2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода

Имеем

Отсюда

.

3. Теорема Гаусса-Остроградского

Пусть замкнутая поверхность с внешней нормалью.- тело, ограниченное этой поверхностью,.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема (теорема Гаусса - Остроградского). Справедливо равенство:

где

- дивергенция поля .

Доказательство. Имеем ,

.

Поэтому достаточно доказать следующие равенства:

,,.

Пусть . Тогда

Далее

Аналогично ,.

Теорема доказана.

ЛЕКЦИЯ 19

Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла

2-го рода от пути в R³

1. Формула Стокса

Пусть

- двусторонняя поверхность

.

Тогда множество - граница (или край) поверхностиS. Определим важное понятие ротора векторного поля:

,

где - символический оператор из частных производных, оператор « набла».

Теорема (Формула Стокса). Если ориентации на исогласованы, то

Доказательство. Необходимо доказать равенство:

или три равенства

Для простоты докажем первое равенство в предложении, что поверхность

.

Имеем

Что и требовалось показать.

2. Условия независимости криволинейного интеграла

2-го рода от пути в R³

Векторное поле называетсяпотенциальным, если существует скалярное поле - потенциал такой, чтоили,

т.е. есть решение системы

Лемма. Работа векторного поля в областине зависит от пути, а зависит только от начала и конца путилюбая циркуляция вE равна 0.

Доказательство. Точно такое же, как в плоском случае.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

1. поле потенциальное, в односвязной областиE;

2. ротор в областиE;

3. работа поля вE не зависит от пути.

Доказательство. Будем следовать схеме .

:

.

Имеем

Отсюда . Аналогично доказываются остальные равенства.

Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки

1. Скалярное и векторное поля

Напомним определения, с которыми мы уже работали.

Если в каждой точке некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V заданоскалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).

Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор

то говорят, что в области V  задано векторное поле .

2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля

Важнейшими характеристиками векторных полей являются поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля

Пусть в каждой точке некоторой поверхности S определен непрерывный вектор . Зададим направление нормалик поверхности S.

Напомним, что поток векторного поля через поверхностьв направлении нормализадается поверхностным интегралом 2-го рода или поверхностным интегралом 1-го рода:

.

Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скалярное поле

.

Циркуляцией  векторного поля вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

     В случае, когда векторное поле является силовым полем,циркуляция даёт величину работы этого поля вдоль кривой L.         Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

.

Операторы grad, div, rot называются основными операторами теории поля.