II. Определение закона движения системы.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20).

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.20) складывается из общего решения однородного уравнения S_OD и частного решения S_Ч неоднородного: S = S_OD + S_Ч. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.20), имеет вид:

(2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

S = Ae^Lt , (2.3)

где А и L - неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

(L² + 2nL + k²) Ae^Lt = 0

Так как мы ищем нетривиальное решение, то. Сле­довательно, должно выполняться условие

L² + 2nL + k² = 0. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Эти уравнение имеет два корня:

(2.5)

n < к, поэтому общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

(2.6)

где А₁,А₂ - постоянные интегрирования,

(2.7)

k₁ = 3,06 c^-1

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера

,

нетрудно представить в виде:

S_{OD =} (2.8)

где - постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

(2.9)

Частное решение ищем в виде правой части

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

.

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов

А и В:

(2.11)

.

F₀ = 20 H, m_пр = 3.68 кг, k = 3.06 c^-1, n = 0.14 c^-1, .

A = -2,64 м

B = 4,68 м

Таким образом, решение (2.10) определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.9)

(2.12)

Константы определяются из начальных условий (1.21). Для этого найдем производную по времени от (2.12)

(2.13)

Подчинив (2.12) и (2.13) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

. (2.14)

α = 5,54

tg β = 1,6

β = arctg(1,6) = 58

Подставляя (2.14) в (2.12), получаем закон движения механизма.

S = 5,54 е^-0,14t sin (0,36t+1,6) -2,64 sin (πt)+ 4,68cos (πt)

III. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Рис.3. Расчетные схемы каждого тела механизма

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс

(3.1)

(3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис.2) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат

тело 1: , (3.3)

тело 2: , (3.4)

тело 3, (3.5)

(3.6)

(3.7)

тело 4; , (3.8)

. (3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) - (3.9) преобразуем к виду:

,

,

,

, (3.10)

,

,

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций: N₄, T₃₄, T₁₂,T_23, X₃, Y₃.

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.

,

X₃=,

,

,

T₃₂₌