- •Иванов в.И.
- •Лекция 1 Два определения интеграла Римана по прямоугольнику. Критерий Коши
- •1. Два определения интеграла Римана по прямоугольнику
- •2. Критерий Коши
- •2. Колебание функции по прямоугольнику и в точке. Критерий непрерывности функции в точке
- •3. Замкнутость множества точек, в которых колебание функции не меньше заданного положительного числа
- •1. Измеримость множества по Жордану в r2. Критерий измеримости
- •2.Достаточное условие измеримости
- •3. Определение двойного интеграла Римана по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •Лекция 6
- •Лекция 8
- •2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан в случае ортогональных координат
- •2. Сферические координаты в Rn. Их ортогональность
- •2. Сходимость кратных интегралов
- •3. Кратные несобственные интегралы 2-го рода. Абсолютная сходимость.
- •4. Сходимость кратных интегралов
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 16 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 17 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •Лекция 20 Скалярное и векторное поля. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля. Векторные линии и векторные трубки
- •1. Скалярное и векторное поля
- •2. Поток, дивергенция, циркуляция и ротор векторного поля
- •3. Векторные линии и векторные трубки
- •Лекция 21
- •Лекция 23 Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал. Замкнутые и точные дифференциальные формы
- •1. Дифференциальные формы. Замена переменных в дифференциальной форме
- •2. Дифференциал от дифференциальной формы. Второй дифференциал
- •2. Площадь поверхности сферы в Rn
- •Лекция 25 Ориентация на поверхности и ее границе. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
- •1. Ориентация на поверхности и ее границе
- •2. Интегрирование дифференциальной формы по ориентированной поверхности
3. Векторные линии и векторные трубки
Пусть в области задано векторное поле. Кривая L, лежащая в, называетсявекторной линией, если в каждой точке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направлением вектора в этой же точке.
В вопросах, связанных с изучением полей, важную роль играет задача о нахождении векторной линии поля , проходящей через данную точку.
Аналитически эта задача формулируется так: требуется найти вектор-функцию r(t), удовлетворяющую условиям:
где — радиус-вектор начальной точки,— начальный момент времени, а— произвольная числовая величина. Можно показать, что если компоненты Р, Q, R вектора— непрерывно-дифференцируемые функции координат, ни в одной точке не обращающиеся в нуль одновременно, то эти условия действительно определяют в области, в которой задано поле, одну и только одну векторную линию.
Если в рассматриваемой области взять какую-нибудь кривую, отличную от векторных линий, и через каждую ее точку провести векторную линию, то геометрическое место этих линий даст нам векторную поверхность. В случае, если упомянутая направляющая кривая является замкнутой, получается трубкообразная векторная поверхность, называемая векторной трубкой.
Лекция 21
Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Векторная интерпретация формул Стокса и Гаусса-Остроградского
Соленоидальные векторные поля. Векторная интерпретация
формулы Гаусса-Остроградского
Векторное поле в областиназывается соленоидальным, если для любой замкнутой поверхностипоток через нее равен нулю. Из теоремы Гаусса – Остроградского вытекает следующее утверждение.
Теорема. Следующие условия эквивалентны:
Поле - соленоидальное вE;
в области E;
существует векторное поле .
2. Потенциальные векторные поля. Векторная интерпретация
формулы Стокса
Потенциальные векторные поля и приложения формулы Стокса приведены в лекции 19.
ЛЕКЦИЯ 22
Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле и уравнение Лапласа. Гармонические функции. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей и уравнение Пуассона. Вторая формула Грина
1. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка
Рассмотрим скалярное поле и векторное поле.
Дифференциальными операциями первого порядка называются операции
где -оператор набла.
Дифференциальными операциями второго порядка называются попарные комбинации операций первого порядка. Рассмотрим эти операции
. Имеем
Выражение называется оператором Лапласа.
. Имеем
. Имеем
. Имеем
.
2. Гармоническое поле и уравнение Лапласа. Гармонические функции
Векторное поле, которое одновременно является и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.
Пусть поле гармоническое
Итак, потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению - уравнению Лапласа
.
Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.
3. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей и уравнение Пуассона
Теорема. Для любого векторного поля справедливо разложение:, где- потенциальное поле,- соленоидальное поле.
Действительно, по определению потенциального поля есть градиент некоторого скалярного поляu: . Поэтому для вектора имеем
Чтобы векторное поле было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию, откуда.Таким образом, для скалярного потенциала поля получаем уравнение
,
называемое уравнением Пуассона: .
4. Вторая формула Грина
Пусть - пространственное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью. На поверхностивыбрана внешняя сторона с помощью внешней нормали. В телезаданы два гладких скалярных поляи. В этих предположениях выполняется утверждение.
Теорема (вторая формула Грина) Справедливо следующее равенство
,
где - производнаяпо направлению внешней единичной нормали.
Доказательство. Имеем
.
Согласно теореме Гаусса - Остроградского
где поверхностные интегралы второго рода взяты по внешней стороне поверхности , ограничивающей область. ПустьТогда поверхностные интегралы второго рода в правых частях могут быть записаны как поверхностные интегралы первого рода:
Окончательно получим