18

Таблица 1

Дифференциальные уравнения первого порядка

Тип дифферен-

Вид уравнения

Метод решения

циального

уравнения

пер-

вого порядка

1. С разделяю-

dy

= f1(x) f2 (y)

∫

dy

= ∫f1(x)dx

dx

f2 (y)

щимися

пере-

менными

2. Однородное

dy

= f

Подстановка

y

y

dx

x

= u, y = ux ,

x

приводит к

y′ = u′x + u

уравнению первого типа

3. Линейное

dy

+ P(x)y = Q(x)

Подстановка

y = u(x) v(x)

dx

приводит к уравнениям

первого

типа

dy

+ P(x) v = 0,

dx

du

v = Q(x)

dx

произвольную постоянную для v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u

du	e	−2x	= x, du =	x	dx,	du = x e	2x	dx,	∫du = ∫x e	2x	dx,
dx				e−2x

u = 12 x e2x − 12 ∫e2xdx = 12 x e2x − 41 e2x + c .

Решение исходного уравнения имеет вид

y = uv = 12 xe2x − 41 e2x + c e−2x .

При решении задач № 121-150 используются приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными