОБ 2 . Находим границы доверительного интервала для параметра A :

~	S t	α (n − 2)			~	S t	α (n − 2)
	1−	2	<	A <		1−	2
A −		Qx			A +		Qx

Если для данного уровня значимости доверительный интервал содержит значение A = 0 , то принимается основная гипотеза и регрессия считается статистически незначимой. В том случае, когда доверительный интервал не содержит нулевое значение параметра, основная гипотеза отклоняется и регрессионная модель считается статистически значимой

Например : 0,12 < A < 3.08 или P(0,12 < A < 3,08) = 0,9 .

Таким образом, на заданном уровне значимости нулевое значение параметра не попадает в доверительный интервал и регрессия признается статистически значимой

83

Полезной и важной характеристикой линейной регрессии является коэффициент детерминации R2 , который вычисляют по формуле

	n	~	~	2
R2 =	∑(( Axk + B) − y)				.
	k=1
		n
		∑( yk − y)2

k=1

Этот коэффициент показывает долю разброса результатов

наблюдений около средего значения случайной величины y , которую можно

объяснить построенной регрессионной моделью , и может быть использован для характеристики не только линейной регрессии, но и для нелинейной. Как видно из определения коэффициента, чем меньше остаточная сумма квадратов Qe , тем ближе значение коэффициента к единице и тем точнее

выбранная модель регрессии описывает результаты наблюдений. Значение

корня R является оценкой коэффициента корреляции между результатами наблюдений и их значениями, вычисленными согласно принятой регрессионной

модели. В случае линейной регресссии справедливо rxy = R . Отметим, что

именно значение коэффициента детерминации указывается в EXCEL в качестве характеристики качества аппроксимации.

Ниже приведена выдача из Excel: Сервис Анализ данных Регрессия ,

для подробного анализа которой следует обратиться к книге [3]. Отметим только, что красным цветом выделен 95% доверительный интервал для

коэффициента регрессии A: P(1,736 < A < 2,358)= 0,95.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная

статистика

Множе-	0,95603
ствен-	7
ный R
R-	0,91400
квадрат	6
Норми-	0,90922
рован-	9
ный R-
квадрат
Стан-	0,50000
дартная	3
ошибка
Наблю-	20
дения

Дисперсионный анализ

84

	df	SS	MS	F	Значи-
					мость F
Регрес-	1	47,83	47,83	191,3179	4,96562E-
сия					11
Остаток	18	4,50004	0,25000
		9	3
Итого	19	52,3300
		4
							Верхние 95%
	Коэф-	Стан-	t-	P-	Нижние
	фици-	дарт-	стати-	Значе-	95%
	енты	ная	стика	ние
		ошибка
Y-	-0,43605	0,71897	-0,60648 0,551766		-	1,074464255
пересе-		5		4	1,94655767
чение					9
Пере-	2,04779	0,14805	13,8317	4,966E- 1,73675383		2,358837984
менная	6		7	11	6
X 1

Контрольные вопросы

1.Формула полной вероятности

2.Дискретная случайная величина. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Функция распределения

3.Биномиальный закон распределения (формула Бернулли).

4.Закон Пуассона

5.Непрерывные случайные величины. Функция распределения (интегральная) Функция распределения дифференциальная (функция плотности вероятности)

6.Равномерное распределение

7.Показательное распределение

8.Нормальное распределение

9.Математическое ожидание. Свойства. Вычисление для дискретной и непрерывной случайной величины

10.Дисперсия случайной величины. Вычисление для дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства дисперсии. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

11.Числовые характеристики распределений: равномерное, показательное, нормальное, биномиальное, Пуассона, геометрическое

12.Моменты случайных величин. Характеристическая функция и ее связь с функцией плотности вероятности и моментами случайных величин

13.Характеристическая функция нормального закона распределения. Центральная предельная теорема. Теоремы Муавра-Лапласа

14.Закон больших чисел в форме Бернулли. Теорема Чебышева

85

15.Генеральная совокупность. Выборочная совокупность. Объем выборки. Вариационный ряд. Частота элемента выборки. Статистический ряд

16.Графическое представление выборки. Гистограмма. Полигон частот. Эмпирическая функция распределения

17.Оценки математического ожидания и дисперсии по выборке. Точечные оценки. Качество оценок

18.Интервальные оценки. Доверительный интервал. Уровень значимости. Доверительная вероятность. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии. Зависимость точности оценивания от объема выборки, стандартного отклонения, уровня значимости

19.Статистические гипотезы. Основная и альтернативная гипотезы. Критерии согласия. Критическая область. Уровень значимости.

20.Критерий согласия χ 2 .

21.Ковариация. Коэффициент линейной корреляции. Корреляционная (статистическая зависимость).

23.Линейная регрессия. Связь коэффициента линейной регрессии и коэффициента корреляции. Адекватность регрессионной модели. График остатков. Статистическая значимость регрессионной модели

Литература, рекомендуемая для изучения материала 2 семестра:

1.Казунина, Г.А. Математика. 2 семестр: материалы к лекционному курсу: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина, Г.А. Липина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2012.

2.Казунина, Г.А. Математика. 2 семестр: учебное пособие для самостоятельной работы: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина, Г.А. Липина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2012.

3.Алексеев Д. В. Конспекты по общему курсу математики: учеб. пособие для студентов инженерно-технических специальностей [электронный ресурс] / Д. В. Алексеев; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2008.

4.Казунина, Г.А. Математика: элементы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для вузов [текст] / Г. А. Казунина, Г. А. Липина, Л. В. Пинчина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2003. – 104 с.

5.Казунина, Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г.А. Казунина; ГУ КузГТУ. – Кеме-

рово, 2009.

6.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с.

86

7.Сборник задач по математике для втузов: Ч. 3: теория вероятностей и математическая статистика [текст] / под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990.

–425 с.

8.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2: специальные разделы анализа [текст] / под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990, 321 с.

9.Казунина, Г. А. Математика: элементы математической статистики с применением Microsoft Excel: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г. А. Казунина, Л. В. Пинчина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009.