Математика для инженеров
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4x |
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1 2x 3x 2 . |
353. |
(1 tg x)(sin x x cos x) x sin x sec 2 x |
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3(x 2 1)2 |
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x |
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x |
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356. e (cos x sin x). |
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1 |
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57 x 2 |
302 x 361 |
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( x 1) 2 4 |
x 2 |
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2 2x+3 |
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359. |
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360. 2x e . |
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20 ( x 2)( x 3) |
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2 x 1 |
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sin 0,8 x sin |
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0,8 cos 0,8 x . |
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363. |
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2 y |
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b |
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cos sin |
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x cos2 (x y)(cos(xy) sin(xy)) 1 |
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sin(x y) sin x |
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x 1 |
x 1 |
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(1 x2e3x 1 cos x 3 2x 3x2 |
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tg x |
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Касательная x + 2y = 4a, нормаль y = 2x – 3a. |
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x + 25y = 0, |
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382. 1) 2 cos x ln 2 |
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2 |
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1 tg t |
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. |
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383. |
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0,355. |
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384. |
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dy |
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2ds |
. |
385. 207360. 386. |
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4 |
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x |
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2 sin |
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2 |
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2x |
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2 arctg x. |
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4 x2 |
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1 x2 |
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389. |
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tg |
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1 |
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2arctg x |
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(4u 3)du |
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391. |
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392. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
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dx. |
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0,995. |
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ds |
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. |
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1 x |
2 |
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1 x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
arcsinx |
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2 |
|
2u2 3u 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
4 ln |
x 4 ln3 x |
|
dx2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
393. |
|
360. |
394. |
1 |
. |
|
395. |
|
|
arcsin |
x x |
|
1 x2 |
|
|
. 396. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
(1 x2 )3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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|
x 2 |
|
(ln 2 x 4)3 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
2 |
dx2 |
|
|
|
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|
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|
|
4a2 |
|
|
|
|||||||||||||||
397. |
|
|
|
3 |
|
|
398. 0. 399. cosa. |
400. 1. |
|
|
|
401. a. |
402. 0,5. |
|
403. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||
|
|
|
3x 4 y 2 |
|
|
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|
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
404. |
|
1. |
|
405. 1. |
|
|
|
406. e. |
|
|
|
|
407. e2. |
408. |
. |
|
409. 3. |
|
410. 0. |
411. 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
412. ln |
. |
|
|
|
|
|
413. |
|
. |
|
|
414. |
. |
415. 1. |
|
|
|
|
416. 0,5. |
417. 1. |
|
|
|
418. 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
419. |
|
0. |
|
|
|
|
|
420. 0. 421. . |
|
422. 1. 423 1. |
|
424. e |
|
. |
425. 1. |
|
426. |
. |
|
427. 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
428. |
|
1. |
|
429. |
|
|
. |
430. |
2. |
431. |
e3 . |
432. |
10 и 6. |
433. 0,6 и –1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3
434. |
|
и |
|
. |
435. |
x |
|
y |
1. 436. Сечение желоба имеет форму |
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
3 |
6 |
|
полукруга. 437. 8 и 0. 438. 1 и 0,6. 439. Наибольшее значение равно 1,
наименьшего – нет. 440. C( |
|
|
|
|
R 2 |
. |
|
6; 6) . 441. На высоте |
|||||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
442. (– ; 0), (0; 0,5), (1; ) – убывает, (0,5; 1) – возрастает; ymin(0,5) = 8,
ymax(1) = 10. |
443. (0; 1), (1; e) – убывает, |
(e; ) – возрастает; ymin(e) = e. |
|||||||||||||||
444. |
|
ymax(0) = 0, ymin(1) = |
2 |
. |
445. |
|
ymax(–a) = –2a, |
ymin(a) = 2a. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
||||
446. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
; |
|
a |
, (a; ) – возрастает, |
|
|
|
a; a – убывает, |
ymax |
|
a |
|
, |
||||
3 |
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
ymin (a) 0 . |
|
447. |
(– ;0), (2; ) – убывает, (0;2) – возрастает, ymin(0) = 0, |
|||||||||
ymax(2) = |
4 |
. |
448. |
ymax (0) 4, ymin ( 2) |
|
8 |
. |
449. ymin(0) = 0. |
||||
|
|
|
||||||||||
|
e2 |
|
|
a4 |
|
|
3 |
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
450. ymax |
|
|
|
|
, |
ymin (0) ymin (a) 0 . |
451. Точки перегиба (2; 62) и |
|||||
|
|
|||||||||||
2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
(4; 206). |
|
|
|
|
Интервалы: |
|
|
вогнутости |
– |
(– ; 2), |
выпуклости |
– |
(2; 4), |
||||||||||||||||||||||||||||
вогнутости |
– |
(4; ). |
|
|
|
|
|
|
452. точки |
перегиба |
( 1; ln 2). Интервалы: |
||||||||||||||||||||||||||||||
выпуклости – |
(– ; –1), |
вогнутости – |
(–1; 1), |
|
выпуклости – |
(1; ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
453. x = –1, |
y = 0,5x –1. |
|
|
454. x = 0, |
y = x + 3. |
455. Точки перегиба |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9a |
|
|
|
|
9a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3a; |
|
|
|
|
|
|
, (0;0), 3a; |
|
|
|
|
|
. |
Интервалы: |
вогнутости |
– |
(– ;–3a), |
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
456. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
выпуклости |
– |
(0;3a), |
|
выпуклости – |
(3a; ). |
|
Точки |
перегиба |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ae |
; |
|
e 2 |
. |
Интервалы: |
выпуклости |
– |
0; ae 2 |
, |
вогнутости – |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
457. x = b, x = 2b, y = x +3(b – a). |
458. y +1 = 0, |
2x + y +1 = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ae |
|
|
; . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
459. Определена везде. График симметричен |
относительно начала. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ymax = 0,5 |
|
|
при |
x = 1, |
ymin = – 0,5 |
при |
x = –1. Точки перегиба графика |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
3 |
|
) , (0;0) и ( |
|
|
|
|
|
3 |
|
) . Асимптота у = 0. |
460. Определена везде. |
|||||||||||||||||||||||||
|
3; |
3; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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1 |
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||||||||||
График симметричен относительно начала координат. ymax |
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x = 1, |
ymin |
1 |
|
|
при |
|
|
x = –1. Точки |
перегиба |
графика (0; 0), |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
e |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
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3 |
|
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|
|
|
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|
|
3 |
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|
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||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|||||
|
3e |
2 |
|
и |
|
|
3; |
3e |
2 |
|
у = 0. |
461. Определена |
||||||||||||
3; |
|
|
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|
. Асимптота |
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|
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|||||
везде, кроме х = 0; |
y = 3 |
при |
x = 0,5. Максимумов нет. Точка перегиба |
|||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
3 |
|
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||
|
|
|
|
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2 |
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|
. Асимптота х = 0. 462. Определена везде, график |
|||||||||||||
графика ( |
|
|
|
|
;0) |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметричен относительно оси ординат. ymin = –1 при x = 0; (1; 0) и
(–1; 0) точки |
перегиба |
графика |
с горизонтальной |
касательной; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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5 |
|
64 |
|
|
|
|
|
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||||
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||||||
|
; |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
точки перегиба. Асимптот нет. 463. Определена везде, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
125 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
кроме x = –1; ymax |
|
|
|
при x = 5, ymin = 0 при |
x = 1. Абсциссы точек |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
. Асимптоты x = –1 и y = 0. |
464. Определена |
|||||||||||||||||||
перегиба графика 5 2 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
везде, кроме x = 0. Максимумов нет. ymin 0,28 |
при x 1,46. Абсцисса |
||||||||||||||||||||||||||||||||
точки перегиба графика 3 |
2 |
. Асимптота x = 0. |
465. Определена везде, |
||||||||||||||||||||||||||||||
кроме |
значений |
x = Ê 1. |
График |
|
|
симметричен |
|
|
относительно |
оси |
|||||||||||||||||||||||
ординат. Максимумов |
нет. ymin = 1 |
|
при x = 0. |
Точек |
перегиба |
нет. |
|||||||||||||||||||||||||||
Асимптоты |
x = Ê 1, y = 0. |
466. |
|
|
Определена |
везде, |
кроме |
x = 1. |
|||||||||||||||||||||||||
Максимумов нет. ymin |
|
27 |
|
при x |
3 |
. Точка перегиба графика (0; 0). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
Асимптота x = 1. |
467. Определена везде. ymax |
|
|
при x = 2, ymin = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
e2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при x = 0. Абсциссы точек перегиба графика 2 |
|
|
2 |
. Асимптота y = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
468. Определена везде, кроме x = 1. Максимумов нет. ymin = –1 |
при |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 0. |
Точка перегиба графика |
|
|
|
; |
|
. Асимптоты x = 1 и y = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
469. Определена везде. ymax e3 при x = 3. Минимумов нет. Абсциссы
точек перегиба 0 и 3 3 . Асимптота y = 0. 470. Определена везде.
ymax 23 4 при x = 4, ymin = 0 при x = 0. Точка перегиба графика (6; 0). Асимптота x + y = 2.
Глава 3. Функции нескольких переменных
471. 472.
473. |
474. |
|
|
|
475. |
|
u |
|
|
|
|
|
z(x y)z 1 |
|
|
u |
z(x y)z 1 |
|
|
|
u |
|
(x y)z ln(x y) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
1 (x y) |
2z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (x y) |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (x y) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
476. |
|
u |
|
|
|
|
|
|
5t |
|
; |
|
u |
|
|
|
|
|
5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2t)2 |
|
|
|
|
( x 2t) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
477. |
u |
|
|
ctg(x 2t). |
|
|
u |
2ctg(x 2t). |
478. |
|
|
|
2 |
и |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
483. |
z |
|
1 |
cos |
x |
cos |
|
y |
|
|
y |
sin |
x |
sin |
y |
; |
z |
|
x |
|
cos |
x |
cos |
y |
|
1 |
sin |
x |
sin |
y |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x y y |
|
|
x x2 |
|
|
|
y |
|
x |
y |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x x |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
484. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 485. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
x |
(x y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x y) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x x 2t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 xt |
|
|
486. |
|
0 и |
|
1 |
. |
492. |
|
|
|
97 |
|
. |
493. |
|
|
ydx xdy |
|
. |
|
|
494. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dy |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
1 y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
495. |
y2dx x2dy |
|
|
arctg (xy x |
y) |
|
xy[( y 1)dx (x 1)dy] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(x y)2 |
|
(x y)[1 (xy x y)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
496. |
|
|
|
|
|
3 12t 2 |
|
|
|
|
|
497. |
dz |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sec |
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 (3t 4t 3 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
498. |
z |
|
|
|
|
u |
ln(3u 2v) |
|
|
3u2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
u2 |
ln(3u 2v) |
|
|
|
|
|
|
|
2u |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
v |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
v2 (3u 2v) |
|
|
|
|
|
|
|
v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3u 2v) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
499. |
|
df (3;4;5) |
1 |
|
(5dz 3dx 4dy) . |
500. esin t 2t3 |
(cost 6t 2 ) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
25 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
501. |
|
ex |
(x 1) |
|
502. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
503. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
504. |
|
2(xdy ydx) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
0,0187. |
|
|
|
dz 0 . |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
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506.df (1;1) dx 2dy ; 507. sin 2t 2e2t et (sin t cos t) . 508. eax sin x .
509.z 3u2 sin v cosv(cosv sin v); z u3 (sin v cosv)(1 3sin v cosv).
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513. |
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518. sin 2t 2e2t |
et (sin t cost) . |
519. eax sin x . |
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520. |
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3u3 sin v cosv(cosv sinv); |
z |
u3 (sinv cosv)(1 3sin v cosv). |
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524. |
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527. |
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c . |
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2 z |
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528. x(2 sin xy xy cos xy) . |
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(x y)3 |
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x2 |
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2 z |
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|
ln x ln y 1 |
eln x ln y . |
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x y |
xy |
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535. |
(x2 y 2 z 2 3xyz 1)exyz . |
|
538. |
zmax(4; 4) = 12. |
539. zmax(0; 3) = 9. |
|||||||||||||||||||||
540. |
zmin(5; 0) = –250, |
zmax(–5; 0) = 250. |
541. |
zmin ( 1;0) |
1 |
. |
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1 |
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1 |
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2 |
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|
|
3 |
, zmin |
|
3; |
|
|
3 . |
543. |
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( 2;0) |
|
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. |
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2 |
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e |
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2 |
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544. zmin (2;2) 0 . 545. |
|
1 |
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1 |
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|
1 |
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. 546. |
|
|
zmin |
|
; |
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В точке (0; 0) |
|||
2 |
2 |
4e |
2 |
||||||||
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|
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|
|
|
требуются дополнительные исследования. |
547. |
zmin(1; 3) = –2, |
|||
zmax(–1; 3) = 2. |
548. |
Наибольшее |
значение |
z = 17 в |
тоске (1; 2); |
наименьшее значение |
z = –3 в точке |
(1; 0); стационарная точка (–4; 6) |
лежит вне заданной области. 549. Наименьшее значение функции z = 0
в точке (0; 0). Наибольшее значение z 3 в точках (0; 1). 550. e
Наибольшее значение z = 13 в точке (2; 1); наименьшее значение z = –1
в точках (1; 1) и (0; –1). |
551. |
|
8 |
; |
16 |
|
. 552. |
Наибольшие и наименьшие |
||
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||||||
5 |
5 |
|||||||||
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|
значения лежат на границе области: наибольшее: |
z = 4 в точках (2; 0) |
и (–2; 0); наименьшее: z = –4 в точках (0; 2) и |
(0; –2). Стационарная |
точка (0; 0) не дает экстремума. 553. Наибольшее значение z = 4 в стационарной точке (2; 1) (эта точка является, таким образом, точкой максимума). Наименьшее значение z = –64 в точке (4; 2) – на границе.
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x |
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y |
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3. |
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2 |
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2 |
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k 2 |
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556. |
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y 3 |
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z 4 |
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557. |
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2x + 4y z = 3. |
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558. |
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x 2 |
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y |
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z 1 |
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559. |
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8x – 8y – z = 4; |
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4 |
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z 4 |
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17x + 11y + 5z = 60; |
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8 |
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561. |
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2 |
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; x y |
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2 z |
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4 . |
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1 |
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1 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||
562. |
|
x 2 |
|
|
y 1 |
|
z 6 |
; |
|
27x + 28y + 4z + 2 = 0. 563. z = 0, x + y + z = |
a |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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28 |
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4 |
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2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
564. |
|
|
x 4 |
|
y 3 z |
|
|
|
|
565. |
|
z a 0, |
x a, |
|
|
566. x |
– y + 2z = |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
5 |
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|
y a. |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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2 |
. |
567. |
x 4 y 6z 21. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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568. grad z = 2(i |
|
2 j). |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
11 2
569. {–2; 1}. |
570. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
571. |
|
|grad z| = |
|
10 |
. |
572. |
|
|
1 в |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
(i |
j k ) . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|||
направлении оси |
|
Oy. |
573. |
|
φ = π. |
574. φ = 8˚. |
575. |
0. |
|
576. |
|
|
5 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||
577. 0,25. |
|
578. –2. 579. |
2i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
. 580. k |
. |
581. 3 в направлении вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
582. 0. |
|
583. 0. |
584. |
|
|
2 |
|
. |
585. –0,4. |
586. |
|
|
2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
2 j 2k . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||
587. 0,25. |
588. |
|
|
|
a2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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a2 R2 |
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Глава 4. Интегрирование функций |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
589. |
C 10x 0,2 |
15x0,2 |
3,62x1,38. |
|
590. C |
|
2 |
|
|
|
|
ex ln |
|
x |
|
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2x 2 12 |
x 6 |
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|
3x |
x |
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||||||||||||||||||||||||||
591. arctgx |
1 |
C; |
592. |
C . |
593. e x |
1 |
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
594. |
|
a x |
|
|
|
|
595. C ctgx tg x. 596. |
3x |
|
2(1,5) x |
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ctg x C . |
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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ln1,5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ln a |
|
|
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|
|
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|||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
597. |
tg x x C. |
598. |
|
|
x arctgx C. 599. |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
8(2x 3)4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
600. |
C |
|
|
(8 2x)3 |
. |
601. C |
1 |
sin(1 2x). 602. |
1 |
ln |
|
x 2 |
|
|
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
603. arcsin( x 2) C . |
604. |
1 |
arctg |
x 1 |
C . |
|
605. |
|
. 606. |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
607. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
608. |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
x 6 |
|
|
|
9 |
|
x 3 |
|
|
6 |
|
x2 6 |
|
|
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4ln |
|
x |
|
|
|
|
C . |
|
|
|
x2 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
609. e |
x |
|
tg x C . |
610. |
|
|
a x |
2 |
|
|
C . 611. ln |
|
x |
|
2 arctg x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x C. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
612. tgx ctgx C. |
|
|
|
613. |
(tgx x) C. |
614. |
|
C ctgx x. |
615. |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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2 |
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3 2 |
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616. |
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(3 2x) |
5 |
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617. |
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C |
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cos(2x 3) |
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618. C |
1 |
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4 |
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C |
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. |
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. |
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(5 6x) |
3 . |
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10 |
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2 |
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8 |
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619. |
C 0,1ln |
|
1 10x |
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. |
620. |
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x 4 |
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x3 |
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x 2 |
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. |
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C |
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x ln |
1 x |
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4 |
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3 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
|
1 |
|
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x |
1 |
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|
1 |
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3x 1 |
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1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
621. |
|
|
|
arctg |
|
C. |
622. |
|
arcsin |
C . 623. |
3(e 1) . |
|
|
624. |
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3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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|
2 |
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3 |
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3 |
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|||||||||||||||||||||
625. C |
5 |
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11 |
626. |
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1 |
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1 |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
(8 3x) |
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. |
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ln2x 1 |
|
C. 627. C |
|
(1 x2 )3 |
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5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
33 |
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|
2 |
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|
3 |
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3 |
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|
C . 629. |
1 |
|
sin4 x C. |
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2 |
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|
C. |
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|
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|
|
|
a3x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
628. |
|
3 |
|
|
(x 4 1)2 |
|
630. |
|
|
|
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|
(lnx)3 |
631. |
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
4 |
3 |
3ln a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||
632. |
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
633. C |
1 |
|
ctg 4x . |
|
634. C |
e1 3 x |
. |
|
635. C cos(e x ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
2(arcsinx)2 |
|
|
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|
4 |
|
|
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|
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|
3 |
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
636. esin x C . |
637. |
|
1 |
|
arctg |
x3 |
C . |
638. |
|
1 |
|
|
arctg |
e x |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
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2 |
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2 |
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|
2 |
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||||||||||||||||||||
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|
1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
(arccos3x)3 . |
|
640. arcsin |
x |
1 |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
639. |
C |
1 9x 2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 |
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2 |
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. |
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1 |
. 643. |
arctg |
1 |
. 644. C |
|
|
|
(8 2x)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
641. ln(x 2 |
|
x2 4x 3) C . 642. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
6 |
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|
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|
|
7 |
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|
|
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|
|
3 |
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|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
2 |
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|
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|
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|
|
|
|
C |
a x |
|
. 648. |
1 |
tg 5x C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
645. |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 646. |
|
|
|
(x 2 |
1)3 |
|
C . |
647. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
3 |
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|
|
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|
|
|
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5 |
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||||||||||||||||||||
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|
2 |
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651. 2x |
1 |
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|
e2x |
|
e 2x C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
649. |
|
|
|
|
|
4 x5 |
C . |
|
|
|
|
|
650. sec x C . |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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||||||||
652. |
|
1 |
(arctg x)3 C . |
653. 2 |
|
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|
C . 654. 0,5e x2 |
|
C . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 tg x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
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|
|||
655. |
|
1 |
|
arcsin x 4 C . |
656. |
arcsin 2x |
|
C . |
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4 |
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ln 2 |
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2 |
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. |
658. arcsin |
x 2 |
C . |
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657. |
C 2 |
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1 x2 |
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(arcsin x)3 |
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3 |
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2 |
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1 |
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C . 660. 5(5 |
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1) . |
661. |
1 |
ln |
4 |
. |
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659. |
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ln |
3x 1 |
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9x 2 6x 3 |
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16 |
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3 |
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2 |
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2 |
5 |
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3 |
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662. |
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663. |
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3 |
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1 x arcsinx 4 |
1 x C . |
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x |
x |
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C . |
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2 |
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|
ln |
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x |
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4x 8 C . |
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3 |
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3 |
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664. |
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|
665. x tg x ln |
|
cosx |
|
C. |
|
666. 2ln 2 1. |
|
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2e |
2 x2 |
|
|
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|
|
667. x arctg2x 1 2x 1 C. 668. x(ln 2 x 2 ln x 2) C .
2