А.В.Шатина МО 2012 версия 20.09.2013

151

C
1

Таким образом, экстремаль

	15	, C2	1, 1	15	, 2		15	.
	8			4			8

в задаче имеется единственная допустимая

x t	5t	3		15
					t 1.
ˆ	8			8

Проведем исследование полученного решения. Возьмем допустимую функцию x t xˆ t h t . Из условий задачи получим ограничения для функции h t :

x 0 0 x 0 h 0 0
ˆ
1	dt 0	1
ˆ		thdt
t x h
0		0

h 00 .

0

;

Оценим разность I xˆ h I xˆ									:
		1				2			1						1
									x		dt				2xh h							dt
I x h I x x h dt																					2
ˆ	ˆ								2
			ˆ						ˆ							ˆ
		0							0						0
				1		1			1
												2		dt
		ˆ				ˆ
		2xh		0	2xhdt h
						0			0
2x 1 h 1 2x 0 h 0 2 1							1					1					1				dt 0 .
							thdt h									dt h
															2					2
ˆ		ˆ
							0					0					0
																					ˆ
Так как для любой допустимой функции x x h
ˆ	ˆ	неотрицательна, то найденная экстремаль
ность I x h I x
доставляет в задаче абсолютный минимум. При этом
		1			2	1 15t 2						15			2			15
				ˆ
																	.
	Smin x					dt									dt
		0				0			8			8						8

раз-

xˆ

Покажем, что Smax . Действительно,					для допустимой
	ˆ		2		3
последовательности функций	xn t x t n t					t получим
					4

152

I x			1				3		2
									dt
	n				x n 2t
					ˆ
							4
			0

Ответ:

при

n

.

	5t	3		15
ˆ					t 1 absmin
x t	8			8

	з, S			15	, S
		min		8		max

.

●

Пример 2. Решить задачу классического вариационного исчисления:

e		dt extr;	x 1 0, x 1 2, x e 4.
I x tx
	2
1

Решение: Сведем Для этого вместо

x1 , x2 , где

x1 x,

поставленную задачу к задаче Лагранжа.
функции	x	введем вектор-функцию
x2 x . Тогда получим задачу:

	e			dt extr; x 1 0, x			1 2, x		e 4,
			2
		tx	2			2		2
				1
	1			x1 x2	0.				(2)
Здесь условие (2) записано в виде дифференциальной связи.
Составим функцию Лагранжа задачи
e	p t x1 x2 dt 1 x1 1 2 x2 1 2 3 x2 e 4 .
0tx2
2

1

Выпишем необходимые условия локального экстремума: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана

					L tx					p t		x	x
							0		2							2
									2			1
				d	Lx		Lx		0				d	p t 0					,
													dt
			dt			1		1
	d	L		L			0				d	2 tx					p t 0
	dt	x				x					dt		0		2
			2			2

б) условия трансверсальности для терминанта

l 1x1 1 2 x2 1 2 3 x2 e 4 Lx1 1 lx1 1 p 1 1 ,

;

153

		Lx	e lx			e p e 0			,
		1			1					,
	Lx 1 lx 1				2 0 x2 1 2
		2		2
	L		l		2 x e .
		e
	x2			x2 e		0		2		3

д) условие неотрицательности

0

0

.

Если

0

0,

то из а) следует, что

p t 0, а из б) следует,

что 1

2

3 0 ,

т.е. все множители Лагранжа равны нулю.

Поэтому

0

0 . Положим

0

1 2 . Тогда

p t C1 ,

d

tx2 C1.

dt

Так как p e 0, то

C

C

2

, x

C

ln t C

,

x C

t ln t 1 C

t C

.

C 0, tx

2

2

, x

2

2

2

1

t

3

1

2

3

4

Найдем неизвестные величины

C2 ,C3 ,C4 :

x1 1 0 C2 C3 C4 0 ,

x2 1 2 C3 2 ,

x2 e 4 C2 C3 4 .

Следовательно,

C2 2, C3

2, C4

0 .

Откуда

получаем

ˆ

ˆ

t 2t ln t .

единственную допустимую экстремаль x

x1

Покажем

с

помощью

непосредственной проверки.

Что

функция

ˆ

2t ln t доставляет абсолютный минимум в задаче.

x

Возьмем допустимую функцию

ˆ

x t x t h t . В силу ограни-

чений

задачи

h 1

Рассмотрим

разность

0, h 1 0, h e 0 .

I xˆ h I xˆ :

		e		e	e		dt
I x h I x t x h				dt tx	dt 2txh th
ˆ	ˆ	ˆ	2	ˆ 2	ˆ	2

1

1

1

154

e	e
		2
4hdt th dt
1	1

		e		dt
4h e 4h 1 h
			2
		1

e
	2
h dt
1

0

.

Следовательно,

xˆ 2t ln t absmin

з

,

	e	2		2
Smin
	t			dt
	1	t

4

.

Покажем, что Smax . последовательности элементов

Действительно,

x		ˆ	2
	n	x t n t 1

дляt e

допустимой

2	получим:

I xn 4 n		e	2 t e		8 t 1 t e 2 t 1		2
								dt
	2			2		2
		1

при

n

.

Ответ:

xˆ 2t ln t absmin

з

,

S	min	4

Smax

.

●

Пример

числения:

I

3. Решить задачу классического вариационного ис-

x ,T	T				T		x 0 3 .
			2	dt extr;		xdt 1,
		x
	0				0

Решение: Составим функцию Лагранжа задачи

l

T

0 x

1 x dt 2 x 0 3 .

2

0

Выпишем необходимые условия локального экстремума:

2

1 x

а) уравнение Эйлера для лагранжиана L 0 x

d

L

L

0 2

x

0

x 0;

dt

x

1

б)

условия

трансверсальности

для

терминанта

2

x 0 3

L 0 l

2 x 0 ,

x

x 0

0

2

Lx T lx T

2 0 x T 0 ;

в) условие стационарности функции Лагранжа по

T 0 0 x2 T 1 x T 0 .

д) неотрицательности 0 0 .

T

155

Если 0	0, то из а) и б) следует, что 1 0, 2 0	, т.е.
тор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому			0
Положим 0	1 2 . Тогда из уравнения Эйлера получим:

век-

0 .

			x 1 ,				x 1t C1 , x								t		2			C1t C2 .
															1
															2
	Найдем неизвестные величины														C1,C2							,T , 1			из условий б), в)
и ограничений задачи:
										x 0 3 C2 3,
								x T 0 1T C1												0			,					(3)
					T							T 3			C T				2
					xdt						1	1			1						C2T				1,
													6			2
					0
1									1									T
			T 1 x T 0																					2
																		1
		2												2										C1T C2				0. (4)
2	x								2		1T C1 1											2
																		T 2
	Из (3) и (4) следует равенство														1				1					C1T C2				0 . От-
																			2
														T	2
куда получаем либо						1 0, либо								1	C1T C2										0 .
														2
	Случай 1:				0, C 0, C									3, T						1	.
													2
			1						1										3
					ˆ						ˆ		1
												.
	В этом случае x t										3, T
													3
	Случай 2:
			C2			3
						3			C1T 2										C1 6
			1T									3T 1
																								3
					6						2
																			C2						.
																								6
				T		2
																						1
					1			C1T 3 0											T 1
					2
						C1
			1T								0

156

Отсюда получаем экстремальный элемент

ˆ		2		ˆ
x t 3t			6t 3, T 1.
Проведем исследование полученных решений.
допустимый элемент	x ,T , где			ˆ
				x x h , T

ограничений задачи получим условия на h и :

x 0 3 h 0 0,

Рассмотрим

ˆ	. Из
T

ˆ					ˆ			ˆ
T					T			T
		xˆ	h dt 1				hdt			xˆdt .
	0					0			ˆ
									T

Для первой экстремали условие (5) примет вид:

13 hdt

0

(5)

3 .

Для второй экстремали получим:

1	1	2
hdt
		3 t 1	dt
0	1	I x ,T
Оценим разность

ченной в случае 1:

		3 1
t 1
		1
ˆ		для
I xˆ ,T

	3	.

экстремали, полу-

		1
		3					1
					2
I x ,T I x ,T				x h		dt		x	2	dt
ˆ	ˆ
				ˆ				ˆ
			0				0

	1
	3

		2
	h		dt
	0

0

.

Следовательно,

Оценим разность

I x ,T

xˆ t 3,

I x ,T

I x ,T
ˆ	ˆ

ˆ		1		abs min з,			Smin 0.
T
		3			для второй экстремали:
				ˆ
I x ,T
			ˆ
	1				2	1
						2
				h			dt
			x			dt x
			ˆ			ˆ

							dt			0							0
	1					2				1					2
																dt
			2xh h									x h
			ˆ									ˆ
	0									1
		1						2	dt			1		2
						h										dt
				2xh										x
				ˆ										ˆ
			0										1
12 t 1 h		1	1							1	2				1		6 t 1	2
				12hdt									dt						dt
		0								h
				0						0						1

157

12 h 1 24 3

	1
	2
	h	dt
	0

.

Для функции

h t		3
	2 1		sin

t 2 1

,

удовлетворяющей

условиям h 0 0	1								3
	,	hdt								, имеем:
		0
													3								4	6
I x ,T I				ˆ										24			3
	x ,T 12
	ˆ										2 1									32 1
								12						4		3
			3
					24			2 1												.
																	3
												32 1
Отсюда следует,				что											ˆ			ˆ		при
									I x ,T I x ,T
I x ,T I xˆ ,T		при			0. Т.е.
ˆ
ˆ						2					ˆ
		3t					6t 3, T 1 locextr з .
x t

3

0

,

мую

x	n

Покажем, что			Smax . Для этого
последовательность					элементов
3 2n	2	6n t, Tn		1	. Тогда
				n

рассмотрим допусти-

n xn ,Tn , где

				1
I x		, T		n	2n	2	2	dt n 2n 6	2
	n						6n
		n
				0

при

n

.

Ответ:			ˆ
		x t 3, T
		ˆ
	x t 3t 2
	ˆ

1

3

6t 3,

abs min з, Smin

ˆ	1 locextr
T

0,

з , Smax

.

●

Пример 4. Решить задачу классического вариационного исчисления:

T

T extr; x2 dt 2, x 0 0, x 0 1, x T 2.

0

158

жим

Решение: Приведем задачу к форме задачи Лагранжа. Поло-

x1	x, x2	x . Тогда исходная задача примет вид:
			T	2
	T extr;							,
			x2 dt 2, x1 0 0, x2 0 1, x2 T 2
			0	x	x		0
						2
				1

Составим функцию Лагранжа задачи

T0T

0

x			p t x	x		dt
1		2			2
		2	1
				x	T
			4	2

2

	2	x	0	x	2	0 1
		1	3
.

Выпишем необходимые условия локального экстремума:

а)

L x
1		2
		2

система

p t x	x
		2
1

уравнений	Эйлера	для	интегранта
:

d

L

L

0

d

p 0 ,

dt

x1

x1

dt

d

Lx Lx 0

d

2 1 x2

p 0 ;

dt

2

2

dt

б) условия трансверсальности для терминанта

l 0T 2 x1 0 3 x2 0 1 4 x2 T 2 :

L

0 l

x1 0

p 0

2

,

x1

L

T

l

x1 T

p T 0,

x1

,

Lx 0 lx 0

2 1x2 0 3

2

2

L

2 x T ;

T l

x2

x2 T

1

2

4

в) условие стационарности функции Лагранжа по T :

T 0 0 1x2

T

4 x2 T

0 ;

2

д) условие неотрицательности:

0 0 .

Так как p const и p T 0, то p t 0, 2 0.

Если 1 0, то из б) следует,

что 3 0, 4 0, а из в) по-

лучаем 0 0,

т.е.

вектор множителей Лагранжа обращается в

159

ноль. Поэтому

1

0

. Положим

1

12

. Тогда

																C t		2
x		0,	x		C ,		x		C t C					, x						C t C
				2		1		2			1		2	1		1						2
	2															2
Найдем неизвестные величины															C1,C2				,C3			,T , 0		,
									x1 0 0 C3 0 ,
									x2 0 1 C2 1,
						x2 T 2 C1T C2 2																,
								x2 0					3 C1 3					,
							x2 T 4 C1 4													,
			x			T x						T 0					1		C		2	C
		0		1	2				4		2				0								4	1
					2												2			1

3 .
	,
3

0

4

,

:

T		2			T	1		1
			dt 2				dt 2
		2				2		2	T
	x					C		C
0					0

2

.

Решая полученную систему уравнений, находим:

C1	2	, C2 1, C3	0, T			9	, 3		2	,	4			2	,	0	2	.
	3					2			3					3			9
					,
		ˆ		ˆ							t	2			ˆ	9
			ˆ				ˆ
													t,			.
Следовательно, x t ,T						где x t									T
											3					2
Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим
допустимый элемент x , T , где												ˆ						ˆ	.
								x t x t h t , T T

Из ограничений задачи получим условия, которым должны удовлетворять h t и :

x 0 0 x 0 h 0 0 h 0 0,
	ˆ
x 0 1 h 0 0 ,
			ˆ		ˆ								ˆ		2
	x T 2 x T					h T
ˆ				2		9									ˆ			2
h T 2												1			h T				,
				3		2												3
ˆ									9
T		2						2					2			2
	ˆ
	x	h dt	2												h dt 2
	0							0					3

																		160
						4		9									4					9
																			h							h 0
						9		2								3						2
9														9
	2										4			2
		h		dt 2												h				dt 0 T T .
		2															2										ˆ	ˆ
		0								9						0
										t 2							ˆ			9
Ответ:					ˆ																		absmin з .					●
			x t							3			t, T							2

Задачи для самостоятельного решения.

Решить задачи классического вариационного исчисления:

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

1														1					1	txdt 0, x 1 1.
			2		dt extr;										xdt 0,
	x
0														0					0
1		x						48x dt									x 0 5,				x 1 2, x 0 0 .
						2							extr;
0
T														T			1			x T 1.
				2			dt extr;									xdt		,
		x															3
0														0
																x sin tdt 1, x 0 0.
				2			dt extr;
		x
0														0
										T							x 0 0,				x 0 0, x T 1.
T extr;											x	2		dt 1,
										0
										T							x 0 0,				x 0 1, x T 1.
T extr;											x	2		dt 4,
										0
e															x 1 1, x e e, x 1
		t	2			x		2	dt extr;													e .
1

В следующих задачах найти допустимые экстремали:

12.8.

	1	1
	xdt extr;			2	dt		,
			1 x			2
	0	0

x 1

0

.

1

12.9. x2 x2 dt extr, x 0 0, x 1 sh1, x 1 ch1.

0