20

Y = e−4x (Ax3 + Bx2 ).

Y′ = −4e−4x (Ax3 + Bx2 )+ e−4x (3Ax2 + 2Bx)= = e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx).

Y′′ = −4e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx)+ e−4x (12Ax2 + 2x(− 4B + 3A)+ + 2B) = e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B).

Подставив эти значения в наше уравнение, получим

e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B)+ 8e−4x (−4Ax3 + + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx) + 16e−4x (Ax3 + Bx2 )= 2xe−4x .

Таблица 4

Частное решение неоднородного уравнения

Вид правой части неодВид частного решения нородного дифференциального уравнения

f (x)= eax Pn (x),

y = xr eax Qn (x), где

Pn (x)

– многочлен степени

0, еслиa неявляетсякорнем

n

характерист. уравнения

r =

1,еслиa равноодномукорню

характерист. уравнения

2,еслиобакорняхарактерист.

уравненияравныa

Qn (x)- многочлен степени n с не-

определёнными коэффициентами

( )

cosbx

+

y

=

x

r

e

ax

(

S

(x)cosbx

+

Z

(x)sinbx

)

f (x)= e

ax

P x

N

N

n

+ Qm

0, еслиa + bi неявляетсякорнем

(x)sinbx

Pn (x)

– многочлен степени

характерист. уравнения

r =

n ,

1,еслиa + bi равноодномукорню

Qm (x) – многочлен степени

характерист. уравнения

m

N равно наибольшей из степеней n

и m

21

Сократим на e−4x и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0

x3 (16A - 32A + 16A)+ x2 (16B - 24A - 32B + 24A + 16B)+ +x(-16B + 6A + 16B)+ 2B = 2x,

или 6Ax + 2B = 2x .

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .

6A = 2,				A =	1		,
					3
	2B	= 0.
				B = 0.

Итак, Y = e−4x 13 x3 .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = e−4x (c1 + c2x)+ e−4x 13x3 , отсюда

y′ = −4e−4x (c1 + c2x)+ e−4x c2 − 4e−4x 13x3 + e−4x x2 .

Подставляя в эти выражения начальные условия x = 0, y = 1, y′ = 2 , найдём c1 , c2 .

1 = c1 ,					c1 = 1,
	2	= −4c1	+ c2 .			= 6.
					c2

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−4x (1 + 6x)+ e−4x 13x3 .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 4sin5x ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0,235; y′(0)= 0 .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y , где y0 – общее решение однородного

уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 0 ,

которое определяется по табл. 3, а Y – частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

22

Для определения y0		составим характеристическое уравнение
		k 2 + 6k + 13 = 0 .
Его корни k1,2 =	− 6 ± 36 − 52 = − 6 ± − 16		=	− 6 ± 4i	= −3 ± 2i .
	2	2		2

Согласно таблице 3 α = −3, β = 2 , то есть

y0 = e−3x (c1 cos 2x + c2 sin 2x).

Для определения Y используем табл. 4. Так как f (x)= 4sin 5x ,

то a = 0, b = 5, P0 (x)= 0, Q0 (x)= 4, r = 0 . Следовательно,

Y = Acos5x + Bsin5x.

Для определения A, B подставим Y в первоначальное уравнение

Y′ = −5A sin5x + 5Bcos5x ,

Y′′ = −25A cos5x − 25B sin5x .

Тогда уравнение примет вид

− 25A cos5x − 25B sin5x + 6(− 5A sin5x + 5B cos5x)+ + 13(A cos5x + B sin5x)= 4sin5x.

Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin5x в левой и правой части этого уравнения, получим систему

− 12A + 30B		= 0,	A =	30 B =	5 B,	− 30	5 B − 12B	= 4, B = −0,115,
	− 12B	= 4.
− 30A				12	2		2

A = 52 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .

Общее решение нашего уравнения имеет вид

y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .

Отсюда

y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x) + 0,575sin5x − 0,23cos5x.

Найдём из начальных условий	y(0)= 0,235;			y′(0)= 0 постоянные
c1 , c2 .
0,235 = c1 − 0,115,			c1 = 0,35,
	23.			= 0,64.
0 = −3c1 + 2c2 − 0,			c2

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−3x (0,35cos 2x + 0,64sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .

23

Контрольная работа №2

Интегралы.

1-30. Вычислить неопределённые интегралы.

1.

a)∫

dx

,

b)

∫ arccosx dx.

3

3x + 1

2.

a)

∫

dx

,

b)

∫

x + 1

dx.

x ln

2

x

x + 5

3.

a)

∫

xdx

,

b)

∫

lnx

dx.

x4 + 1

3 x

4.

a)

∫

dx

,

b)

∫

1

dx

4x2 +

7

x − 3 − 1

5.

a)

∫x cos(x

2

)dx,

b)

∫

1 + x

dx.

1 +

x

6.

a)

∫

sinx cosxdx,

b)

∫

(

1

dx.

x + 12

x + 3

)

7.	a)	∫x2 x3 + 5 dx,
8.	a)	∫ (2lnx + 3)3 dx,
					x
9.	a)	∫			xdx		,
				4x2 + 7
10.	a)		∫		e2xdx			,
					e4x + 5
11.	a)		∫		e 2x+1dx					,
					2x + 1
12.			∫x(x2 + 1)							3
	a)									2	dx,
13.	a)		∫cos(sinx) cosxdx,
14.	a)		∫		sinxdx				,
					4 − cosx
15.	a)		∫		3 − ln 2x dx,
						x

b)	∫	x − 1		dx .
	1 +	(	)	3
			x − 1
b)	∫arcsinx dx.

b)∫x arctgx dx .

b)∫ x1+−3xx dx .

b)	∫	(	1 − x + 2				dx .
			x + 2 − 2 x			+ 2
				)
b)	∫	sin2		x	dx .
			x
b)	∫	1 +		x + 4 dx .
			x + 5
b) ∫(x + 2)lnx dx .
b)	∫x2 arcsinx dx.

16.a)

17.a)

18.a)

19.a)

20.a)

21.a)

22.a)

23.a)

24.a)

25.a)

26.a)

27.a)

28.a)

29.a)

30.a)

∫x ex 2 −3dx,
∫		2dx				,
		4x − xlnx
∫		dx		,
		1 + cos6x
		sin 2x dx
∫					,
		1 − cos2x
∫		x2dx	,
		x3 − 5
∫		4dx		,
		2 − 6x2
∫		cosx dx,
		3 sin2 x
∫x e−x 2 dx,
∫		sin x dx,
		x
∫		x2dx	,
		x6 − 1
∫		cosx dx					,
		3 3 + 5sinx
∫		dx	,
		x ln3 x
∫			dx							,
		(arccosx)5 1 − x2
∫		dx							,
	arctg3x (1 +x2 )
∫		arcsin3 x dx						,
		1 − x2

24

b)∫arctg x dx .

b) ∫x2 e3x dx.

b)∫ sinx2 x dx .

b)	∫	x sinx	dx .
		cos2 x
b)	∫	4 + x		dx .
		x + 1 + 7
b)	∫	x + 2 dx .
		x + 11
b)	∫	1		dx .
		3 + ex

b)∫ ln2 x dx .

x2

b)	∫	e3x	dx .
		1 − ex
b) ∫x2 e−2x dx .
b)			1 + x	2		dx .
	∫ln x +
b)	∫x2 cosx dx.
b) ∫ x ln2 x dx .

b)	∫	x2
		dx .
		x − 1
b)	∫x2 sin 2x dx.

25

31-60. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла

31.Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 ≤ 8 делится параболой y = 12 x2 .

32.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = x(x − 1)2 и

осью абсцисс Ox .

33. Найти длину дуги параболы y = x2 от точки x = 0 до точки

x= 1.

34.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y = 12 x2 и 2x + 2y − 3 = 0 .

35. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = 0 и y = sin2 x, (0 ≤ x ≤ π).

36.Найти площадь фигуры, ограниченной параболами x2 + 8y = 8

иx2 − 24y = 40 .

37.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = lnx и

прямыми x = e, x = e2 , y = 0 .
38.	Найти длину дуги кривой	y =	1	(3	− x)	x	между точками её
пересечения с осью Ox .		3
39.	Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси
Ox фигуры, ограниченной линиями y =						4x,	y = 0,	x = 1.
40.	Найти длину дуги кривой	y = lnx			от точки x =			3 до точки

x = 8 .

41. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной

3

линией y = x − x 2 и осью абсцисс Ox .

42. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = x ex , x = 1, y = 0.

43. Найти площади фигур, на которые парабола y2 = 6x делит круг x2 + y2 ≤ 16 .

26

44. Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией

y =			1	и параболой y = 0,5x2 .
			+ x2
	1
45.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y = 0,5(x − 2)2 и y = 2 .
46.	Найти длину дуги кривой x = 1 t6 , y = 4 −				1 t4 между точками
				6	4
её пересечения с осями координат.
47.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной линиями y = e2x − 1,					y = e−x + 1, x = 0.
48.	Найти длину дуги кривой y = ln(1 − x2 ) от точки x = 0 до точки
x = 0,5 .
49.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = lnx и

y= ln2 x .

50.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = arcsinx и

прямыми x = 0, y =	π .
	2

51. Найти длину дуги кривой x = et cost, y = et sin t от t = 0 до точки t = 1.

52.Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2a и высотой h вокруг высоты.

53.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = x + 1

иy2 = 9 − x .

54.	Вычислить площадь	фигуры,		ограниченной		линиями
y = sinx, y = cosx, y = 0,		x = 0,	x =	π .
				2			π .
55.	Найти длину дуги астроиды x = a cos3 t,				y = a sin3 t,	0 ≤ t ≤
						y2 = x3	2
56.	Найти длину дуги полукубической параболы						от
начала координат до точки M(4,8).
57.	Фигура ограничена кривой		x = a cost,		y = a sin t,	0 ≤ t ≤ π	и
						2

осями координат Ox, Oy Найти объём тела вращения.

27

58.	Вычислить			площадь	фигуры,	ограниченной	линиями
y = 2		x,	y =	x + 3 и осью Oy .
59.	Вычислить			площадь	фигуры,	ограниченной	кривыми
y = ex − 1, y = e2x − 3, x = 0 .
60.	найти		площадь		фигуры,	ограниченной	кривыми
y = 1,		y = 4,		y = 2x, y =	x .

Задачи № 61-90. Задания: а) представить комплексное число в тригонометрической форме, б) представить комплексное число в показательной форме; в) выполнить указанные действия над комплексными числами, г) вычислить корень или

решить уравнение.

61. а)

1+i , б) 3 −3 3 i

, в)

7 −5i

+i(1 −i), г) 4 1−i ;

1−2i

62. а)

1−i б) 2 −2i , в)

7 −2i

+(i)11 , г) 4 1+

3 i ;

2 +i

7

7

5

18

63. а) −1+i б) 2

+

i , в)

+(i)

, г)

−1,2 −1,2i ;

2 3

1+ 2i

64. а)

−1−i , б) −5 +5i , в)

1+i +

(i)4 , г)

3 3i −

3 ;

1−i

65. а)

−2i , б)

1 −

3

i , в)

−

12

+i(2 +i)2 , г)

4 1−

1

i ;

2

2

5 i

3

66. а)

−

1

+ 1 i , б)

1+

3 i , в)

(i)23 −17 −6i , г)

7 +7i ;

2

2

3− 4i

67. а)

−

3 +i , б) 4i в)

4

+

3

, г)

3 −

2 − 6 i ;

1 +

3 i

i

68. а)

−

2 −

2 i , б) −

2 3

+

2i в) (3i + 2) (−i)9 +

i +1

, г) 5 i −1 ;

i −1

3

69. а)

3 +i , б) −

2 −

6 i , в) (0,2 −0,3i) (0,5 +0,6i)+(i)26 , г) 3 3 −i ;

28

70.а) 0,5 + 0,5

3 i , б) 1−i , в) (3 +

3 i) (3 −

3 i)+(i)33 , г) 4 −1+ 3 i ;

71.

а)

−

3 +

3 i б) 2i , в)

1+i

+

1−i , г)

3

−2 −2i ;

1−i

1+i

72.

а) 3

3 −3i , б)

− 3 +i

, в) (i)37 +

7 +5i

, г)

z4 −1−

1

i = 0;

1 −2i

3

73.а)

0,5 −0,5i , б)

−2 в) (i)25 −

3 −4i

, г)

z2 −7 +7i = 0 ;

4 −3i

74.

а)

4i , б) i, в)

32

−

3

7

, г) z6 −

3 −i =0 ;

3 i

2i

1 +3

75.

а)

−0,7 +0,7i , б) 1+i в)

1−i2

+3 +i , г)

z4 +1+ 3 i = 0;

2

(1+i)

76.

а) 1−

3 i , б) −1+i , в) (i)44 −

1−i

, г) z4 −

2 +

2 i = 0;

i

77.

а)

−2 + 2i , б) −1−i , в) (−0,5 −0,5

3 i)2 + 0,5 3

(i)35 , г)

z3 −

2 +

6 i = 0 ;

78.

а) 3i , б)

3 +i

в)

1 +

7 i

4

5

+1

+i = 0 ;

2

, г) z

79.

а)

−1,2 , б) −2i , в)

(2 −

2 i)2 +

1+i

, г) z4

−1 +

3 i = 0 ;

i

3

1

17

2i

2

80.

а)

− 2 i , б)

3 −3i , в)

(i)

+

, г) z

+ 2 −2i = 0 ;

2

(

3 −i)

81.

а)

6 i , б) −3i , в)

(2 −i)

(1+i

6

)+(

2 −

2 i)

2

, г) z3 −

i

−

2 −

3 +i

= 0.;

8

82.

а)

3 −i , б) 2 + 2i , в)

(i)13 (i −1) +1, г) z3 −8i = 0;

2 +i

29

83.а) −2

3 + 2 i , б) 2 − 2

3 i , в) (1+ 2i) (i)21 + 5 −i

, г) z3

−i =0;

3

i

84.

а) −5i , б) 3 −3

3 i , в) (i)23 −

17 −6i

, г) z4 −

3 +i = 0;

3−

4i

85.

а) 3 −3 3 i , б)

2 −2i , в) −

12

+i(2 +i)2 , г)

z3 −

3 i −3 = 0;

5 i

86.

а) 1+

3 i , б)

7

+

7

i , в)

1+i +(i)4 , г) z3 −

6 +

2 i = 0 ;

2

3

2

1−i

87.

а) −2

2 − 2 2 i , б) −5 +5i , в)

5

+(i)18 , г) z3 +1+

3 i = 0;

1

+ 2i

88.

а) −1

− 1 i , б)

1 −

3

i , в)

7 −2i +(i)11 , г) z4

−

3 i +1 = 0 ;

2

2

2

2

2 +i

89.

а) −8i , б)

−1

+ 1 i , в)

7 −5i +i(1 −i), г) z3 −

2 −

6 i = 0 ;

2

2

1−2i

90.

а) −

2 +

2 i , б) 1+

3 i , в) (i)22 +

7 +5i

, г)

z3 +3i −

3 = 0.

1−2i