А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

												91
				6 t																	1+t
				0 t			2 t								6
				5
								t													6-t
	t 2
				4																	3
				2											6
				5
								2													4
	) Построим матрицу C :
3
					v	2					v	2		1				v		1		v	4		1
					1													3
	u			0		2							1						1					1
	1
	u	2		1		3							2						2					2
	u3		1			1							0						0					0
	u	4		1		3							2						2					2
	) Найдем матрицу							C					C :
4
									0		2		3		0
									0		2		0		3
																		0 .
									0		7		5		7
									2		0		6		0

Так как 0 , то четвертый план перевозок, полученный в пункте 5 ), является оптимальным. Найдем значение функционала c, x :

c, x 2 4 3 2 1 5 2 2 2 6 1 3 2 4 46 .
		4	0	0	3
		2	0	6	0
Ответ: x							, S		46 . ●
ˆ		5	0	0	0			min
		0	2	0	4

Пример 4. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей (табл. 7.6), при дополнительном требовании полно-

92

го вывоза груза из пункта

A2 .

Таблица 7.6

			b	10	b	20
			1		2
a		25		1		2
1
a	2	15		3		4

Решение:

1) Так как

a	a	2	40, b	b
1			1	2

30

, то

2
i
a
i 1

2 b j j 1

. Для

приведения к замкнутой модели введем фиктивный пункт назна-

чения

B3

с требуемой величиной ввоза

b3 40 30 10

. Так как

в задаче имеется дополнительное требование полного удовлетво-

рения вывоза груза из пункта A2 , то положим c31 0, c32 M , где M − достаточно большое положительное число. Получим замкнутую модель транспортной задачи со следующей платежной матрицей:

						b		10		b		20			b	10
						1				2					3
		a		25				1				2				0
		1
		a	2	15				3				4				M
2) Найдем начальный план перевозок методом «северо-
западного угла».
				Первоначальный план перевозок:
						b		10		b		20			b	10
															3
						1				2
		a		25			10					15
		1
		a	2	15								5				10
3) Построим матрицу C :
						v		1		v		2		v	M 2
											2			3
					1
		u1 0						1				2			M 2
		u2 2						3				4				M

93

4)Найдем матрицу

C C
	0	0
	0	0

:

2 M .

0

Так как

min ij 13 2

i, j

M	- достаточно большое число, то

M 0.

5) Построим новый план перевозок, добавляя в предыдущий

план перевозок на место нулевого небазисного элемента x13																							ве-
личину t 0 :
			10			15 t		t				t 10			10		5			10
						5 t		10 t									15
											:
3 ) Построим матрицу C
								v 1				v	2	2			v	3	0
							1
				u1 0			1							2					0
				u	2	2	3							4					2
4		) Найдем матрицу C C :
									0		0		0
															.
									0		0	M
															2

Так как 0 , то полученный в пункте 5) план перевозок являет-

ся оптимальным. При этом из пункта A2			весь груз будет вывезен,
а в пункте	A1	останется 10 единиц груза. Найдем значение функ-
ционала c, x :
		c, x 1 10 2 5 0 10 4 15 80 .
			10	5				80 . ●
		Ответ: x			,	S	min
		ˆ
			0	15

Задачи для самостоятельного решения

Решить транспортные задачи с заданными платежными матрицами:

7.1.

a		3
	1
a	2	4
a		5
	3

7.2.

a1 85

a	2	90
a		125
3

7.3.

b	2
1

1

4

0

b	50
1

2

5

4

94

b	3	b	4	b	3
2		3		4
	2		3		4
	3		2		0
	2		2		1

b	100	b	40	b	110
2		3		4
	3		1		2
	2		4		1
	2		3		5

							b	30				b	30			b	20
							1					2				3
				a		20		1					2				3
				1
				a	2	40		2					3				3
7.4.
						b 130			b			220		b	60			b	70
														3
						1			2									4
	a1 120					1				7					9				5
	a	2	280			4				2					6				8
	a3		160			3				8					1				2

7.5. Решить транспортную задачу, заданную платежной матрицей, при дополнительном требовании удовлетворения пункта назначения B2 :

		b	25	b	15
		1		2
a1	10		1		2
a2	20		3		4

		95
Занятие 8. Простейшая задача классического
	вариационного исчисления
Рассмотрим некоторое		функциональное пространство		X .
Пусть каждому элементу x x t G X поставлено в соответ-
ствие число	I . Тогда говорят,		что на множестве G X задан
функционал	I x I x .
Линейное пространство		X	называется нормированным, если
на X определен функционал			: X R , называемый нормой и

удовлетворяющий условиям:

а)	x 0 x X , причем						x				0 x
б)	x x	R, x X ;
в)	x1 x2 x1	x2	x1, x2 X .
Будем рассматривать			следующие

странства:

0

;

функциональные про-

1)

C t0 ;t1 - пространство функций, непрерывных на отрез-

ке t0 ;t1

с введенной в нем нормой

x

max

x t ;

0

t t

,t

0

1

2) C1 t

0

;t - пространство функций, имеющих непрерыв-

1

ную производную на отрезке t0

;t1

с нормой

.

x

max

1

x

,

x

0

0

Определение. Простейшей задачей классического вариаци-

онного исчисления (КВИ) называется следующая экстремальная задача в пространстве C1 t0 ;t1 :

t
1	x t0 x0 ,
I x L t, x t , x t dt extr;
t
0

x t
1

x1

.

(з)

Здесь	L L t, x, x	- функция трех переменных, называемая
интегрантом, отрезок t0 ;t1 фиксирован и конечен, t0			t1.	▲

96

Определение.

краевым условиям

мыми.

Функции x C1

x t	0	x	0	,	x t
					1

Рис. 8.1

t0

x1

,

;t1 , удовлетворяющие называются допусти-

▲

Определение. Говорят, что допустимая функция ляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче

ˆ	ˆ		0 такое, что для
x locmin	з x locmax з , если
пустимой	функции	x ,	удовлетворяющей

xˆ достав- (з), пишут: любой доусловию

x xˆ 1 , выполнено неравенство

					I x I x				I x I x .		▲
								ˆ		ˆ
Теорема. Пусть функция									ˆ
									x доставляет слабый локальный
										ˆ	а функции
экстремум в поставленной задаче (з) x locextr з ,
L, Lx , Lx	непрерывны как функции трех переменных в некоторой
окрестности				множества					t, xˆ t , xˆ t t t0;t1 .		Тогда
ˆ	1	t						ˆ
L t C			0	;t и функция x удовлетворяет уравнению Эйле-
x				1
ра:
						d	ˆ	ˆ		t t0 ;t1 .
							Lx	t Lx t	0		(1)
						dt

Здесь использованы следующие обозначения:

97

ˆ

t

,

ˆ

t

.

ˆ

ˆ

L

L t, x, x

L

L t, x, x

x

x x t

x

x

x x t

x

x x t

x x t

ˆ

ˆ

Доказательство: Возьмем произвольную, но

			1		t0	;t1 , где
ную функцию h C0
C1	t	0	;t	h C1 t			0	;t	h t	0	h t
0			1					1			1

фиксирован-

0 .

Рассмотрим функцию одной вещественной переменной

I

Функция R. Так как

	t	L t, x t h t , x t h t dt .
x h	1
ˆ			ˆ
				ˆ
	t
	0
ˆ			является допустимой для любого
x x h
ˆ	з ,		то функция имеет экстремум
x locextr

в точке 0. Положим

F t,

L t, xˆ t

t1

t0

ˆ h t , x t

F t, dt

.

h t

. Тогда

Из условий гладкости,	наложенных на функции	ˆ
		L, x, h , сле-
дует, что функции F и F дифференцируемы в некотором пря-
моугольнике t0 ;t1 0 ; 0	, поэтому функция дифферен-
цируема в нуле и по теореме Ферма 0 0.

Продифференцируем функцию :

t1

t0

				t	L		t, x t
		t, dt		1		x
F
							ˆ
				t
				0
L t, x t h t , x t
			ˆ
		x					ˆ
			t1				h t
	0 Lx t
				ˆ
			t0



ˆ

L

h t , x t h t h t
ˆ
h t h t dt ,
		(2)
t h t dt 0 .
x

На следующем этапе доказательства теоремы сформулируем

98

и докажем вспомогательное утверждение.

Лемма Дюбуа-Реймона.

непрерывны на отрезке t0 ;

Пусть функции a0 t , a1 t

t

t h t a0 t h t dt 0

1

h C0 t0 ;t1 .

a1

1

t

0

Тогда a1 t C

1

t0 ;t1

и выполнено равенство

d

a t a

t 0

t t

; t .

dt

1

0

0

1

Доказательство леммы: Возьмем функцию

p t C

1

t0

;t1

кую, что

t

t

p t a0 t ,

1

p t dt

1

a1 t dt .

t

0

t

0

t
1

та-

и

Такая функция существует, так как из первого условия функция p t определяется с точностью до константы, а выбором константы можно удовлетворить второе условие. Тогда для любой функ-

1

t0 ;t1 по условию леммы справедливы равенства:

ции h C0

t

a

t h t dt

t

t

1

t h t a

1

a t h t

dt

1

h t p t dt

0

1

1

t

0

t

0

t

0

t

t

t

1

t h t dt h t p t

1

h t p t dt

1

a1

t p t h t dt 0 .

a1

t

t

1

0

t

0

t

0

t

0

~

t

t

a1 p d . Эта функция

Рассмотрим функцию h

t0

1

;t1 . Действительно,

принадлежит пространству C0 t0

		~	t a t
		h
					1
~	t0	0,		~	t1
h				h

p t C t0 ;t1 ,
t1
a1	t p t dt 0 .

t0

99

Тогда для функции

~	t
h

также должно выполняться равенство

t			~	t
	1				1
		a	t p t h t dt 0			a	t
		1				1
t	0			t	0

p t	2	dt

0

,

откуда следует,

что

t

a	t
1
t0; t1 .

p t

.

Поэтому

a	t C1 t	;t
1	0	1

и

	d	a	t a	t 0
	dt	1	0

Теперь из леммы Дюбуа-Реймона и равенства (2) следует утверждение теоремы. ■

Уравнение (1) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, так что его общее решение должно зависеть от двух произвольных постоянных. Значения этих постоянных определяются из граничных условий

x t	0	x	0	,	x t	x
					1	1

Следует отметить, что краевая задача

.

	d		L	L				0,
							x
	dt		x
x t		0	x		0	,	x t		x
								1	1

не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

Определение. Функции, удовлетворяющие уравнению Эйлера задачи (з), называются экстремалями, а допустимые функции, удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются допусти-

мыми экстремалями. ▲

Интегралы уравнения Эйлера.

1. Если интегрант L L t, x не зависит явно от место интеграл импульса

x

, то имеет

	ˆ	t const .
2. Если интегрант	Lx
	L L x, x не зависит явно от

место интеграл энергии

t

, то имеет

ˆ ˆ	ˆ
	t L t const .
xL
x

100

Для доказательства интеграла энергии умножим

равенства (1) на ˆ : x t

x t

d

L

t L

t x t

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

dt

x

x

d

x t L

t L

t

x t

L

t x t

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

dt

x

x

x

d

ˆ

ˆ

t

d

ˆ

x t L

L t 0

dt

x

dt

d

x t L

t L t

0 x t L

t

L t

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

dt

x

x

обе части

const.

Отметим, что при выводе интеграла энергии использовалось дополнительное предположение о существовании второй произ-

водной	ˆ
	x t .

1

Пример 1. I x x2 2tx dt

1

Решение: Интегрант задачи равен Уравнение Эйлера имеет вид:

extr; x 1 1,		x 1 1.
		2	2tx .
L L t, x, x x

	d	L	L
				x
	dt	x

0	d	2x 2t
	dt

0

x

t

.

Общее решение дифференциального уравнения Эйлера:

									t		3
					x						C1t C2 .
										6
Постоянные C1,C2					найдем из граничных условий:
x 1 1		1	C C						1, x 1 1				1	C C		1.
							2								2
	6		1									6		1
Отсюда получаем C					1	, C					1. Единственная допустимая экс-
								2
			1	6

тремаль задачи имеет вид:

Покажем, что xˆ t

x t	t	3		t
					1.
ˆ	6			6

доставляет абсолютный минимум в зада-

че, т.е. покажем, что для любой допустимой функции x выполне-