5903

111

Лабораторная работа № 8

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ. УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ. ПОДБОР СЕЧЕНИЯ.

4.Введение. Цель работы

Вобщем случае прямого поперечного (простого) изгиба в поперечном сечении балки возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 6, а) [1, 2]. Нормальные напряжения определяют по формуле

	М	y,	(3)
	J

где J – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси (н.о.), которая совпадает с главной центральной осью x; y – расстояние от расчетной точки поперечного сечения до нейтральной оси.

Касательные напряжения в симметричных поперечных сечениях открытого профиля приближенно можно вычислить по формуле Журавского

	QSотс	,	(4)
	Jby

где Sотс – статический момент отсеченной части сечения (выделена штриховкой на рис. 6, а); by – ширина сечения на уровне расчетной точки.

112

	а)	б)	в)
		II
		y	3
	c	z
	yII
	x		0
			1
	I
	yI	by
		y

Рис. 6. Напряжения при изгибе: а – напряжения в поперечном сечении балки; б – напряженное состояние в точке; в – главные напряжения

Напряженное состояние в точке балки считается плоским (рис. 6, б). В этом случае в точке действуют два главных напряжения 1 и 3 с разными знаками, которые могут быть определены с помощью зависимости

				1			2	2
								4 .		(5)
		2		2
1,3

Направление одного из этих главных напряжений определяется углом 0 (рис. 6, в). Значение угла определяется из уравнения

	0		1	arctg	2	.	(6)
			2

Если угол 0 задает главную нормаль, проходящую через четверть плоскости изгиба yoz, в которой сходятся векторы касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках, то это нормаль 1 (рис. 6, в).

Проверка прочности в произвольной точке балки должна выполняться с учетом сложности напряженного состояния, т. е. с учетом всех главных напряжений. Такую проверку часто называют полной. Это делается с использованием одной из под-

113

ходящих теорий прочности. В случае балки из хрупкого материала применимы I теория или теория Мора. Для пластичных материалов рекомендуется использовать III или IV теории.

Например, при использовании III или IV теорий проверка прочности сводится к проверке выполнения условий

III		2 4 2 ,	IV		2 3 2 , (7)
экв			экв

где – допускаемое напряжение при одноосном растяжении (основное).

В крайних точках сечения I и II, наиболее удаленных от н. о., напряженное состояние является линейным, а условие прочности преобразуется к виду

			M	,			M		(8)
			W				W
	I				II			,
			I				II

где I, II – модульные значения нормальных напряжений в наиболее растянутой или сжатой точках I и II (рис. 6, а); [ ]+, [ ]-– допускаемые напряжения материала балки на одноосное растяжение или сжатие; WI, WII – моменты сопротивления сечения при изгибе относительно растянутой или сжатой точек I и II, которые определяются по формулам

W		J		,	W		J		. (9)
I		y	I		II		y	II

Подбор сечения балки по условию прочности заключается в назначении таких формы и размеров сечения, которые должны удовлетворять условиям

W	Mmax	,	W		Mmax	,	(10)
I			II

где Мmax – расчетный момент, равный модулю изгибающего момента в опасном сечении.

Опасным считается такое сечение, в котором напряженияI и II имеют наибольшие значения.

114

5.Примеры подбора сечений балок

Встуденческих расчетно-графических работах, как правило, ставятся задачи подбора сечений балок, изготовленных из пластичных металлов – малоуглеродистых сталей, алюминиевых сплавов и т. д. В этих случаях нормы рекомендуют считать допускаемые напряжения на растяжение и сжатие при изгибе оди-

наковыми ([ ]+ = [ ]- = [ ]). Задаваемые формы поперечных сечений можно разделить на следующие группы:

a.массивные сечения типа прямоугольника или круга, размеры сечений выражаются через некоторый параметр;

b.сечения из стандартных прокатных элементов – одиночных или составных;

c.тонкостенные сечения из листовых элементов посто-

янной толщины .

Для каждого варианта формы сечения можно применить оптимальную методику подбора размеров сечения. Некоторые из этих методик иллюстрируются ниже.

Для балки, рассмотренной в примере 3.1, подобрать сечения в виде одиночного прокатного двутавра по ГОСТ 8239-89 и массивного типа в соответствии с рис. 7, а. Материал балки – малоуглеродистая сталь марки Ст3, нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,5.

а. Назначаем допускаемое напряжение. Для конструкций из Ст3 в качестве предельного (опасного) напряжения рекомендуется использовать предел текучести т. Принимаем т = 240 МПа в соответствии с [3, 4].

			115
a)			б)
			x
		a	1,47a		1
Назначаем					c
			x	2	2
		3a	=2,53a		3
			II
			y
					II
a	a	a			y
	0,5a	0,5a

Рис. 7. Массивное сечение к примеру 5.1:

а – эскиз сечения; б – определение геометрических характеристик

Значение допускаемого напряжения [ ] = 240 / 1,5 = 160 МПа. Опасным является сечение Слев, а расчетный момент для подбора сечения Мmax = 18 кН м. Находим нижнюю границу возможных значений момента сопротивления при изгибе по формуле (9)

	Mmax		18		3	3	3
W					0,113 10	м	113см .
	[ ]			160 103

б. Подбор двутаврового сечения выполняем по сортаменту для прокатных двутавров [3,4]. Принимаем двутавр №16, для которого W = Wx = 109 см3. Это сечение имеет размеры несколько меньше требуемых. Перегрузка балки в этом случае определяется величиной W/W = (113-109)/113 = 0,035 << 1. Обычно такая перегрузка считается приемлемой.

Отметим, что в случае подбора составного сечения, состоящего из нескольких прокатных элементов, необходимо использовать метод последовательных приближений. Он за-

116

ключается в том, что предварительно назначаются некоторые размеры сечения и они проверяются по условиям (8). Если расчетные напряжения I или II чрезмерно отличаются от соответствующих допускаемых напряжений в большую или меньшую стороны, то на следующем этапе расчета размеры прокатных элементов должны быть увеличены или уменьшены, а проверка прочности повторяется. Эти действия выполняются до тех пор, пока расчетные и допускаемые напряжения станут отличаться на 3 – 5 %.

в. Подбор массивного сечения, размеры которого заданы через параметр «а» (рис. 7, а), начинаем с определения геометрических характеристик.

Положение центра тяжести относительно вспомогательной оси x

yс

Fiyi

4a2 0,5a 2 0,75a2 2a 3a

2 2,5a

1,47а.

F

4a

2

2 0,75a

2

3a

2

i

Момент инерции относительно нейтральной оси x

2

4a a3

0,5a (3a)3

a (3a)3

2

2

Jx

Jxi Fiyi

2

4a

(0,97a)

12

36

12

2 0,75a2 (0,53a)2 3a2 (1,03a)2 10,7a4.

Момент сопротивления сечения при изгибе

	W W		J		10,7a4	4,23a3 113 см3.
			ymax		2,53a
	II

Отсюда следует: а 2,98 см. Окончательно принимаем а

=3 см.

Взавершение данного примера заметим, что в случаях, когда материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию, размеры сечения надо определять по условиям прочности как в растянутой, так и в сжатой точках опасного сечения.

117

5.2. Для балки рассмотренной в примере 3.2 подобрать тонкостенное сечение, изображенное на рис. 8, а. Толщина листов постоянна и равна 8 мм. Листы изготовлены из магналина марки АМг6м. Нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,6.

а. Назначаем допускаемое напряжение. Предел текучести материала балки т = 150 МПа [3,4]. Допускаемое напряжение

т 150 93,7 МПа. n 1,6

а)

б)

1,31a

x

c

y

x

3а

1,69a

max

y

аа

1

C

2

3

1,5а

1,5а

y

Рис. 8. Тонкостенное сечение к примеру 5.2:

а – эскиз; б – определение геометрических характеристик

б. Опасным является сечение Dправ. Расчетный момент Мmax = 66 кН м. Нижняя возможная граница для момента сопротивления при изгибе

	Mmax		66		3		3	3
W				0,693 10		м		693 см .
			93,7 103

118

в. Определяем геометрические характеристики. Положение центра тяжести сечения находим приближенно, полагая что ожидаемое значение параметра а будет намного больше толщины листов . Это допущение позволяет пренебрегать величиной при суммировании его с параметром а (а + а). Тогда

yc	3 a 0 3 a 1,5a 2 a 3a		10,5		a 1,31a.
	3 a 3 a 2 a			8

Момент инерции поперечного сечения

J 3a 3 (3a)3 2a 3 3 a (1,31a)2 3 a (0,19a)2 2 a (1,69a)2. 12 12 12

На основании допущения о малости толщины листа пре-

небрегаем слагаемыми содержащими 3. Тогда окончательно имеем J = 12,89 a3.

Момент сопротивления сечения при изгибе

W

J

12,89 a3

7,63 a2.

ymax

1,69a

г. Подбираем размеры листовых элементов сечения

W 7,63 a2 693см3,

а

693

693

32 см.

7,63

7,63 0,08

Определим отношение величин и а: /a = 0,08/32 = 0,0025 << 1. Полученная величина отношения /a подтверждает правильность допущения о малости и позволяет окончательно принять а = 32 см.

6.Примеры анализа напряженного состояния

иполной проверки прочности

При выполнении задания в данном пункте почти всегда рассматриваются сечения из одиночного двутавра прокатного профиля. Поэтому ниже рассматриваются только двутавровые балки.

119

6.1. В балке, рассмотренной в примерах 3.1 и 5.1, определить величину и направление главных напряжений в точке А с координатами z = 0,5 м, у = 0,03 м. Балка изготовлена из двутавра №16.

а. Расчетное сечение находится в середине участка ОА. Значения усилий в этом сечении (см. рис. 2): Q = - 8 кН, М = - 4 кН м.

б. Геометрические характеристики поперечного сечения взяты из сортамента на прокатные двутавры по ГОСТ 8239 – 89 [3,4]. Основные размеры, используемые в расчете, приведены на рис. 9, а. Момент инерции J = 873 см4.

в. Определяем нормальные и касательные напряжения по формулам (3) и (4).

		М	y	4 10 3	0,03 13,7 МПа.
		J		873 10 8

а)

б) в)

	0,5
x	с		16	1=4,8 МПа
	3	А
	А
	0,78		2	0=28036
			III
	8,1		1	3= -18,5 МПа
	у

Рис. 9. Определение главных напряжений:

а– напряжения в точке А; б – отсеченная часть сечения;

в– главные напряжения

120

Для определения касательного напряжения вычисляем статический момент отсеченной части Sотс. На рис. 9, б показана отсеченная часть в упрощенном виде, состоящая из двух прямоугольников 1 и 2. Черными точками показаны центры тяжести прямоугольников.

Sотс = 8,1 0,78 7,6+0,5 4,2 5,1 = 58,7 см3.

	QSотс			8 10 3 58,7 10 6
						10,6МПа.
	Jb	y		8	2
				873 10	0,5 10

На рис. 9, а показаны направления и в точке А.

г. Величины и направления главных напряжений находим по формулам (5) и (6)

					1				13,7		1
							2 4 2					13,72 4 10,62 6,35 11,65МПа,
			2		2				2		2
	1,3

1 4,8МПа, 3 18,5 МПа,

0 12arctg2 12arctg2( 1310,7,6) 28036 .

Направления главных напряжений показаны штрихпунктирными стрелками на рис. 9, а, б.

6.2. Произвести полную проверку прочности балки, рассмотренной в предыдущем примере. Материал балки - Ст3, допускаемое напряжение [ ] = 160 МПа. Проверку выполнить по IV теории.

Подбор данного сечения был выполнен ранее в примере 5.1. Он производился по формулам (8) из условий прочности в точках I и II. Поэтому в данном примере производить проверку прочности этих точек нет необходимости.