Математика для инженеров
.pdf491. Проверить, что если u x |
x y |
, то |
u |
|
u |
|
u |
1. |
|
|
y |
|
|||||
|
y z |
x |
|
z |
¬31. Дифференциал и дифференцирование сложных функций
492. u p |
qr |
|
|
|
|
|
Найти d pu при p 1, q 3, r 5, p 0,01. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p q r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти полные дифференциалы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
493. z arcsin |
x |
. |
494. z arctg |
|
x y |
. |
|
|
495. z |
xyarctg (xy x y) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|||||||||||||||
|
496. z arcsin(x y), x 3t, |
|
|
y 4t 3 ; |
dz |
? . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||
|
497. z tg (3t 2x 2 y), x |
1 |
|
|
, y |
|
|
|
; |
|
dz |
? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||
498. z x2 ln y, x |
u |
, |
|
y 3u 2v, |
z |
|
? |
z |
? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|||||||||||
499. Найти df (3;4;5), если f (x; y; z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 2 |
||||||||||||
|
|
500. u e x 2 y , где |
x sin t, |
|
|
|
y t 3 ; |
|
|
du |
? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||||||||||||||
|
501. z arctg (xy); найти |
dz |
, если |
|
|
y e x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
502. z |
|
|
Найти d x z |
|
при x 2, y 1,2, x 0,016. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln xy |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти полные дифференциалы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|||||||||||
503. z arctg |
arctg |
. 504. |
|
z |
. 505. |
|
|
z (x 2 y 2 )e |
xy |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
506. Найти df (1;1), если f (x; y) y2 .
507. u z 2 y 2 |
zy, z sin t, y et ; |
du |
? |
|
|
||||||||||||||||
dt |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
508. u |
eax ( y z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
||||||
|
|
, y a sin x, |
z |
cos x; |
|
|
? |
||||||||||||||
a 2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||
509. z x2 y y 2 x, x u cos v, y u sin v; |
|
z |
? |
z |
? |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
v |
|||||
510. u ln(e x e y ), |
|
u |
? |
Найти |
du |
|
, если |
y x 2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
du |
? |
|
|
||||||||||
511. u arcsin |
, где |
z |
x 2 |
1; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
¬32. Дифференцирование сложной функции и повторное
512. z arcsin(x y), x 3t, y 4t 3 ; |
|
dz |
?. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
513. z tg (3t 2x2 y), x |
1 |
, |
y |
|
|
|
|
; |
|
dz |
|
? |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
514. z x2 ln y, x |
u |
, |
y 3u 2v, |
z |
|
? |
|
|
|
|
|
z |
? |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
||||||||
515. u ex 2 y , где |
x sin t, |
y t 3 ; |
|
|
du |
? |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
516. u e x (x cos y y sin y). Показать, что |
|
|
|
2u |
|
|
2u |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
517. u |
|
|
1 |
|
|
. Показать, что |
|
2u |
|
|
|
2u |
|
2u |
0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y 2 |
z |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 y 2 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
518. u z 2 |
y2 zy, z sin t, |
|
y et ; |
|
|
|
du |
? |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
519. u |
|
eax ( y z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, y a sin x, |
z cos x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
||||||||||||||||||||||
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
520. z x2 y y2 x, |
x u cosv, y u sin v; |
|
z |
? |
z |
? |
|||||||||||
|
u |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
||||
|
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
du |
? |
|
|
||||
521. u arcsin |
, где |
x2 |
1; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
522. u arctg |
y |
|
|
2u |
|
|
2u |
|
|
|
|||||||
|
. Показать, что |
|
|
|
|
|
|
0 . |
|||||||||
|
x2 |
y 2 |
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
523. r x2 y2 z2 . Показать, что
2r |
|
2 r |
|
2r |
2 |
|
2 |
(ln r) |
|
2 |
(ln r) |
|
2 |
(ln r) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 |
z |
2 |
r |
x2 |
y2 |
z 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1
r 2 .
¬33. Дифференцирование неявной функции и повторное
524. e z xyz 0; |
z |
? |
|
z |
? |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
525. cos(ax by cz) k(ax by cz); |
|
z |
? |
z |
? |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|||
526. z arctg |
y |
|
|
|
3 z |
3 z |
|
||||||||
|
. Показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
y 2 |
|
|
x y2 |
|||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
527.z x y . Найти вторые частные производные от z . x y
|
|
|
528. z sin xy; |
|
3 z |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
529. u ex (x cos y y sin y). Показать, что |
|
2u |
|
|
2u |
|
0. |
||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
530. u |
|
1 |
|
|
. Показать, что |
|
2u |
|
|
2u |
|
2u |
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
y |
2 |
|
z2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 y 2 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
531. z3 3xyz a3 ; |
|
z |
? |
|
z |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
532. 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z. Показать,что |
z |
|
z |
1. |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|||
533. z x y . Показать, что |
2 z |
|
|
|
2 z |
. |
|
|
||||||||
x y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|||||||||
534. z y ln x . Найти вторые частные производные от z . |
||||||||||||||||
535. w exyz ; |
3w |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
536. u arctg |
y |
|
|
|
2u |
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|||
|
. Показать, что |
|
|
|
|
0 . |
||||||||||
|
x2 |
y |
2 |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
537. r |
x2 |
||||
2r |
|
2r |
|
2r |
|
2 |
, |
x2 |
y2 |
z 2 |
|
||||
|
|
|
r |
y2 z 2 . |
Показать, что |
|
|
|
||||
|
2 (ln r) |
|
2 (ln r) |
|
2 (ln r) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
x2 |
y 2 |
z2 |
r 2 |
||||
|
|
|
|
|
¬34. Экстремум функции двух переменных
Найти экстремумы функции двух переменных:
|
|
|
|
|
538. z y |
x y2 |
x 6y . |
539. z 3x 6 y x 2 xy y 2 . |
|
540. z x3 |
3xy 2 |
9 y 2 75x . |
541. z (2 y 3 3y 2 x)e x . |
|
|
|
|
542. z x2 y 12 y3 6xy . |
|
|
|
|
––––––––––––––– |
Найти экстремумы функции двух переменных:
543.z e x / 2 (x y 2 ) . 544. z x 2 y 2 2x 4 xy 2 y 8.
545.z xye2 y 2 x . 546. z xy 2 27x3 y 2 .
547.z x3 3xy 2 24x 18xy .
¬35. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
548. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 2xy – 4x + 8y в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = 0,
y = 0, |
x = 1, y = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
549. |
|
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||
z e x2 y2 |
(2x2 |
3y 2 ) в круге x2 + y2 4. |
|
|
|
|
|||||
550. |
|
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
||||
z = x3 + y3 – 3xy в области 0 x 2, |
–1 y 2. |
|
|
|
|||||||
551. |
|
На плоскости Oxy найти точку, сумма квадратов расстояний |
|||||||||
которой |
от |
трех |
прямых |
x = 0, y = 0, x + 2y – 16 = 0 |
была бы |
||||||
наименьшей. |
|
|
|
|
|
функции z = x2 – y2 |
|
||||
552. |
Найти наибольшее и наименьшее значения |
в |
|||||||||
круге |
x2 + y2 4. |
|
|
|
|
z = x2y(4 – x – y) |
|
||||
553. |
|
Найти |
наибольшее значение |
функции |
в |
||||||
треугольнике, ограниченном прямыми x = 0, y = 0, x + y = 6. |
|
|
|||||||||
554. |
|
Через точку |
(a, b, c) |
провести |
плоскость так, чтобы объем |
тетраэдра, отсекаемого ею от координатного трехгранника, был наименьшим.
¬36. Касательная, нормаль, плоскости
Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках:
|
|
|
k |
|
|
|
|
2 a 2 |
|
k |
|
|||
555. x a cos , |
y a sin , |
z |
|
|
a |
|
|
|
||||||
|
|
в данной точке |
|
|
|
; |
|
; |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
8 |
|
556. y2 + z2 = 25, |
x2 + y2 = 10 |
в точке |
(1; 3; 4). |
|
||
557. |
Написать |
уравнения |
касательной |
плоскости к |
поверхности: |
|
z = x2 + 2y2 в точке (1; 1; 3). |
|
|
|
x2z + y2z = 4 в |
||
558. |
Написать |
уравнения |
нормали |
к |
поверхности |
точке ( 2; 0; 1).
Для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках:
559.z = 2x2 – 4y2 в точке (2; 1; 4).
560.z x2 y2 xy в точке (3; 4; –7).
Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках:
561. x t sin t, |
y 1 cost, |
z 4 sin |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в точке |
|
1;1;2 |
2 |
. |
|||
|
2 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
562. 2x2 + 3y2 + z2 = 47, x2 + 2y2 = z в точке |
(–2; 1; 6). |
|
|
|
||||||
563. Написать |
уравнение касательной |
плоскости |
к поверхности |
|||||||
az = x2 + y2 в точках пересечения ее с прямой x = y = z. |
|
|
|
|||||||
564. Написать уравнения нормали к поверхности x2 + y2 (z 5)2 = 0 |
в |
|||||||||
точке (4; 3; 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей |
||||||||||
и нормалей в указанных точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
565. z |
x3 3axy y3 |
566. |
|
y |
|
|
|
|||
|
|
в точке (a; a; –a). |
z arctg |
|
|
в точке (1; 1; |
|
). |
||
a2 |
|
x |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
567. К поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21 |
провести касательные плоскости, |
параллельные плоскости x + 4y + 6z = 0.
¬37. Производная по направлению и градиент скалярного поля
Найти градиенты функций в точке A(1; 2): 568. z = 4 – x2 – y2. 569. z = x2 – 2xy + 3y – 1.
570.Найти градиент функции u = ln (x2 + y2 + z2) в точке М0(1; 1; 1).
571.Найти наибольшую крутизну поверхности z2 = xy в точке (4; 2).
572.Найти направление и величину наибольшего изменения скалярного поля u(M) = x2y + y2z + z2x в точке M0(1; 0; 0).
573. |
Найти угол между градиентами функции u arctg |
x |
в точках |
||||||||||
y |
|||||||||||||
М1(1; 1) и М2( 1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
574. |
Найти |
угол |
между |
градиентами функций z |
x2 y 2 |
и |
|||||||
z x 3y |
|
в точке (3; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3xy |
z = x2 – 3x2y + 3xy2 + 1 |
|
|
|
|
||||||||
575. |
Найти |
производную |
функции |
|
в |
точке |
|||||||
M(3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; 5). |
|
|
|
|
|||||||||
576. |
Для функции |
u = x2y + xz2 2 |
найти производную |
|
в |
точке |
М0(1; 1; 1) по направлению к точке М1(1; 1; 3).
577.Найти производную скалярного поля u = ln (x2 + y2) в точке М0(1; 2) параболы y2 = 4x по направлению этой кривой.
578.Найти производную скалярного поля u = ln (xy + yz + xz) в точке М0(0; 1; 1) по направлению окружности x = cos t, y = sin t, z = 1.
579.Найти градиент функции z 4 x 2 y 2 в точке (2; 1)
580. Найти градиент скалярного поля u ze x2 y2 z2 |
в точке O(0; 0; 0). |
581.Найти направление и величину наибольшего изменения скалярного поля u(M) = xyz в точке M0(2; 1; –1).
582.Найти угол между градиентами функции u = (x + y)ex+y в точках М1(0; 0) и М2(1; 1).
583. |
Найти угол между |
градиентами функций u |
x2 y 2 z 2 |
и |
||||
v ln(x 2 y 2 |
z 2 ) в точке М0(0; 0; 1). |
|
|
|||||
584. |
Найти |
производную |
|
функции z = arctg xy в |
точке (1; 1) |
в |
||
направлении биссектрисы первого координатного угла. |
|
|
||||||
585. |
Для функции u = |
x |
|
y |
найти производную в точке М0(1; 1) по |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
y |
x |
|
|
направлению к точке М1(4; 5).
586. Найти производную функции z = ln (x + y) в точке (1; 2), принадлежащей параболе y2 = 4x, по направлению этой параболы.
587. Найти производную скалярного поля u = arctg y x
окружности x2 + y2 4x = 0 вдоль дуги этой окружности. 588. Найти производную скалярного поля u = x2 + y2 + z2
соответствующей значению параметра t = по направлению винтовой 2
линии x = Rcos t, y = Rsin t, z = at.
Глава 4. Интегрирование функций
¬38. Табличное интегрирование
Найти интегралы:
589. |
(2x |
1,2 |
|
|
|
0,8 |
|
|
0,38 |
|
|
|
|
|
|
|
590. |
|
|
|
x |
x3ex x2 |
|
|
|
591. |
|
(1 2x2 )dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
5x |
|
)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
2 |
(1 x |
2 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(1 x)2 |
|
|
|
|
593. e |
x |
|
|
e x |
|
|
|
|
|
594. a |
x |
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
592. |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
dx . |
|
1 |
|
sin |
x |
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
595. |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
dx . 596. |
|
3 2x |
2 3x |
dx . 597. |
tg |
2 |
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
x sin |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 4 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
600. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(1 2x)dx . |
|
|
||||||||||||||||||
598. |
. 599. |
|
|
|
|
|
. |
|
8 2xdx . 601. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
1 |
(2x 3) |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
602. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
603. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
604. |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
605. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 x |
2 |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
)3 |
|
|||||||
608. |
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
611. |
|
(1 x)2 |
dx |
. |
||||||||||||
|
x(1 x |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||
615. |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
606. sin 4xdx . |
|
|
607. |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e |
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
x |
|
|
|||||
dx . 609. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
610. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
cos |
2 |
|
dx . |
|
1 |
|
x |
3 |
|
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
612. |
|
|
|
dx |
|
|
. 613. |
1 cos2 x |
dx. |
614. |
ctg2 xdx . |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
xcos |
x |
|
|
|
|
1 cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
616. (3 2x)4 dx . 617. sin(2x 3)dx . 618. 35 6xdx .
619. |
dx |
. 620. |
|
x4 |
dx . |
621. |
|
dx |
|
. 622. |
|
dx |
|
|
. |
1 10x |
1 x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
8 6x 9x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
dx |
|
|
||||
623. e 3 dx . |
624. |
|
|
. |
||||||
|
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
cos |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
¬39. Подведение под знак дифференциала
Найти интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
dx . |
626. |
|
dx |
. |
|
|
|
x |
|
dx . |
628. |
|
x |
|
dx |
|
. |
|||||||||
625. |
(8 3x)6 |
|
627. |
1 x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
629. |
sin3 x cos xdx . |
|
|
630. |
|
ln x |
|
631. a3x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
632. |
|
|
dx |
|
|
|
|
. 633. |
|
|
|
|
dx |
. |
634. e |
3x 1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
sin |
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(arcsinx) |
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
635. |
e |
x |
(sin e |
x |
)dx . |
636. e |
sin x |
cos xdx . 637. |
|
|
x2 dx |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
6 |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
639. |
|
|
x (arccos3x)2 |
|
|
640. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
641. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 9x |
2 |
|
|
|
1 2x x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
642. |
|
|
|
|
|
. |
|
643. |
|
|
|
|
. 644. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 2xdx |
|||||||||||||||||||
(11 5x) |
2 |
|
x |
2 |
4x 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
638. |
|
e x dx |
. |
|
|
|||||||
|
e |
2 x |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 4x 3 |
|||||||||||
. |
645. |
|
dx |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 2x |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
648. |
|
|
|
dx |
649. |
|
|
x4 dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
646. |
|
|
x |
2 |
|
1dx . |
647. |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 x |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sin xdx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctgx)2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
650. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
651. |
e |
|
e |
|
|
|
dx |
. 652. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
653. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
654. e x2 |
xdx. |
655. |
|
x3dx |
|
. |
|
656. |
|
|
2 x dx |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
x 1 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
657. |
|
|
|
arcsin x |
dx . |
|
658. |
|
|
|
|
. |
|
|
659. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
4x x |
2 |
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
dx |
|
3 |
|
|
dx |
||
660. |
|
|
|
|
. 661. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
2x |
2 |
|
||||
5 (3 x) |
4 |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
3x 2 |
¬40. Метод интегрирования по частям
Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
662. |
|
arcsin xdx |
663. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
664. x |
2 |
|
|
x |
|
665. |
|
xdx |
||||||||||||||||||||
|
|
x ln xdx . |
e |
2 dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
666. |
ln(x 1)dx . |
667. arctg |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
668. ln 2 xdx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
669. |
x |
2 |
|
|
2 |
xdx . |
670. |
|
ln xdx |
671. x |
3 |
e |
x |
dx . 672. arctg xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x cos xdx |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
673. |
|
|
|
|
|
|
dx . |
674. |
|
. 675. x cos xdx . |
676. |
x3 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
677. |
x3 sin xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¬41. Интегрирование заменой переменной
Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
678. |
|
|
|
|
|
|
|
|
679. |
|
1 ln x |
|
|
|
|
680. |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin xdx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
683. |
|
x |
dx . 684. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
681. |
|
|
|
. 682. |
|
|
x |
2 |
2xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
1 x |
2 |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8x 11)dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
685. |
|
|
|
xdx |
|
|
|
. |
686. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
687. |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x( |
|
x |
|
9x |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 2x |
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x) |
|
|
|
|
|
|
6x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(x 2)dx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
688. |
|
|
689. sin x cos |
xdx . |
690. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7x 12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|