Ма1_СТУД

симметрична относительно точки 0 и для всех x 2 D(f) f( x) = f(x). Функция y = f(x) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно точки 0 и для всех x 2 D(f) f( x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси OY , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое положительное число T , что x; x + T 2 D(f) и f(x + T ) = f(x).

Функция f(x) называется возрастающей на промежутке X, если

большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых x1; x2 2 X из неравенства x1 < x2 следует нера- венство f(x1) < f(x2). Функция f(x) называется убывающей на промежутке X, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любых x1; x2 2 X из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2). Если из условия x1 < x2 следует f(x1) 6 f(x2), то функция f(x) называется неубывающей на промежутке X. Если из условия x1 < x2 следует f(x1) > f(x2), то функция f(x) называется невозрастающей на промежутке X. Возрастающие или убывающие на промежутке X функции называют монотонными.

Будем говорить, что задана функция нескольких переменных (числовая функция векторного аргумента) , если каждому элементу x = (x1; x2; :::; xn) 2 X R(n) ставится в соответствие по некоторому закону элемент y 2 Y R. Обозначается функция векторного аргумента

y = f(x1; x2; :::; xn):

Если каждому элементу x 2 X R ставится в соответствие по некоторому закону элемент y = (y1; y2; :::; ym) 2 Y R(m), то будем говорить, что задана векторная функция скалярного аргумента . Обознача-

11

ется векторная функция скалярного аргумента

	8 y2		=	f2	(x)	9
y = f(x) =	>	y1	=	f1	(x)	>
	>					>
	>					>
	>					>
	<			fm(x)		=
	> ym		=			>
	>					>
	>					>
	>					>
	:					;

Если каждому элементу x = (x1; x2; :::; xn) 2 X R(n) ставится в соот- ветствие по некоторому закону элемент y = (y1; y2; :::; ym) 2 Y R(m), то будем говорить, что задана векторная функция векторного аргумента. Обозначается векторная функция векторного аргумента

	8 f2		(x1	; x2	; :::; xn)	9
y = f(x) =	>	f1	(x1	; x2	; :::; xn)	>
	>			: : :		>
	>					>
	>					>
	<					=
	> fm(x1; x2; :::; xn)					>
	>					>
	>					>
	>					>
	:					;

5. Суперпозиция функций. Обратная функция.

Задано три множества X R(n), Y R(m), Z R(k) и пусть

функция ' : X ! Y , а функция f : Y ! Z, причем D(f) =

E('). Функция F : X ! Z называется суперпозицией функций

èëè сложной функцией, если выполняется следующее соотношение

F (x) = (f ')x = f('(x)).

Сложную функцию можно представèòü â âèäå цепочки элементарных p

функций. Например, функцию y = 3 x2 x + 3 можно представить как p

суперпозицию функций y = 3 t è t = x2 x + 3.

Пусть функция y = f(x) каждому элементу x 2 X R ставит в соответствие единственный элемент y 2 Y R и каждый элемент y 2 Y поставлен в соответствие единственному элементу x 2 X. Та-

кая функция называется взаимно-однозначной. Построим отображение ' : Y ! X по следующему правилу: x = '(y), если y = f(x).

Функция x = '(y) называется обратной к функции y = f(x). Об-

12

ласти определения и множество значений прямой и обратной функций меняются ролями. Если у числовой функции независимую переменную обозначить через x, функцию через y, то получим, что графики прямой

и обратной функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

Задание 5.1. Найдите области определения функций

x

1

4

5x

x2

à) y = p4 5x x2;

á) y =

+

;

â) y =

p

x

;

x3

9x

1 x

x + 6

x

1

ã) y = qx

+ 7; ä) y =

x 10

;

å) y =

.

10 7x x2

Задание 5.2. Найдите области

определения функций

p

x + 2

2

5x 10); á) y = log0; 5(2

2

à) y = log2(x

x x

);

â) y = arcsin

3 .

Задание 5.3. Найдите множество значений функций

à) y = 0; 5x2 3x + 4;

á) y = 0; 5x2 5x + 7; 5; â) y = p

;

12 + 4x x2

ã) y = p

3;

ä) y = 2x 1 5;

å) y = log2(x2 4x + 8);

x 4

æ) y = 3 sin 4x + 2;

ç) y = 5 cos2 x 3.

Задание 5.4. Укажите какие из заданных функций будут четными, а

какие нечетными					á) y = x9 3x5 + 2x3;
à) y = x6 7x4 1;								â) y = 2x2 1;
ã) y = p									x 1.
	x2 + 4		3 x	;	ä) y = x sin x		cos 2x;	å) y = log2
			j j						1 + x

Задание 5.5. Представьте сложную функцию в виде цепочки элемен-

тарных функций

p

p

3

2

x2

x+10;

à)

2x

4

x + 10

; á)

y = log2

;

â)

y = 2

y =

(x

x

+2x+15)

Задание 5.6. Составьте

функцииpf

(g(x)) è g(f(x)), åñëè

сложные

ã) y = sin5 4x;

ä) y = p3

3sin x + 2

;

å) y = 4 log2(cos 5x + 7).

à) f(x) = x3 2x2 + 1, g(x) = p

; á) f(x) = sin x, g(x) = x2;

x + 1

â) f(x) = 23x+5, g(x) = x2 + 2x 1.

Задание 5.7. Постройте графики функций

â) y = x2 + 6x 4;

à) y = x2 + 8x + 12;

á) y = 0; 5x2 3x + 1; 5;

ã)

6

3

;

e)

p

.

y = x

1;

ä) y = x + 2

+ 1

y = x 2 1

13

Задание 5.8. Постройте графики функций

à) y = jx + 2j 3;					á) y = jx2 2x 3j; â) y = 3 jx 1j;
ã) y = jx2 4x 5j 2.
Задание 5.9. Постройте графики функций
à) y = 2x 1;				á) y = log0;5(x + 3);				â) y = 0; 52x 1 + 1;
ã) y = log0;5(4 x).
Задание 5.10. Постройте график функции
y = ( (x 2)2; åñëè						x > 0 .
	x + 4;			åñëè		x 6	0
Задание 5.11. Постройте график функции
y = 8 x2			6x + 9;		åñëè 2 < x 6 5 .
>	x		1;		åñëè		x 6	2
	9						x > 5
<			x;		åñëè
>
:

6. Функции в экономике.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Используются как линейные, так и степенные, дробно-рациональные, показательные (экспонента), логарифмические и другие. Периодичность некоторых экономических процессов позволяет примененять тригонометрические функции. Кроме функций, заданных аналитически, часто используются функции, задаваемые с помощью реккурентных соотношений, связывающих объекты мсследования в различные периоды времени.

Привем примеры часто используемых в экономике функций.

1.Функция полезности зависимость результатадействия от интенсивности этого действия.

2.Производственная функция зависимость результатов производственной деятельности от факторов, обуславливающих эту деятельность. Производственную функцию называют однофакторной, если рассматривают зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство. Однофакторные производ-

14

это равновесная

ствееные функции описывают также зависимость стоимости выпускаемой продукции от стоимости одного специфического вида ресурса. Часто роль такими ресурсами являются трудовые ресурсы, основные производственные фонды, различные виды сырья. При этом остальные ресурсы считают постоянными.

3.Функция выпуска зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4.Функция издержек зависимость издержек производства от объема производимой продукции.

5.Функции спроса, потребления и предложения зависимость спроса, потребления или предложения на отдельные виды товаров или услуг от

различных факторов (цена, доход, количество товара и другие).

	Исследуя зависимость спроса на товары от дохода y1 =						b1(x a1)	,
		b2(x a2)			b3x(x a3)		x c1
y2	=		,	y3 =		(x > a1; x > a2; x > a3) (функции
		x c2			x c3

Торнквиста) можно установить уровни доходов a1; a2; a3, при которых на- чинается приобретение тех или иных товаров и уровни насыщения b1; b2 для групп товаров первой, второй необходимости и предметов роскоши (заметим, что a1 < a2 < a3, b1 < b2) (ðèñ. 1).

y

6

y3

y

6

q(p)

s(p)

b2

y2

b1

y1

-

-

a1

a2

a3

x

p1

p0

p2

p

ðèñ. 1

ðèñ.

2

Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную цену данного товара в условиях рынка (паутинообразная модель). На рисунке 2 приведены кривые спроса y = q(p) и предложения y = s(p), показывающие зависимость спроса

и предложения от цены p. Точка их пересечения p0

цена, то есть в точке p0 спрос на товар совпадает с предложением этого

15

товара на рынке.

y 6	y 6
I =py Q	r(q)
Q
Q
Q	c(q)
y0	Q

Q

Q	U1 > U0
Q	U0-	(q)	-
Q

x0

I =px

x

q1

q2

q3

q4

q

ðèñ.

3

ðèñ. 4

Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ x и y одна и та же), например, задаваемые в виде xy = U, и линию бюджетного ограничения pxx + pyy = I

при ценах благ px è py и доходе потребителя I, можно установить оптимальное количество благ x0 è y0, имеющих максимальную полезность U0 (ðèñ. 3).

Рассматривая функции издержек (полных затрат) c(q) и дохода r(q)

предприятия, можно установить зависимость прибыли (q) = c(q) r(q)

от объема производства q и выявить уровни, при которых производство убыточно (0 < q < q2), прибыльно (q2 < q < q4), дает максимальный убыток (q = q1), приносит максимальную прибыль (q = q3) (ðèñ. 4).

Так как процессы в экономике зависят от многих факторов, то для их описания применяют функции двух и более переменных. Например, издержки производства y являются функцией от материальных затрат x1 è расходов на оплату рабочей силы x2, спрос на товар y является функцией от цены товара x1 и средней заработной платы x2, производительность труда y является функцией от уровня квалификации x1 и уровня авто- матизации труда x2. При моделировании экономики страны в качестве основных переменных (ресурсов) используют затраты труда L и объем производственных фондов K. В роли функции (результата деятельности экономики) выступает национальный доход, поэтому в макроэкономике Y рассматривают как функцию двух переменных Y = F (L; K). В микроэкономике (при моделировании экономической деятельности отдель-

16

17

функция Кобба-Дугласа;

ного предприятия, цеха, фирмы т.д.) через Y обозначают объем выпус-

каемой продукции.

Среди функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, и обращающуюся в ноль, если хотя бы один из факторов отсутствует, то есть если y = f(x1; x2), òî f(0; x2) = f(x1; 0) = 0. Это означает, что при отсутствии хотя бы одного фактора производство невозможно.

Считают также, что при пропорциональном росте используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое же число раз, то есть f(mx1; mx2) = mf(x1; x2). Такие функции называют линейно однородными.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние на зависимую переменную различных факторных переменных, в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, так и при раздельном воздействии факторных переменных.

Одно из базовых понятий экономической теории функция полезностизависимость результата действия от интенсивности этого действия z = f(x1; x2; : : : ; xn). Чаще всего встречаются следующие ее виды:

n

ai ln(xi ci) (ai > 0, xi > ci > 0) логарифмическая функция;

à) z =

=1

á) z =iPn

ai

(x

i

c

)1 bi (a

> 0, 0 < b < 1, x

> c

i >

0). Такую

i=1 1 bi

i

i

i

i

P

функцию называют функцией постоянной эластичности.

Большое значение имеет производственная функция, выражающая зависимость результатов производственной деятельности от факторов x1; x2; : : : ; xn, обуславливающих эту деятельность. Такая производственная функция называется n-факторной.

Наиболее часто встречающиеся производственные функции: 1. z = y0x1 x12

При моделировании экономики страны в качестве основных переменных функции Кобба-Дугласа берут затраты труда x1 и объем произ- водственных фондов x2. Зная значения параметров y0 и , можно де-

лать прогноз национального дохода. Для увеличения точности прогноза в функцию Кобба-Дугласа вводят дополнительный множитель ept, êî-

торый характеризует темп прироста выпуска продукции под влиянием

технического прогресса

y = y0eptx1 x2 ;

причем в этом случае требование + = 1 не является обязательным. На основании данных по экономике СССР за 1960-1985 годы функция

имела вид y = 1; 038e	0;0294	x	0;9749				x	0;2399
			1		y			2 .
		x
2. z = f(x; y) = z0 minf				;		g функция с постоянными пропорци-
		x0			y0
ÿìè;

Эту функцию выбирают тогда, когда один из ресурсов дефицитен, а другой избыточен. Из формулы видно, что если один из ресурсов избыточен, то его увеличение нецелесообразно, так как оно не отразится на величине функции, а приведет только к дополнительным затратам. Свое название эта функция получила потому, что для ее увеличения с без лишних расходов необходимо оба ресурса увеличивать в постоянной

пропорции.				h=
3. z = e0		e1x1 1 + e2x2 2			функция с постоянной эластично-
ñòüþ	замещения.

С этой функцией мы познакомимся позднее.

18

Глава 2

Элементы теории пределов.

1. Предел последовательности.

Последовательностью называется функция натурального аргумента, то есть каждому натуральному числу n ставится в соответствие точка f(n) = an. Точки, составляющие последовательность, называют

членами последовательности, an называют общим èëè n-ûì членом последовательности.

Åñëè an число, то последовательность fang называют числовой, à åñëè an = (a(1)n ; a(2)n ; :::; a(nk)) вектор, то последовательность fang íàçû-

вается векторной. Чтобы задать векторную последовательность, необходимо задать k числовых последовательностей.

Например, fang =	n2	n + 3		, fang =					( 1)n(n + 1)	числовые
	3n2 + 4								2n 5
		(		1)n		n2
последовательности, fang		=	n 3		;	+ 5		векторная последова-
						4n2 5
тельность.

Пусть fang числовая последовательность.

Числовая последовательность fang называется возрастающей, если каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего, то есть an+1 > an (обозначается fang %), если каждый член последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего, то есть an+1 < an, то последовательность fang называется убывающей (обозна- чается fang &).

19

Убывающие и возрастающие последовательности называют монотонными.

Последовательность fang называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что an 6 M для всех членов последовательности. Если существует число m такое, что an > m для всех членов последовательности, то последовательность fang называется ограниченной снизу. Ограниченная сверху и снизу последовательность называется ограниченной. Условие ограниченности можно записать с помощью модуля. Последовательность fang ограничена, если существует число M > 0 такое, что для всех n выполнено неравенство janj < M.

Последовательность, не являющуюся ограниченной, называют неограниченной. Если последовательность неограничена, то вне любого отрезка [ M; M] найдутся члены этой последовательности, то есть для

любого числа M > 0 найдется an, такой что janj > M.

Перейдем к одному из основных понятий математического анализа понятию предела.

Определение 1.1. Точка a называется пределом последовательно-

ñòè fang, если для любого сколь угодно малого положительного числа " существует номер N(") такой, что для всех n > N(") выполняется неравенство jan aj < " èëè an 2 U"(a).

Другими словами, точка a называется пределом последовательности

fang, если начиная с некоторого номера расстояние между точками a и an меньше ".

Обозначается a = lim an èëè an ! a (читается число an предел

n!1

последовательности an ïðè n ! 1).

Åñëè lim an существует, то последовательность fang называется ñõî-

n!1

дящейся, åñëè æå lim an не существует, то последовательность fang

n!1

называется расходящейся.

Если последовательность fang числовая, то условие jan aj < " (an 2 U"(a)) означает, что a " < an < a + " èëè an 2 (a "; a + ").

20