- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
1. Площадь поверхности в r3
Поверхность в задается параметрически при помощи 2 параметров
,
,
- поверхность в .
Иногда поверхность задают при помощи одной функции двух переменных
.
Тогда параметрическое задание имеет вид
.
Поверхность называется гладкой, если
.
Из этих частных производных можно записать матрицу Якоби нашего отображения
.
Точку назовем не особой, если ранг матрицы А в этой точке максимален и равен двум. В не особой точке векторы-столбцы являются линейно независимыми.
Выясним геометрический смысл этих векторов. Эти векторы - касательные векторы к линиямна поверхности. В не особой точке эти касательные векторы не коллинеарные.
Можно показать, что все касательные векторы к кривым на поверхности, проходящие через , лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке.
В не особой точке уравнение касательной плоскости можно записать с помощью точки и двух касательных векторов:
.
Рассмотрим вектор .
Очень часто в качестве нормального вектора будем использовать единичный нормальный вектор
Определим первую квадратную форму на поверхности. Пусть
Таким образом, первая квадратичная форма на поверхности имеет вид: .
Определение. Площадью гладкой поверхности ,-измеримо по Жордану, называется число:.
Преобразуем эту формулу для площади поверхности
2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
Пусть поверхность ,
- непрерывная функция.
Определение. Поверхностным интегралом первого рода по поверхности от функции называется число
.
Здесь - элемент площади поверхности.
Данное определение справедливо и для кусочно-гладкой поверхности, т.е. поверхности, которая может быть разбита на конечное число гладких участков.
Поверхностный интеграл первого рода сводится к некоторому двойному интегралу и для него справедливы все его свойства.
3. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
Геометрическое приложение: Вычисление площади поверхности
Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести поверхности, начиненной веществом с плотностью .
Масса: .
Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Координаты центра тяжести:
.
Вторые статические моменты относительно координатных плоскостей:
Статический момент (момент инерции) относительно начала координат:
.
ЛЕКЦИЯ 18
Поверхностный интеграл 2-го рода. Его связь с поверхностным интегралом 1-го рода. Теорема Гаусса-Остроградского
1. Поверхностный интеграл 2-го рода.
Будем рассматривать гладкие двусторонние поверхности. Сторона выбирается с помощью нормали к поверхности.
Пусть некоторая двусторонняя поверхность,- векторное поле на поверхности. Нам необходимо определить поверхностный интеграл второго рода по какой-то стороне поверхностидля векторного поля. Этот интеграл запишется следующим образом:
.
Определим интеграл . Остальные интегралы будут определяться аналогично.
Пусть . Стороны на этой поверхности можно выбирать следующим образом:
- это сторона поверхности, нормаль к которой образует с осью острый угол;
- это сторона поверхности, нормаль к которой образует с осью тупой угол.
В таком случае положим
.
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода – вычисление потока векторного поля через поверхностьв направлении нормали.