Математика для инженеров

691.				dx						.
		1		3
						x 1
694.				dx								.
			2
		x			x		2
								9

697. xcosx2dx.

(x 2)dx

700.x 2 2x 2

692.			ln tg x								dx .
	sin x cos x
695. (1 e3x )2 e3x dx .
698.							dx										.
						3						4
			x					x		2
														x
. 701.					(x 3)dx										.
					2
					3 2x x

1 x2

693. x4 dx .

696. 1 ex exdx.

699.			dx					.
	12x		9x		2
						2
1	e x dx
702.				.
	2 x
0	1 e

¬42. Интегрирование рациональных дробей

Найти интегралы:

			x 2														2x 2 5x 1																							0,5				x3dx
703.									dx .				704.																			dx .					705.													.
		x	3	2x		2											x	3		2x						2		x														x	2	3x 2
																																								0
706.					x 1								dx .		707.									x 2 x 1													dx .			708.						3x 2		2x 1											dx .
		x	4	4x			2		4													x	5		2x				4				x		3										(x 2)					2	(x			2
																																																							1)
709.				11x 16										dx .		710.												2dx										.		711.								4xdx										.
		(x 1)(x 2)											2											(x 1)						2			(x	2												(1 x)(1 x									2	)	2
																																				1)
		x3		2x 2 4																		x6			x 4 4x 2 2																				2			dx
712.															713.																												714.
												dx .																											dx .														.
		x		3	(x 2)					2															x		3	(x	2				1)			2												x				3
																																														1 x

¬43. Интегрирование иррациональностей

Найти интегралы:

715.			1	x			dx	.
		1
				x			x
718.					dx
		x		x	2	2x 1

716.	x 1					dx				.	717.						dx						.
	x 2					x2 x 2								3			2
																x 2
																			x
. 719.						dx				.	720.					dx					.
	4
			x(x 25 x)									x			2 x x			2

721.					dx									.				722.			2x x2						dx .				723.									dx								.
		3					6															x	2
				x 9							x																								(x 1)3 (x						2)			2
																																													(x 1)
			3
						x						dx													dx													dx
724.				1													.	725.													. 726.												.
				3																					5											3				6
																					x(							x	2	)							x 2
			1			x x																		x																	x
					dx																				dx
727.																.		728.																. 729.			x			2	2x 1 dx .
						5
											x		2								(2x 3) 4x									x		2
				x 5
730.			1 4x x2															dx .

¬44. Интегрирование тригонометрических функций

Найти интегралы:

731.	sin		2	x cos	4		xdx . 732.			dx				.	733.		cos3 x			dx .
										1 sin	2						sin	2	x
													x
734.		sin xdx					. 735.		cos xdx				.		736.				dx			.
		(1 cos x)				2		(1 cos x)				2				(sin x cos x)					2

	737.			dx
			5	3cos x
	740.		cos3 x
					dx .
			sin4 x
	744.			dx
			5	4sin x

. 738. sin 4 x cos2 xdx .

739.

dx

.

1 cos

2

x

sin

3

dx

sin

3

741.

x

dx . 742.

.

743.

x

dx .

cos

2

cos

5

x

sin x cos x

x

.

¬45. Разные интегралы

Найти интегралы:

							8									0,5
										5					)3				x3dx
	3		xdx					xdx				(	25 x 2
745.						.	746.				. 747.					dx . 748.				.
				2										4			x	2
								1 x					x
	sin				x		3			2,5						0			3x 2

4

											2												1
		2			dx										x		2	1
749.								.	750.												dx .		751.					2x x 2					dx .
				2 cos x 3													x
	0										1												0
	2
											1												2
																	e x dx												dx								4			x sin x
752.	x log 2 xdx .								753.													.	754.												. 755.									dx .
																												5													3
																x				x											2
	1										0				e			e								x				x		1					0			cos			x
																									2
	2					dx												1														3					dx
756.												.		757. x 2									1 x2	dx .					758.														.
										3																									x x		2
					x 1 (x 1)
	0																	0														1					5x 1

¬46. Несобственные интегралы

Вычислить интегралы:

																	dx								dx
759.	e		x				760.	xe		x2		761.									762.
				dx .							dx .									.									.
																	2	x
																									(1 x)	3
	0							0							1 x								0
			dx				ln xdx								dx						2			dx
763.						.	764.				. 765.									.	766.						.
		1 x			2			x	2					2	2x 2							x	2
	1						1					x									0			4x 3

¬47. Вычисление площадей плоских фигур

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

767.кривыми у = ех , у = е х и прямой х = 1.

768.уравнения которых у2 = 2х + 1 и х у 1 = 0.

x a(t sin t),	и осью Оx (рис.3):
769. одной аркой циклоиды

y a(1 cos t)

Рис. 3

770. = a sin 2 (двулепестковая роза – рис. 4) .

771. Окружность x2 +y2 = 8 разделена параболой y	x2	на две части.
2
Найти площади обеих частей.
772. осью абсцисс и y = sin x, y = cos x.

	Рис. 4			Рис. 5	Рис.6
773. x = y2 + 4y и х = у + 4.
774.		3	t,	(Рис. 5).
	астроидой: x a cos
775.	y a sin3 t.
	= 2а(2 + cos ) (улитка Паскаля) (Рис. 6).

776.Вычислить площади криволинейных фигур, образованных

пересечением эллипса	x2	y 2	1 и гиперболы	x2	y 2	1.
				2
4

¬48. Вычисление длин дуг и объемов тел вращения

777.	Найти длину дуги линии y ln x (от	x1 3 до	x2 8 .
778.	x a cos3 t,	(Рис.5).
	Найти длину астроиды
	y a sin3 t.

Рис.7

Рис. 8

Рис 9

779. Найти длину кардиоиды a(1 cos ) (Рис.7).

780.Фигура, ограниченная дугами парабол у = х2 и у2 = х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое при этом получается.

781.Вычислить объем тела, которое получится от вращения вокруг оси

ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой синусоиды y = sin x, соответствующей полупериоду.

782.Найти площадь поверхности, образованной вращением параболы y2 = 4ax вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абсциссой x = 3a.

783.Найти длину линии y = ln(1 – x2) (от x1 = 0 до x2 = 0,5).

784.Вычислить длину дуги полукубической параболы 5y3 = x2, заключенной внутри окружности x2 + y2 = 6.

785.Найти длину дуги эвольвенты окружности:

x R(cost t sin t),	от t1 0	до t2 (Рис. 8).
y R(sin t t cost),

786. Вычислить длину дуги гиперболической спирали 1 (от φ1 =

3

4

до φ2	=	4	) (Рис. 9).
	3

787.Симметричный параболический сегмент, основание которого а, высота h, вращается вокруг основания. Вычислить объем тела вращения, которое при этом получается (™лимонš Кавальери).

788.Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной линией y = arcsin x с основанием [0; 1], вокруг оси Ox.

789.Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой y = 2x – x2 и осью абсцисс, вокруг оси ординат.

¬49. Задачи физики и механики

790.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой синусоиды y = sin x и отрезком оси абсцисс (от x1 = 0 до x2 = π).

791.Найти координаты центра тяжести первой арки циклоиды:

x a(t sin t),

y a(1 cos t).

792.Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота 140 м,

ребро основания (квадрата) 200 м. Удельный вес камня, из которого она сделана, равен 2,5 Г/см3. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.

793.Стержень AB вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси

OO′, проходящей через точку A перпендикулярно горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω = 10π сек–1. Поперечное сечение стержня S = 4 см2, длина его l = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, γ = 7,8 г/см3. Найти кинетическую энергию

стержня. (Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна 0,5Jω2, где ω – угловая скорость, а J – момент инерции относительно оси вращения).

794.Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки a, высота h.

а) Посчитать силу давления воды на каждую из сторон пластинки. б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пластинку

так, что на поверхности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды?

795.Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной

	координатными осями и дугой эллипса	x 2		y 2	1, лежащей в первом
		a 2		b2

квадранте.

xa cos3 t,

796.Найти координаты центра тяжести дуги астроиды

y a sin3 t,

расположенной в первом квадранте.
797.	Вычислить работу, которую необходимо затратить,			чтобы
выкачать воду, наполняющую цилиндрический		резервуар	высотой
H = 5 м, имеющий в основании круг радиуса R = 3 м.
798.	Треугольная пластинка, основание которой	a =40 см,	а	высота

h = 30 см, вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью ω = 5π сек–1. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее

d = 0,2 см, а плотность материала, из которого она изготовлена, γ = 2,2 г/см3.

799. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой a = 6,4 м, нижнее b = 4,2 м, а высота Глава 5. Дифференциальные уравнения

¬50. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные первого порядка

Решить дифференциальные уравнения:

800.

xyy 1 x2 .

801. y sin x y ln y;

y

x

e .

2

802.

yy 2 y x .

803. x 2 y 2 2xyy 0 . 804.

xy cos

y

y cos

y

x .

x

x

805.

xy y 2 (2x2

xy) y . 806. y

xy 0 ; y = 0 при x = 1.

x2 y 2

807.Найти линию, проходящую через точку (2; 3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

808.Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

809.ds s t . dt t s

812. yy 1 2x . y

814.y y 2 y ; x 2 x

810.	x 2 y y 2							811. xy 2
					xy .				xy y .
813. y			1 y2	;	y			1.
			1 x2				x 0

y = 1 при х = 1.

	y				1
815. xy y 1 ln			;	y				при	х = 1.
	x					e

816.Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

817.Найти линию, у которой длина полярного радиуса любой ее точки M равняется расстоянию между точкой пересечения касательной в точке M с осью OY и началом координат.

¬51. Уравнения Бернулли и линейные

Решить дифференциальные уравнения:
818. y cosx ysin x sin2x.	819. y xy y3e x2 .			820. (a2 x2 )y xy 1.
821. (2x 1) y y x . 822.	t 2	ds	2ts 3 . s = 1 при t = –1.
		dt

823.3y 2 y y3 x 1. y = –1 при x = 1.

824.Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

825. y

2 y

e x2

.

2

.

827. y

ytg x ctg x .

826. y x y xy

xx

828.tds 2sdt t 3 ln tdt . 829. y y cos x sin 2x .

830.(1 x2 ) y xy xy 2 ; y = 0,5 при x = 1.

831.Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.

¬52. Уравнения, допускающие понижение порядка

Найти общие решения уравнений:

y

y

y

y

832.

xy

833.

y

. 834. y

x .

ln .

2

4

y

y

x

y

y

x

835.

yy

2

y

2

y

.

836. y

y

x .

837.

2 yy

2

4 y

2

.

( y )

3( y )

838.

yy

yy

ln y

2

.

839. (x

a) y

2

y

.

( y )

x( y )

840.

y 2ctgx y

3

841. cos y

d

2 y

dy

2

dy

sin

x .

sin y

.

dx2

dx

dx

¬53. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

		Найти общие решения уравнений:
	842.	у + у 2у = 0.	843. у 4у = 0.						844. у + 6у + 13у = 0.
	845. y 2y + y = 0.		846. y + 9y = 0.					847. y(4) = 8y 16y.
	848. y 13y 12y = 0.			849. y 9y = 0.					850. y 2y y = 0.
	851.	4y 8y + 5y = 0.		852. 4	d	2 x	20	dx	25x 0.
					dt 2			dt
	853. y(4) 13y + 36y = 0. 854. y(4) = 16y.								855. y(4) + 2y + y = 0.

¬54. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Найти общие решения уравнений:

856. y 2y + y = e2x. 857. y + 3y + 2y = sin 2x + 2cos 2x. 858. y + 3y = 9x. 859. y + 4y + 5y = 5x2 32x +5.

860. y 3y + 2y = ex. 861. y 2y = xe x. 862. y 2y = x2 x.

863. y + 5y + 6y = e x + e 2x. 864. y 5y + 6y = 13sin 3x. 865. y + y + 2,5y = 25cos 2x. 866. y 4y + 4y = 3e2x.

¬55. Метод вариации произвольной постоянной

Найти общие решения уравнений:

867. y′′ + y

2

868. y

1

869. y

e x

+ ctg x = 0.

y cos3 x .

2 y

y x 2 1.

e x

2x

2x

x

870. y

f (x), если f (x) равна:

2) e

1 e

2x

1)

1 e x ,

,

3)

e

cos e

.

y

871. y 4 y

1

sin 2 x

Глава 6. Ряды

																						¬56. Последовательности
	Написать простейшую формулу п-го члена последовательности по
указанным членам:
	3 4 5 6																												3 3 7 3 7 11 3 7 11 15
872.			,							,						,						, ... .	873.								,							,								,										, ... .
																																															2 4 6 8
	4 25 36 49																												2 2 4 2 4 6
	По п-му члену последовательности записать ее первые четыре
члена и последующий п +1.
874.	an											1							.			875.	an											1									.		876. an											1				.
							n(n 1)																		(2n 1)(2n 1)																												(2n 1)!
877.	an						n		2						878.							an	2 5 ... (3n 1)
												.																											.
							3n
																							1 5 ... (4n 3)
	Найти пределы выражений при неограниченном росте аргумента:
						n 2 1																																							3				3								3				.
879.	lim																. 880. lim(																				). 881. limn															n3 1						n3 1
																								n 3												n												2
	n 2n3 1
	Написать простейшую формулу п-го члена последовательности по
указанным членам:
	2 4 6 8																										1 3 1 3 5 1 3 5 7
882.			,					,						,						, ... . 883. 1,													,									,									, ... .
	5 8 11 14																										1 4 1 4 7 1 4 7 10
	По п-му члену последовательности записать ее первые четыре
члена и последующий п +1.																																																									n
884.	an											1										885.	an											1												886. an
																				.																								.															.
							n(n 3)																			(3n 2)(3n 1)																												(n 1)!
887.	an						2n								888.							an	3 5 ... (2n 1)
												.																												.
							n		4
																							5 8 ... (3n 2)

Найти пределы выражений при неограниченном росте аргумента:

889. lim 1 n 3n2 . 890. lim n 2 1 n 2 1 . 1 n2 3n3

891. lim 3 (n 1) 2 3 (n 1) 2 .

¬57. Теоремы сравнения