IV. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выра­жение принципа Даламбера-Лагранжа

. (4.1)

Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4).

Рис. 4. Расчетная схема

Идеальные связи не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций ва любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

(4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

(4.3)

Аналогичное выражение для приведенной силы F_пр получено ранее [см. (1.18)].

Найдем возможную работу сил инерции:

(4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

Ф₄=m₄ (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

(4.6)

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

, (4.7)

где m_пр=, (4.8)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

(4.9)

Поделив (3.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.10)

где

(4.11)

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.20).

V. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Составим теперь уравнения Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

, (5.1)

где Т - кинетическая энергия системы;

Q - обобщенная сила;

S - обобщенная координата;

- обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.9):

T=,

где m_пр=,

Учитывая, что V = , получаем

T=, (5.2)

Производные от кинетической энергии

; ;. (5.3)

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис. 3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см. (3.3)]:

.

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

(5.4)

Сравнивая два последних соотношения, получаем

(5.5)

Подставляя производные от кинетической энергии (5.3) и обобщенную силу (3.16) в уравнение Лагранжа, получаем

или

, (5.6)