4.2. Статистические критерии выявления сезонных колебаний

Для определения наличия сезонности в исследуемом процессе часто бывает достаточно экономического анализа и графического отображения процесса за два-три года. Первое представление о возможном характере процесса и наличии в нем сезонных колебаний дает графическое представление временного ряда. Визуальный анализ графиков временного ряда позволяет определить наличие тренда и его характер, наличие сезонных и циклических компонент. Выявление сезонных колебаний удобно производить по графику временного ряда, построенного методом наложения. В этом случае по оси абсцисс откладывается интервал времени предполагаемого периода колебаний, например, год, с разбивкой по месяцам. А по оси ординат - значения уровней ряда за несколько лет. Если во временном ряду имеются периодические изменения, то на графике наблюдаются пики или впадины в определенный период времени.

При графическом изображении процесса сезонность часто бывает выражена настолько ярко, что нет необходимости ее доказывать численным способом. Но могут возникнуть какие ситуации, когда нет твердой уверенности, что колебания обусловлены сезонным фактором, а не каким-то иным случайным внешним воздействием. В этом случае необходимо использовать специальные статистические критерии.

Выявить наличие сезонных колебаний можно, проверив на случайность остаточный ряд после выделения тренда. Случайная компонента должна иметь математическое ожидание равное нулю, постоянную дисперсию и нулевую автокорреляцию между соседними уровнями ряда:

, . (4.1)

Если эти условия не выполняются, то можно сделать предположение о наличии в остаточном ряду сезонной компоненты. Для проверки наличия сезонности в остаточном ряду чаще всего применяют следующие критерии: дисперсионный, гармонический и критерий основанный на распределении коэффициента автокорреляции.

Все три критерия предусматривают, что из временного ряда выделена регулярная компонента (тренд). Под степенью гладкости тренда понимают минимальную степень полинома, адекватно представляющего тренд ряда. В данном случае определение степени гладкости тренда носит вспомогательный характер и не адекватно утверждению, что процесс развивается по полиномиальной кривой.

Существует несколько подходов, позволяющих адекватно выбрать порядок аппроксимирующего полинома. Сделаем предположение, что временной ряд состоит только из регулярной U_t и случайной E_t компонент: . В главе 3 рассмотрены методы выбора кривых роста для выравнивания. Для выбора полинома может быть использован, например, метод Тинтнера, основанный на анализе дисперсий последовательных разностей временного ряда.

Рассмотрим дисперсионный критерий. После выделения тренда остаток запишем в виде:

.

В случае сезонной волны с постоянной амплитудой остаточную компоненту запишем в матричном виде:

, ,.

, ,, т.е. предполагается, что группы отличаются только математическими ожиданиями.

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии сезонных колебаний:

.

В случае справедливости гипотезы Н₀ критерий Фишера

, (4.2)

, ,

,

имеет F-распределение с (T₀ –1,T-T₀) степенями свободы.

Если F-расчетное значение меньше табличного значения статистики с заданным уровнем значимости α, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу об отсутствии сезонных колебаний. В противном случае неслучайный характер случай ной компоненты подтверждается.

Пример.

Имеются данные за три года о выпуске коммерческим банком ценных бумаг. Выявить наличие сезонных колебаний с помощью дисперсионного критерия.

1 год	Выпуск ценных бумаг, тыс. руб.	2 год	Выпуск ценных бумаг, тыс. руб.	3 год	Выпуск ценных бумаг, тыс. руб.
Январь	13072	Январь	15235	Январь	29372
Февраль	13890	Февраль	15020	Февраль	28055
Март	11706	Март	15800	Март	27505
Апрель	12050	Апрель	15591	Апрель	27195
Май	15170	Май	16950	Май	28472
Июнь	21408	Июнь	20180	Июнь	31108
Июль	24378	Июль	22676	Июль	33200
Август	22500	Август	21944	Август	31670
Сентябрь	18610	Сентябрь	21088	Сентябрь	31006
Октябрь	14979	Октябрь	20826	Октябрь	30884
Ноябрь	13687	Ноябрь	18432	Ноябрь	30540
Декабрь	15205	Декабрь	24037	Декабрь	32310

Построим график временного ряда методом наложения (рис. 4.3). Визуальный анализ графика исходного ряда говорит о наличии в нем сезонных колебаний. Подтвердим высказанное предположение с помощью дисперсионного критерия.

Рис. 4.3 Выпущенные банком ценные бумаги

Предварительно выполним аналитическое выравнивание исходного ряда на основе кривых роста полиномиального типа и исключим из временного ряда тренд. В качестве аппроксимирующего полинома выбран полином 2-го порядка: .

В таблице 4.1 приведен исходный ряд, тренд и ряд остатков.

Таблица 4.1

Аппроксимация временного ряда «Выпущенные банком ценные бумаги»

полиномом второго порядка

Время
1	13072	14700.34	-1628.336
2	13890	14796.87	-906.872
3	11706	14920.82	-3214.822
4	12050	15072.18	-3022.183
5	15170	15250.96	-80.957
6	21408	15457.14	5950.857
7	24378	15690.74	8687.259
8	22500	15951.75	6548.249
9	18610	16240.17	2369.826
10	14979	16556.01	-1577.01
11	13687	16899.26	-3212.257
12	15205	17269.92	-2064.917
13	15235	17667.99	-2432.989
14	15020	18093.47	-3073.473
15	15800	18546.37	-2746.369
16	15591	19026.68	-3435.678
17	16950	19534.4	-2584.399
18	20180	20069.53	110.468
19	22676	20632.08	2043.922
20	21944	21222.04	721.964
21	21088	21839.41	-751.406
22	20826	22484.19	-1658.188
23	18432	23156.38	-4724.383
24	24037	23855.99	181.01
25	29372	24583.01	4788.991
26	28055	25337.44	2717.559
27	27505	26119.29	1385.715
28	27195	26928.54	266.459
29	28472	27765.21	706.791
30	31108	28629.29	2478.71
31	33200	29520.78	3679.217
32	31670	30439.69	1230.312
33	31006	31386.01	-380.005
34	30884	32359.74	-1475.735
35	30540	33360.88	-2820.877
36	32310	34389.43	-2079.431

Общая средняя по остаточному ряду.

Дальнейшие расчеты проведены с помощью электронных тaблиц Excel, результаты приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Расчет F-статистики

Месяц	1 год	2 год	3 год	Средняя в месяц	1 год	2 год	3 год
1	-1628.34	-2432.99	4788.991	242.5553	-1870.89	-2675.54	4546.436
2	-906.872	-3073.47	2717.559	-420.929	-485.943	-2652.54	3138.488
3	-3214.82	-2746.37	1385.715	-1525.16	-1689.66	-1221.21	2910.874
4	-3022.18	-3435.68	266.459	-2063.8	-958.382	-1371.88	2330.26
5	-80.957	-2584.4	706.791	-652.855	571.898	-1931.54	1359.646
6	5950.857	110.468	2478.71	2846.678	3104.179	-2736.21	-367.968
7	8687.259	2043.922	3679.217	4803.466	3883.793	-2759.54	-1124.25
8	6548.249	721.964	1230.312	2833.508	3714.741	-2111.54	-1603.2
9	2369.826	-751.406	-380.005	412.805	1957.021	-1164.21	-792.81
10	-1577.01	-1658.19	-1475.74	-1570.31	-6.699	-87.877	94.576
11	-3212.26	-4724.38	-2820.88	-3585.84	373.582	-1138.54	764.962
12	-2064.92	181.01	-2079.43	-1321.11	-743.804	1502.123	-758.318
				-0.99267

Месяц	1 год	2 год	3 год	За три года
1	3500234	7158537	20670077	31328849	242.6381	58873.23
2	236140.9	7035991	9850105	17122237	-420.846	177111.3
3	2854962	1491355	8473186	12819502	-1525.08	2325857
4	918496.7	1882047	5430110	8230654	-2063.72	4258932
5	327067.3	3730862	1848637	5906567	-652.772	426111.6
6	9635925	7486847	135400.7	17258173	2846.761	8104049
7	15083848	7615083	1263936	23962867	4803.549	23074080
8	13799298	4458619	2570238	20828156	2833.591	8029238
9	3829931	1355387	628547.7	5813866	412.8877	170476.3
10	44.8766	7722.367	8944.62	16711.86	-1570.23	2465617
11	139563.5	1296282	585166.9	2021013	-3585.76	12857648
12	553244.9	2256373	575046.7	3384664	-1321.03	1745120
				148693260,64		63693113

, ,

Табличное значение F-статистики с 11 и 24 степенями свободы и уровнем значимости 0,05 равно:

.

Так как , то полученные результаты подтверждают предположение о неслучайном характере остаточной компоненты, во временном ряде присутствуют колебания с годовой периодичностью.

Для выявления сезонных колебаний можно также использовать критерий сравнения распределений коэффициентов автокорреляции с распределением циклического коэффициента автокорреляции. Данный критерий, также как и дисперсионный, применяют к остатку после выделения тренда. Критерий основан на предположении, что в неслучайных рядах существует тот или иной тип зависимости между членами.

Нециклическим коэффициентом автокорреляции с запаздыванием (или лагом)  называется величина:

(4.3)

или в упрощенном виде (для больших T):

. (4.4)

Предполагая, что получим следующее выражение:

,

названное циклической (круговой) сериальной корреляцией.

Т. Андерсон¹, исходя из предположения нормально распределенной совокупности , предложил использовать сериальные коэффициенты первого порядка для проверки гипотезы о независимости. В работе доказана теорема дающая право вычисленияR=r_кр и приведена таблица значений R, при которых функция распределения принимает значения 0,01 0,05 0,95 0,99 . Распределение циклического коэффициента автокорреляции для=0,01 и =0,05 приведено в таблице 4.3. Показано, что с увеличением Т распределение нециклического коэффициента автокорреляции асимптотически сходится к распределению циклического коэффициента автокорреляции. Поэтому, на практике вычисляется r₁ по формуле (4.3) или (4.4) и по таблицам проверяется его существенность.

Таблица 4.3.

Распределение циклического коэффициента автокорреляции

Т
	0,95	0,99
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75	0,253 0,345 0,370 0.371 0,366 0,360 0,353 0,348 0,341 0,335 0,328 0.299 0,276 0,257 0,242 0,229 0,218 0,208 0,199 0,191 0,184 0,178 0,174	0,297 0,477 0,510 0,531 0,533 0,525 0,515 0,505 0,495 0,485 0,475 0,432 0,398 0,370 0,347 0,329 0,313 0,301 0,289 0,278 0,268 0,259 0,250

Пример. Выявим сезонные колебания во временном ряду «Выпущенные банком ценные бумаги» с помощью критерия сравнения распределений коэффициентов автокорреляции с распределением циклического коэффициента автокорреляции. Этот критерий, также как и дисперсионный, применяют к остатку после выделения тренда. Значение первого коэффициента автокорреляции, вычисленное по формуле (4.3) с помощью статистической функции КОРРЕЛ равно r₁==0,707 (рис. 4.2). Критическое значение циклического коэффициента для остаточного ряда при =0,05 и Т=36 r₁=0,239. То есть r₁> r_крит=0,239 и факт присутствия в остаточном ряду сезонных колебаний подтверждается.

Рис. 4.4. Расчет первого коэффициента автокорреляции

Гармонический критерий основан на анализе коэффициентов Фурье. Известно, что произвольную функцию можно разложить в бесконечный ряд Фурье:

, .

Для этого достаточно, чтобы функция на интервале от - до  была однозначной, непрерывной и имела конечное число точек максимума и минимума. Если функция периодическая, то ее можно представить в виде отрезка ряда Фурье:

, (4.5)

если Т нечетное и

, (4.6)

если Т четное.

Коэффициенты находятся по формулам:

, ,

, (4.7)

, .

Из свойств функций cos и sin следует, что оценки параметров в генеральной совокупности являются несмещенными и взаимно некоррелированными. Из этих предположений об ошибке Е_t дисперсии оценок определяются как , а дисперсии оценок-. Несмещенной оценкой дисперсии ошибокбудет:

.

В работе², исходя из нормальности распределения величин Е_t, для выявления сезонных колебаний предлагается использовать гипотезу об отсутствии циклического слагаемого с заданным наименьшим периодом. Выдвигается нулевая гипотеза:

.

Если нулевая гипотеза верна, то независимы и нормально распределены с нулевыми средними и дисперсиями. Статистика

имеет ² – распределение с двумя степенями свободы, а статистика

(4.8)

имеет F- распределение c (2, Т-р) степенями свободы, где р - число оцениваемых коэффициентов.

Гипотеза более общего порядка о равенстве нулю всех коэффициентов использует статистику:

, (4.9)

имеющую F-распределение с (Т₀-1) и (Т-Т₀) степенями свободы.

Пример. Выявим сезонные колебания во временном ряду «Выпущенные банком ценные бумаги» с помощью гармонического критерия. Гармонический анализ позволяют проводить в основном все статистические программы. Выполним расчеты с использованием программы статистического анализа и прогнозирования «ОЛИМП:СтатЭксперт». Этот критерий также как и предыдущие применяют к остатку после выделения тренда.

Таблица 4.4

Таблица анализа гармонических статистик

Ряд	Название временного ряда	Номер гармо-ники	Период	Fрасч.	Fтабл. При =0,05	Факт присутствия в остаточном ряду сезонных колебаний
1	Ценные бумаги	2 3 6	18 12 6	5,924 5,985 6,387	3,29	Подтверждается

Таким образом, проведенный анализ подтверждает наличие колебаний в рассматриваемом временным ряде, колебания являются сезонными, так как завершаются в течение года.

Из рассмотренных трех критериев выявления сезонных колебаний наиболее простым является дисперсионный критерий. На практике чаще используется гармонический критерий, который позволяет не только проверить наличие сезонных колебаний, но и оценить степень вклада в общую дисперсию каждой гармоники. Использование критерия сериальной корреляции для выявления сезонных колебаний не всегда дает однозначный результат, особенно для рядов со слабо выраженными колебаниями.