5903
.pdf71
Запишем уравнение равновесия:
mc 0;
NСТ 2 NМ sin60 4 0
Полученное уравнение равновесия запишем через напряжения в стержнях, для чего разделим его на равноценные величины
3
FСТ и 0,75FМ, (по условию задачи FСТ 4 FМ 0,75FМ ):
|
NСТ |
2 |
NМ |
0,866 4 0. |
|
|
|||
|
FСТ |
0,75FМ |
После выполнения арифметических действий получим:
СТ 2,31 М . |
(2.7) |
|
|
|
|
3.2.2. Геометрическая сторона задачи
Строим план перемещений, на котором изображаем заданную шарнирно-стержневую систему до нагрева и предположи-
тельное положение её после нагрева (рис. 9).
стN А2
|
А1 |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
60 В |
|
||
А |
м |
||||
ст |
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
В |
|
N |
ст |
2 м |
4 м |
м |
||
|
|
|
|||
|
|
М |
|
м |
|
Рис. 9. План перемещений при температурном воздействии
На плане перемещений кроме полной, т.е. окончательной, деформации стержней (∆lм и ∆lст) показаны виртуальные деформации от нагрева (∆lt) и от усилий в стержнях (∆lN). Причем в сжатых стержнях температурная деформация выходит за пределы
72
полной деформации, а в случае растянутого стержня эта деформация будет в пределах полной деформации.
Из плана перемещений составим уравнение совместимости деформаций.
Из подобия треугольников АА1С и СВВ1 запишем отношение перемещений точек:
|
АА1 |
|
АС |
|
|
или |
АА1 |
|
|
2 |
0,5 |
, или |
||||||
|
ВВ1 |
СВ |
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
ВВ1 |
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АА1 = ∆lст = ∆l tст – ∆l Nст; |
|
|
|||||||||||||||
|
ВВ1 |
|
lМ |
|
|
|
lМN - lМt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
sin60 |
|
|
|
sin60 |
|
||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
зависимость |
(2.8) |
||||||||||||
l t |
lN |
0,5 |
lMN - ltM |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
СТ |
|
CТ |
|
|
|
|
0,866 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
l СТt lCNТ 0,58( lMN |
АА1=0,5ВВ1 ,
примет
- l tM )
(2.8)
вид
(2.9)
Это и есть уравнение совместимости деформаций при температурном воздействии на стержневую систему.
3.2.3. Физическая сторона задачи
|
|
Деформации |
в |
уравнении |
(2.9) |
по закону физики: |
|||||||
l |
t l t |
и закону Гука: |
l N |
Nl |
. |
||||||||
|
|||||||||||||
Будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|||||
|
NCТ |
lCТ |
|
|
|
|
|||||||
CТ |
lСТ |
t |
|
0,58 |
|
|
|
||||||
ЕСТ |
|
FCТ |
|
|
|
||||||||
|
NМ lМ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
М |
lM |
|
t )(2.10) |
|
|
|
|||||
ЕМ FМ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
В уравнение (2.10) подставим числовые значения исходных дан-
ных и |
NСТ |
СТ ; |
NМ |
М . |
|||
F |
F |
|
|||||
|
СТ |
|
|
М |
|
||
125 10 7 1,2 20 |
CT 1,2 |
0,58 |
|||||
2 105 |
|||||||
|
|
|
|
|
( M 1,9 165 10 7 1,9 20) 1 105
После арифметических действий получим:
0,6 CT 1,1 M 66,4 |
(2.11) |
3.2.4 Cинтез
Решаем совместно уравнения (2.7) и (2.11)
CT 2,31 M
0,6 CT 1,1 M 66,4.
Выразим CT |
через M первого уравнения системы и подста- |
|||||
вим во второе уравнение системы: |
||||||
0,6 2,31 M 1,1 M 66,4, откуда |
||||||
M |
|
66,4 |
|
|
66,4 |
26,71 МПа |
|
|
|
2,486 |
|||
(0,6 2,31 1,1) |
|
|||||
тогда CT 2,31 26,71 61,7 МПа. |
||||||
Положительный |
результат подтверждает предположение |
сжатия обоих стержней. Следовательно, в стержнях действуют нормальные напряжения от нагрева системы:
CTt 61,7МПа и Mt 26,71МПа.
3.3. Монтажный расчет
Целью монтажного расчета является определение дополнительных напряжений в стальном и медном стержнях. При монтаже стержневой системы очень часто допускаются отклонения от
74
проектных размеров. Стержни могут быть заготовлены или длиннее, или короче заданных на некоторую величину ∆ (см. рис.10). Если величина ∆ незначительна по сравнению с длинами стержней, то, приложив определенные усилия, можно произвести монтаж стержневой системы.
А |
С |
В |
60
ст |
2м |
4м |
|
|
м
Рис.10.Статически неопределимая система с зазором в шарнире А
3.3.1. Статическая сторона задачи
При сборке стержневой системы, чтобы соединить узел А, необходимо растянуть стальной стержень. Построим план сил
(рис.11).
А |
С |
В |
|
|
|
|
|
60 |
2м |
|
4 м |
Ncт |
|
Nм |
Рис.11. План сил
Уравнение статики MC 0,
NCT 2 NM sin60 4 0 |
или |
NCT 1,732 NM . |
75
Полученное уравнение равновесия запишем через напряжения в стержнях, для чего разделим его на величину FCT и
0,75FM (по |
|
условию имеем |
|
FCT |
|
3 |
, |
откуда |
||||||
|
|
F |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
FCT |
3 |
|
FM |
0,75FM ): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
NCT |
|
|
1,732 NM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
CT 2,31 M . |
|||||||
(2.12) |
|
|
FCT |
|
0,75 FM |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.2. Геометрическая сторона задачи
Упругие свойства стального и медного стержней позволяют узлу А после сборки находится в пределах зазора ∆. Из этих соображений строим план перемещений (рис.12)
ст
|
|
|
60 |
|
|
|
В1 |
|
|
|
В2 |
А |
С |
|
В |
А1 |
|
60 |
м |
|
2 м |
4 м |
|
ст |
|
|
м |
|
|
|
Рис.12. План перемещений при монтажных ошибках
Запишем соотношение перемещений точек балки:
AA1 |
|
AC |
|
|
|
|
, |
(2.13) |
|
BB |
CB |
|||
1 |
|
|
|
|
76
где |
AA1 |
- lCT ; |
BB1 |
lМ |
; АС = 2 м; СВ = 4 м, |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin60 |
|
|
|
||
подставим в соотношение (2.14): |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( lCT ) sin60 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
lM |
|
|
|||
после алгебраических действий получим: |
|
|
||||||||
|
|
( lCT ) 0,866 0,5 lM . |
|
(2.14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть уравнение совместимости деформаций.
Полученное уравнение совместимости деформаций (2.14) не решается с уравнением равновесия (2.12), так как в них различные неизвестные.
3.3.3.Физическая сторона задачи
Вуравнение (2.14) деформации стержней выразим через
усилия по закону Гука: |
l |
Nl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
NCT lCT |
|
|
|
|
|
|
NM lM |
|
|
||||||
|
|
|
0,866 |
|
|
|
или |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
E |
CT |
F |
|
0,5 E |
M |
F |
|||||||||||
|
|
|
|
CT |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|||||
|
|
|
|
|
CT lCT |
|
|
|
|
|
M lM |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ECT |
|
0,866 |
0,5 |
EM |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведем числовую подстановку согласно исходным данным.
|
0,001 |
|
CT |
1,2 |
|
0,866 0,5 |
|
M |
1,9 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 105 |
1 105 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
После арифметических действий получим: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
86,6 0,52 CT 0,95 M |
|
(2.15) |
3.3.4. Синтез
Решаем совместно уравнения (2.12) и (2.15)
CT 2,31 M
86,6 0,52 СТ 0,95 М
Выражение CT 2,31 M подставим во второе уравнение
системы уравнений:
77
86,6 0,52 2,31 M 0,95 M , или |
|
|
|||
86,6 1,2 M 0,95 M , или |
|
|
|||
86,6 2,15 M , откуда |
M |
86,6 |
40,3 |
МПа , |
|
|
|
||||
|
2,15 |
|
|
|
|
|
CT 0,95 40,3 38,3 МПа . |
|
|||
Положительный |
результат |
подтверждает |
наше |
предположение растяжения обоих стержней. Следовательно, от монтажных ошибок в стержнях возникают напряжения:
CТ 38,3 МПа,
M 40,3МПа.
3.4.Определение суммарных напряжений
Встальном и медном стержнях определим суммарные напряжения от всех влияющих на них факторов: внешних нагрузок Р, q, от изменения температуры и неточности изготовления одного из стержней (например, стального).
CT |
p |
t |
|
|
112,4 61,71 38,3 142,8 |
CT CT CT |
|||||
МПа |
|
|
|
|
|
M Mp |
Mt |
M |
63 26,31 40,3 76,59 МПа |
Подводя итог, можно отметить, что в стержнях с площадями поперечных сечений, подобранных из условия прочности от внешнего загружения, дополнительные факторы снижают или увеличивают напряжения.
Проверим прочность стержней.
CT 142,8 МПа > CT 120 МПа ,
что недопустимо. Стальной стержень непрочен.
M 76,59 МПа < M 84 МПа ,
что отвечает требованию условия прочности. Медный стержень прочен.
78
3.5. Расчет по предельному состоянию
Метод расчета по предельному состоянию или по разрушающим нагрузкам при едином коэффициенте запаса прочности сводится к двум этапам:
I этап. В каждом случае необходимо установить, какое состояние конструкции должно быть принято за предельное. За предельное состояние принимаем превращение системы
в механизм.
IIэтап. Составляется уравнение статики для предельного состояния системы.
Для системы, принятой в п.2, форма предельного состояния единственная – поворот жесткой балки вокруг шарнирно неподвижной опоры С. При этом усилия в стержнях должны достичь предельного значения:
Niпр Тi Fi , где |
T - предел текучести. |
Построим план сил для рассматриваемой статически неопределимой шарнирно – стержневой системы (рис.3) в предельном состоянии системы (рис.13), полагая приложенные внешние силовые факторы допускаемыми:
|
|
|
|
Рдоп = 30 кН |
|
qдоп. = 15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
В |
||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 м |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
NСТпр ТСТ FCТ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NМПР = Т М Fм |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.13. План сил в предельном состоянии системы
Запишем уравнение статики:
mc 0,
|
|
|
|
79 |
|
|
|
Pпр 2 qпр |
|
22 |
ТCT |
FCT 2 ТM |
FM sin60 |
|
4 0, |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
или, сократив все уравнение на 2 и подставив FCT 0,75FM , получим:
Pпр qпр ТСТ 0,75FM TM FM 1,732 0
Введем единый коэффициент запаса прочности nт
Pпр |
|
qпр |
|
ТСТ |
0,75F |
|
TM |
F |
1,732 0 |
|
n |
n |
n |
||||||
n |
|
M |
|
M |
|
||||
T |
T |
|
T |
|
|
T |
|
|
Получим:
Pдоп qдоп СТ СЖ 0,75FM M рас FM 1,732 0
Подставим числовые значения:
30 15 120 103 |
0,75 F |
|
84 103 |
1,732 F |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|
или |
45 235,5 103 FM 0, откуда |
|
|
|
|||||||
F |
|
45 |
|
|
1,9 10 |
4 м2 |
,тогда |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
M |
|
235,5 103 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F |
0,75F |
0,75 1,9 10 4 |
1,43 10 4 |
м2 |
|
||||||
CT |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, по предельному состоянию площади стержней равны:
FM 1,9 10 4 м2
FCT 1,43 10 4 м2,
а по допускаемым напряжениям:
FM 2,27 10 4 м2
FCT 1,7 10 4 м2
Необходимые площади поперечных сечений, полученные при расчете по предельному состоянию меньше, чем при расчете по допускаемым напряжениям. Метод расчета по предельному состоянию позволяет в определенных случаях учитывать пластические деформации, позволяет вскрыть резервы прочности пластических материалов, не используемые при расчете по допускаемым напряжениям. Конструкция получается легче и экономичней.
80
Вместе с тем этот метод не может полностью заменить метод расчета по допускаемым напряжениям, так как во многих машино-строительных конструкциях недопустимо, по условиям их эксплуатации, появление хотя бы местных пластических деформаций.
Поэтому согласно принятым в России и в некоторых других странах нормам и правилам он является обязательным лишь при расчете строительных конструкций.
4. Задания для самостоятельной работы
Для выполнения расчетно-графической работы «Расчет статически неопределимых шарнирно-стержневых систем при рас- тяжении-сжатии» из таблицы 3 необходимо выбрать расчетную схему, а из таблиц 1 и 2 взять необходимые данные.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индекс |
№ |
a, м |
b, м |
|
lc, м |
lм, м |
P, кН |
q, кН/м |
|
K=Fc/Fм |
|
||
|
|
1 |
1,0 |
2,8 |
|
1,0 |
1,9 |
10 |
100 |
|
1:1 |
|
||
|
|
2 |
1,2 |
2,6 |
|
1,1 |
1,8 |
20 |
90 |
|
|
1:2 |
|
|
|
|
3 |
1,4 |
2,4 |
|
1,2 |
1,7 |
30 |
80 |
|
|
2:1 |
|
|
|
|
4 |
1,6 |
2,2 |
|
1,3 |
1,6 |
40 |
70 |
|
|
1:3 |
|
|
|
А,В,С |
5 |
1,8 |
2,0 |
|
1,4 |
1,5 |
50 |
60 |
|
|
3:1 |
|
|
|
6 |
2,0 |
1,8 |
|
1,5 |
1,4 |
60 |
50 |
|
|
2:3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
7 |
2,2 |
1,6 |
|
1,6 |
1,3 |
70 |
40 |
|
|
3:2 |
|
|
|
|
8 |
2,4 |
1,4 |
|
1,7 |
1,2 |
80 |
30 |
|
|
3:4 |
|
|
|
|
9 |
2,6 |
1,2 |
|
1,8 |
1,1 |
90 |
20 |
|
|
4:3 |
|
|
|
|
0 |
2,8 |
1,0 |
|
1,9 |
1,0 |
100 |
10 |
|
|
3:5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шарнирно-стержневые статически неопределимые системы |
бланк |
|||||||||||||
№4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общие данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталь |
Медь |
|||
1. Допускаемые напряжения на сжатие, МПа |
|
|
|
|
|
[σ]c = 120 |
[σ]м = 42 |
|||||||
2. Допускаемые напряжения на растяжение, МПа |
|
|
|
|
[σ]c = 160 |
[σ]м = 84 |
||||||||
3. Модуль упругости 1 рода, МПа |
|
|
|
|
|
|
|
Ес = 2 105 |
Ем = 1 105 |
|||||
4. Коэффициент линейного расширения, 1/град |
|
|
|
|
с = 125 10-7 |
м = 165 10-7 |