А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

11

	0	0				0,			0	требуется дополни-
A t;0			,					2
	0	24t 2t	2		1
тельное исследование.
Рассмотрим точки			~	t 1; 2 из окрестности токи P3 t;0 .
			P3

Здесь 1, 2 – вещественные числа произвольного знака, сколь угодно малые по модулю. Тогда

	f t			1	;		2	f t;0 t		1	2 12 t	1		2	.
											2
Если t 0, то t 1 0, 22									0, 12 t 1 2				0, следова-
тельно,	f t	1	;			2	f t;0 0		и P t;0 locmax			f .
									3

Если

t

0

, то

f	1	;	2

f 0;0 2		12	1
1	2

2

. Так как

		2	0, 12
		2		1		2

и положительным,

0

,

то и

а

P3

10;

может быть

0 locextr

f

как отрицательным, так

.

Если 0 довательно,

t f t



12			,	то
	1	;			2

t

	1
f t;0

0,0

2 2

и

0, 12 P3 t;0

t 1

locmin

	2
f .

0

,

сле-

Если t 12

, то

f 12			1	;	2	f 12;0 12
Так как	2	0, 12 1 0					, а	1
	2

рицательным, так и положительным, то

2
1 2 1 2 .
2 может быть
P 12;0 locextr	f
3

как от-

.

Если тельно, f t

t12

1;

,то t

2

1 f t;0

0, 22

0

и

0, 12

P3 t;0

t 1 2	0, следова-
locmax f .

Покажем, что Smin , Smax			:
f n; n 12n3 при	n ,		f n; n 12n3 при
n .
Ответ: 3;6 locmax	f	;
t; 0 locmax	f	при t 0 и t 12;
t; 0 locmin	f	при 0 t 12;

12

		Smin			, Smax									.
	Задачи для самостоятельного решения
1.1.	f x , x		2		x2		x x				2		x			2		2x						x		2		extr.
	1					1		1								2					1
1.2.	f x1	, x2			x1x2				50						20				extr.
										x					x
																	2
											1
1.3.	f x1	, x2		, x3				2					2					2							x1 2x3					extr.
						x1 x2								x3					x1x2
1.4.	f x1	, x2					2	2x1						x2				8x1				x2						extr.
						3x1
1.5.	f x1	, x2				4		4		x1						x2					2		extr.
					x1		x2
1.6.	f x1	, x2				4		4		x1						x2					4		extr.
					x1		x2
1.7.	f x1	, x2										2									2		extr.
					3x1x2 x1 x2												x1x2
1.8.	f x1	, x2					4			4					2						2		extr.
						2x1		x2				x1						2x2
1.9.	f x1	, x2				2		3		x1 x2 extr.
					x1 x2 6
1.10.	f x1, x2							2					2	e		x2				x2				extr.
					2x1				x2										1		2
1.11.	f x1, x2						2			2		2ln x1								18ln x2 extr .
					x1			x2
1.12.	f x1, x2							2												2	4x1						2x2 1 extr .
					4x1 4x1x2												x2
1.13.	f x1, x2				x1					2		e		x		2		extr.
								x2						1
1.14. f x , x				2	x2			x x					2	x2 4ln x													10ln x		2	extr.
		1				1				1								2						1
1.15.	f x1, x2				, x3 x1x2 x3									16 x1 x2											2x3 extr.

●

Занятие 2. Гладкие конечномерные экстремальные задачи с ограничениями типа равенств

Постановка задачи:

f0 x extr; f1 x 0,..., fm x 0 ,			(1)
где функции n переменных f	k	x : Rn R k 0,1,..., m	опреде-
лены и непрерывно дифференцируемы в некоторой			области

13

U Rn (т.е.

непрерывны в

	fk x и	fk x	, k 0,1,..., m,
		xi
	U ).

i 1,..., n

определены и

Определение.				Точки	x U , удовлетворяющие условиям
f1 x 0,...,		fm x 0, называются допустимыми по ограничению
в задаче (1).								▲
						ˆ	доставляет в
Определение. Говорят, что допустимая точка x
задаче	(1)	локальный			минимум	(локальный	максимум):
ˆ		ˆ
x locmin з		( x locmax з), если 0 такое, что для любой до-
						ˆ	, выпол-
пустимой точки x , удовлетворяющей условию x x
нено неравенство			f0	x f0	x f0 x	f0 x .		▲
					ˆ	ˆ
						m
Определение.				Функция		L x, k fk x ,		где
0 , 1,..., m ,						k 0
			называется функцией Лагранжа задачи (1), а
числа 0	, 1,..., m		– множителями Лагранжа.					▲
Теорема 1. (Необходимое условие локального экстремума
1-го порядка)
		ˆ	ˆ	ˆ	– точка локального экстремума в за-
1) Пусть x x1,..., xn
даче (1),	а функции			f0 x ,	f1 x ,..., fm x непрерывно дифферен-

цируемы в этой точке. Тогда существует ненулевой вектор мно-
жителей Лагранжа			0			, 1,..., m такой, что для функции Ла-
гранжа задачи (1) выполняется условие стационарности по x :
	L x,					m		ˆ
		ˆ						x 0 .
					0, i	1,2,..., n k fk			(2)
		xi
						k 0
2)	Для того,		чтобы			0 0 , достаточно, чтобы			векторы
ˆ	ˆ								■
f1 x ,..., fm x были линейно независимы.
						ˆ	, в которых выполнены
Определение. Допустимые точки x
условия (2), называются стационарными.									▲

Теорема 2. (Необходимые условия локального экстремума I-II порядка)

Пусть 1)

xˆ locmin

14 з xˆ locmax

з

;

2)

f		x D	2	x ,
	k			ˆ

k

0,1,..., m

;

3) система векторов сима (условие регулярности).

	ˆ		ˆ
f x ,..., f			x
1		m

линейно незави-

Тогда
1,	,...,	m
1

существует		вектор	множителей	Лагранжа
	такой, что	для	функции Лагранжа задачи

L x,

m f0 x k fk x k 1

выполнены условия:

а) стационарности:

	L x,
	ˆ	0, i
	x
	i

1,2,...,

n

;

б) неотрицательной (неположительной) квадратичной формы

n

2

ˆ

n

2

ˆ

L x,

h h

0

L x,

h h

0

j

j

x x

i

x

x

i

i, j1

j

j

i

i, j1

i

h h1,..., hn ,

удовлетворяющих

условию

n

f

x

k

ˆ

hi

0,

k 1,..., m .

x

i 1

i

определенности

		для всех
f x , h 0
	k	ˆ

■

Теорема 3. (Достаточные условия локального экстремума I-II порядка)

Пусть 1)	fk x D	2	ˆ	k 0,1,..., m ;
			x ,
2)	система векторов						линейно незави-
					f1 xˆ	,..., fm xˆ

сима (условие регулярности);

1,

	3)
	,...,	m
1

существует вектор множителей Лагранжа такой, что для функции Лагранжа задачи

	m
L x,	f0 x k fk x выполнены условия:
	k 1

15

а) стационарности:

	L x,
	ˆ	0, i
	x
	i

1,2,...,

n

;

б) положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы

n

2

ˆ

n

2

ˆ

L x,

h h

0

L x,

h h

0

для всех

x x

x x

i

j

i

j

i, j1

i, j1

i

j

i

j

h h1,..., hn 0

fk

и

удовлетворяющих

условию

ˆ

n

x

ˆ

fk x , h 0

hi

0, k

1,..., m .

xi

i 1

locmax з .

Тогда

ˆ

ˆ

■

x locmin

з x

Здесь запись

f		x D	2	ˆ
	k			x , k 0,1,..., m

означает, что функ-

ции

ки	ˆ
	x

fk

nxˆ1

переменных определены в некоторой окрестности точ- ,..., xˆn и имеют непрерывные частные производные до

2-го порядка включительно.

Для решения задач с ограничениями типа равенств следует:

m 1. Составить функцию Лагранжа L x, k fk x .

k 0

2. Найти стационарные точки из системы уравнений

	L x,				0,			i 1,..., n,
		x
			i
						k 1,..., m,
f k x 0,
			,	,...,				0.
		0					m
			1

(3)

3. Найти решение среди стационарных точек или доказать, что решения нет.

Для этого можно пытаться выполнить непосредственную проверку или воспользоваться условиями локального экстремума второго порядка. Если достаточные условия локального экстре-

16

мума не выполняются, то следует проверить выполнение необходимых условий. Если они выполнены, то требуется дополнительное исследование, если нет, то в этой точке нет локального экстремума.

Замечание 1. Для определения			ˆ	и	из системы (3) полу-
			x
чается	n m уравнений с	n m 1 неизвестными. Множители

Лагранжа определяются с точностью до пропорциональности.

Следует отдельно	рассмотреть случаи 0 0							и	0 0 . Если
0 0, то, умножив все множители Лагранжа k								на одно и то же
число, можно добиться, например, равенства 0								1. Тогда число
уравнений сравняется с числом неизвестных.
Замечание 2. Зачастую правило множителей Лагранжа
формулируется с	0 1 без дополнительного							предположения,
например, линейной независимости векторов								ˆ		ˆ
					f1		x ,..., fm x . Сле-
дующий пример	показывает, что	не	всегда				можно			полагать
0 1.
Пример 1. f0	x1, x2 x1 min;	f1	x1	, x2				3	2	0 .
					x1				x2
Из ограничения задачи получаем, что				x1		3		2	0 , следова-
								x2
тельно, точка 0;0 является решением. Однако,								если сразу поло-

жить

0

1, то функция Лагранжа примет вид:
3	2	.
L x, x1 1 x1	x2

Система уравнений для нахождения стационарных точек выглядит следующим образом:

	L x,			1 3 x2		0,
		x1		1	1
	L x,			2 1x2	0,
	x2
x3		x2		0.
	1	2

17

Нетрудно убедиться, что эта система уравнений решений не имеет.

Если же L x, 0 x1 1 x13 x22 , то система (3) принима-

ет вид:
L x,								3 x2 0,
		x
						0				1	1
			1
	L x,
					2 x					0,
	x
								1	2
			2
x3		x2			0,
	1		2
		2			0.
2
	0		1
Отсюда получаем		0 0, 1					t,		t R, t 0, x1 0,
Пример 2. x1 2x2 extr;								2		2	5.
							x1 x2
Решение.	Составим						5 .			функцию
			2		2
L x, 0 x1 2x2 1 x1				x2

x2 0

. ●

Лагранжа

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

		L x,								2 x			0,
			x
								0			1	1
				1
		L x,
							2				2 x			0,
		x
										0		1	2
				2
	x2		x2				5,
		1			2
			2				0.
	2
		0			1
1) Если 0	0, то			1		0					из первых двух уравнений си-
стемы получим	x1 0, x2				0, что противоречит третьему урав-
нению связи.
2) Положим 0		1. Тогда
					2 1 x1						0,
				1
					2 1 x2						0,
			2
						x22			5.
			x12

18

		x
		1
	x2
		1
		4
			2
			1
	Множество точек		x1

						1	1 2,
1
	,				x		1,
2
					1
1
1			x			2	2,
	,
						1	1 2,
1
1					x		1,
	5.
2					1
							2.
1			x			2
, x2 ,		удовлетворяющих ограничению

задачи

x2	x2
1	2

5

, ограничено и замкнуто. Согласно теореме

Вейерштрасса существует решение задачи на абсолютный мини-
мум и абсолютный максимум. Так как f0	1; 2 5,	f0 1; 2 5 ,
то 1; 2 absmin з, 1; 2 absmax з .

Ответ:1; 2

absmin з, Smin

5,

1; 2 absmax з, Smax

5

.

●

Пример 3.	1		1		extr;	x1
	x		x
				2
	1
Решение.			Составим

L x,			1		1				x	x
	0										2
			x		x			1	1
						2
			1

Найдем стационарные точки:

2

x2

.

2.

функцию Лагранжа

L x,								0		0,
		x					x	2	1
			1
	L x,						1
								0
										0,
	x						x	2	1
			2
								2
x		x		2	2,
	1
2		2				0.
	0			1

1) Если 0 0, то из первых двух уравнений системы получим 1 0, что противоречит последнему условию системы.

19

2) Положим 0 1. Тогда

										1				,
												2
								1		x
																					1
											1
																					x	1,
										1				,							x		1,
								1				2										2
										x2
																				1.
							x		x					2.							1
								1			2
Получена	одна				стационарная															точка					P 1;1 . Заметим, что
Smin , Smax .							Действительно,																возьмем				две последова-
тельности допустимых точек															1	;2				1				1	;2	1
																				,							, n N . Тогда
													n							n				n		n
	1				1			n							1									при n ,
f0		; 2
																1
n					n
														2
																	n
	1			1				n								1									при n .
f0	n	; 2			n													1
															2
																			n
Следовательно,				найденная стационарная точка P 1;1 может

доставлять в задаче только локальный экстремум. Проведем

непосредственную проверку. Рассмотрим допустимые точки из
окрестности этой точки		1 1,1 2			. Из уравнения связи полу-
чим:	1 1	1 2 2 2 1.
	Тогда при достаточно малом по модулю 1
			1			1				2
	f0 1 1, 1 1 f0 1; 1								2
								2		1		0 .
									1		2
		1		1	1		1
	Отсюда следует, что P 1;1									1
			является точкой локального ми-
нимума в поставленной задаче.
	Ответ: P 1;1 locmin з; Smin , Smax .											●
	Замечание 3. Если уравнения связи							f1 x 0,..., fm x 0

20

удается разрешить например, x1 g1 x ная задача сводится

тремума функции

относительно каких-либо	m	переменных,
m1,..., xn , xm gm xm1,..., xn , то поставлен-

к задаче без ограничений на нахождение экс-
~	f0 g1,..., gm , xm1,..., xn	от	n m пере-
f0

менных xm 1,..., xn . Например, в последней задаче из уравнения

связи

получаем

x2

2 x1.

Тогда исходная задача сводится к

нахождению

экстремумов

функции

одной

переменной

~

x

1

1

f

.

0

1

x1

2 x1

Пример 4.

x1x2

2

2

2; x2

x3 2.

x2 x3 extr; x1

x2

Решение. Составим функцию Лагранжа

L x,	x x	2	x	2	x		x2	x2	2	2	x	2	x
0	1				3	1	1	2					3

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

2

.

	L x,										x		2 x 0,
			x
										0		2			1		1
				1
	L x,
											x		x			2 x					0,
										0					3			2		2
		x										1					1
				2
	L x,										x					0,
		x								0		2		2
				3
	x	2	x			2		2,
	1					2
	x	2	x		3		2,
		2				2			2		0.
		0							2
					1

Если

0

0

, то из третьего уравнения получаем

гда из первого и второго уравнения получим	x1 0,
противоречит ограничениям задачи.

2 x2



0 0

. То- , что

Положим 0 1. Тогда из первых трех уравнений системы