5903

61

зей превышает число независимых уравнений статики на n единиц.

Необходимые для решения задачи дополнительные уравнения можно найти, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая связи между перемещениями и деформациями элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместимости деформаций.

На рис.2 приведены схемы некоторых статически неопределимых систем.

	Р
P	Р	Р

Рис.2. Некоторые виды статически неопределимых систем

При изучении темы "Статически неопределимые шарнирностержневые системы" и выполнении соответствующей расчетнографической работы студент должен усвоить особенности статически неопределимых систем; получить навыки в раскрытии статической неопределимости, в определении усилий в элементах конструкций и подборе площадей поперечных сечений из условия прочности.

В расчетно-графической работе «Расчет статически неопределимых шарнирно-стержневых систем при растяжении-сжатии» студенту необходимо решить следующие вопросы:

-определить усилия в стержнях и подобрать площади поперечных сечений от действия внешних нагрузок;

-определить дополнительные напряжения в стержнях от изменения температуры;

-определить дополнительные монтажные напряжения, вызванные неточностью изготовления стержней;

-подобрать сечения стержней по предельному состоянию.

62

2. Краткие теоретические сведения

При решении статически неопределимых задач следует придерживаться следующего порядка:

1.1.Рассмотреть статическую сторону задачи. Построить план сил и составить уравнения статики.

1.2.Рассмотреть геометрическую сторону задачи. Построить план перемещений. Составить дополнительные уравнения совместимости деформаций в таком количестве, чтобы можно было найти все неизвестные усилия.

1.3.Рассмотреть физическую сторону задачи. По законам физики (при температурном расчете) и по закону Гука выразить деформации в уравнениях их совместимости через неизвестные усилия, действующие в стержнях:

lt t l	и	l	N		Nl
					EF

1.4.Произвести совместное решение уравнений статики, геометрии, физики и определить неизвестные усилия.

1.5.Используя условия прочности при сжатии или растяжении N/F = [ ], произвести подбор площадей поперечных сечений стержней.

1.6.При известных усилиях в стержнях и принятых площадях поперечных сечений вычислить нормальные напряжения по формуле

N

F .

3.Пример

Дано: Абсолютно жесткая балка АВ опирается, как показано на рис.3, нагружена равномерно-распределенной нагрузкой и силой Р.

63

Рq

A	C	B
		60
ст	а	в

м

Рис.3. Схема статически неопределимой системы

Исходные данныедлярасчета

Материал	Е,	Р ,	СЖ ,	,	l,	Р,	q,	а,	в,		FСТ
											F
	МПа	МПа	МПа	1/гр	м	кН	кН/м	м	м			М
Сталь	2 105	160	120	125 10-7	1,2	30	1,5	2	4			3
											4
Медь	1 105	84	42	165 10-7	1,9
Требуется:

1.Определить усилия (NCТ; NМ), площади поперечных сечений

(FСТ; FМ) и напряжения ( CрТ ; Мр ) в стальном (СТ) и медном

(М) стержнях от действия внешних нагрузок Р и q .

2. Определить дополнительные напряжения в стержнях

( СТt ; Мt ) от изменения температуры на t 20 C.

3.Определить дополнительные напряжения в стержнях, вызванные неточностью изготовления вертикального стержня

= 0,1 cм.

4.Определить суммарные напряжения в стержнях от действия нагрузок, изменения температуры и неточности изготовления.

3.1. Расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы на внешнее нагружение

64

P = 30 кН

q = 15 кН/м

А	С	В
	Nст	60
	а =2	Nм
		В = 4

Рис.4. Исходная расчетная схема

3.1.1. Статическая сторона задачи

Статическая сторона задачи рассматривается планом сил. План сил - это расчетная схема, на которой показаны все силы (и известные, и неизвестные), приложенные к элементу шарнирностержневой системы, равновесие которого рассматривается (в нашем случае это жесткая балка АВ). Разрежем стальной и медный стержни и отброшенные их нижние части заменим внутренними усилиями (рис. 5).

P = 30 кН

q = 15 кН/м

А	С		В
			60
Nст	а =2	В = 4	Nм

Рис. 5. План сил от внешних нагрузок

Из плана сил (см. рис. 5) записываем уравнения статического равновесия. Для ответа на первый вопрос задачи необходимо знать усилия в стержнях - стальном и медном. Реакцию шарнир- но-неподвижной опоры вычислять в данном случае нет необхо-

65

димости. Поэтому из трёх возможных уравнений статики

(ΣX = 0; ΣY = 0; Σmc= 0) записываем такое, в которое не входят реакции шарнирно-неподвижной опоры С:

mC	0
NCТ	a q	a2	p a NM sin60 b 0,
	2

NСТ 2 1522 30 2 NM 0,866 4 0, 2

После алгебраических действий уравнение равновесия примет вид

NCТ 1,73NМ 45.

(2.1)

3.1.2. Геометрическая сторона задачи

Геометрическая сторона задачи рассматривается планом перемещений. План перемещений - это расчётная схема, на которой показано положение шарнирно-стержневой системы до и после нагружения. На плане перемещений указываем перемещения точек балки (АА1 и ВВ1), абсолютные деформации медного и

стального стержней ( lСТ ; lМ ) (рис. 6). Причём в силу малых деформаций точки балки перемещаем по вертикали вверх или вниз, а деформации наклонных стержней отмечаем перпендикуляром.

					60
					В1
ст		А	С		В2
					м
			60
	А1
		2м	4 м
	ст

м

Рис. 6. План перемещений от действия внешних нагрузок

66

По плану перемещений составляем уравнение совместимости деформаций. В первую очередь запишем соотношение перемещений точек балки из подобия треугольников АА1С и СВВ1

(рис. 6):

	AA1		AC	(2.2)
	BB1		CB

Перемещения точек балки (АА1 и ВВ1) выразим через деформации стержней ( lCТ ; lМ ):

АА = l	СТ	.	(2.3)
1

Из треугольника ВВ1В2 выразим:

BB	B1B2			lМ
					.		(2.4)
1	sin60			sin60

Выражения (2.3) и (2.4) подставим в соотношение (2.2):

lCТ sin60

АС

lМ

АВ ,

lCТ 0,866

2

,

или

lМ

4

или

0,866 lСТ

0,5 lМ .

(2.5)

Это и есть уравнение совместимости деформации.

3.1.3. Физическая сторона задачи

Полученное уравнение совместимости деформации (2.5) в таком виде не решается с уравнением равновесия (2.1), потому что входящие в них неизвестные величины разного характера.

Абсолютные деформации lCТ и lМ в уравнении (2.5)

Nl

выразим через усилия в стержнях по закону Гука: l EF .

67

0,866	NСТ lСТ		0,5	NМlМ
							.
	E	F		Е	М	F
	СТ	СТ				М

Подставим числовые значения исходных данных, а FСТ выразим через FМ согласно исходным данным:

FСТ

3

3

,откуда FСТ

FМ

0,75FМ ,

F

4

4

М

NСТ 1,2

NМ 1,9

0,866

0,5

и получим

2 105 0,75 F

1 105 F .

М

М

После выполнения арифметических действий получим:

0,67NСТ = 0,95NМ .

(2.6)

Получили уравнение совместимости деформаций, записанное через усилия в стержнях.

3.1.4. Синтез

Решим совместно уравнения равновесия (2.1) и уравнение совместимости деформаций (2.6).

NCТ 1,73NМ 45

0,67NСТ 0,95NМ .

Из второго уравнения системы выразим усилие NСТ

0,95

NСТ 0,67 NМ 1,42NМ

и подставим в первое уравнение системы.

	1,42 NМ +1,73 NМ = 45				или	3,15 NМ = 45,
	откуда	NМ	45	14,3 кН , тогда		NСТ = 1,42 14,3 = 20,3 кН.
			3,15

Положительный результат NСТ и NМ подтверждает наши предположения сжатия стального стержня и растяжения медного стержня, значит, усилия в стержнях будут:

	68
NСТ = –20,3 кН	NМ = 14,3 кН.

3.1.5. Подбор поперечных сечений стержней

Подбор поперечных сечений стержней ведется по условию прочности при растяжении – сжатии:

N .

F

а) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения стального стержня будет определена:

F		NСТ		20,3	1,7 10	4 м	2
CТ		СТ сж		120 103			.

При этом согласно заданному отношению площадей FСТ 3 FМ 4

площадь медного стержня должна быть равна:

F		4	F		4	1,7 10 4	2,27 10	4 м2
М	3		СТ	3				.

б) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения медного стержня будет определена:

F	NМ		14,3	1,7 10	4 м2
М	М рас.		84 103		.

При этом, согласно заданному отношению площадей, площадь стального стержня должна быть равна:

F		3	F		3	1,7 10 4	1,275 10	4 м2.	.
СТ	4		М	4

Принимаем большие площади поперечных сечений стерж-

ней:

FСТ 1,7 10 4 м2 ;

FМ 2,27 10 4 м2.

3.1.6. Напряжения в стержнях от внешних сил

При принятых площадях поперечных сечений медного и стального стержней определим напряжения в этих стержнях.

69

р

NСТ

20,3 10 3МН

119,4 МПа,

СТ

FСТ

1,7 10 4 м2

р

NМ

14,3 10 3МН

М

63 МПа.

FМ

2,27 10 4 м2

70

Лабораторная работа № 5

3.2. Температурный расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы

Целью температурного расчета является определение дополнительных напряжений в медном и стальном стержнях от изменения температуры.

Допустим, система нагревается на t 20 C . Алгоритм решения остаётся прежним.

Исходная расчетная схема представлена на рис. 7.

А	С	В
	2 м	60
		4 м
ст		м

Рис. 7. Расчетная схема для расчета на температурные воздействия

3.2.1. Статическая сторона задачи

При построении плана сил направление усилия в одном из стержней предполагаем. Направление усилия во втором стержне принимаем в соответствии с принятым в первом, чтобы обеспечить равновесие балки. При этом надо помнить, что оба стержня одновременно растянутыми быть не могут (см. рис. 8). В рассматриваемом примере стержни сжаты.

А	С	В
		60о
NСТ	2 м	4 м
		NМ

Рис.8. План сил при температурном воздействии