Ма1_СТУД

6. y = loga x.

Тогда y0 = lim loga(x + x) loga x =

x!0 x

(воспользовались формулой (17.5)).

(loga x)0 = x1

7. y = ln x.

Из формулы (6.6) при a = e получаем

(ln x)0 = x1

			loga	1 +		x
						x	1		1
lim								= x
				x					ln a
x	!	0
					x
				x

1

ln a

(6:6)

(6:7)

8. y = tg x.

Применим правило дифференцирования дроби. Получим

y0 =

sin x

0 =

(sin x)0

cos x (cos x)0 sin x =

cos2 x + sin2 x

=

1

.

cos x

cos2 x

cos2 x

cos2 x

(tg x)0

1

=

(6:8)

cos2 x

9. y = ctg x.

Проведя вычисления аналогично предыдущим, получаем

(ctg x)0

1

=

(6:9)

sin2 x

10. y = arcsin x.

Функция x = sin y обратная к данной. По правилу дифференцирования

обратной функции имеем x0 = cos y = 0. Тогда

6

1

1

1

1

y0 =

=

=

=

.

x0

cos y

q

p

1 sin2 y

1 x2

(arcsin x)0

1

=

(6:10)

p

11. y = arccos x.

1 x2

Проведя вычисления аналогично предыдущим, получаем

1

(arccos x)0 =

(6:11)

p

1 x2

71

12. y = arctg x.

Функция x = tg x обратная к данной. По правилу дифференцирования

1

1

2

1

1

обратной функции имеем y0 =

=

= cos y

=

.

x0

1

1 + tg2 y

1 + x2

cos2 y

(arctg x)0

=

1

(6:12)

1 + x2

13. y = arcctg x.

Проведя вычисления аналогично предыдущим, получаем

(arcctg x)0

=

1

(6:13)

1 + x2

Для вывода следующей формулы применим правило дифференцирова-

ния сложной функции

p

14. y = ln x + a2 + x2 .

p

y0 =

1

1 +

2x

=

1

x + a2 + x2

=

x + a2

x2

a2

x2

x

a2

x2

a2

+ x2

=

1 p

.

+

2p

+

+ p

+

p

p

a2 + x2

0 =

1

ln x +

a2

+ x2

(6:14)

p

a2

+ x2

Вычислите производные функций

p

p4

2

Задание 6.1. а)

y = (x

3

á)

y =

x

8

+ 6x

5

+ x

2

.

;

+ 5x + 2) px

+ 7

Задание 6.2. а) y = (x3 3x + 8) p

á) y = x p3

.

4x + 3

x3 + 6x + 13

p

5

2x + 5

2

4

Задание 6.3. а) y =

;

á) y = x

+ 5 4.

x2 + 4

x3

Задание 6.4. а) y =

3x + 5

7

á) y =

x2

+

3x

5

x2 + x

;

x3

4x

+ 1 .

Задание 6.5. а) y = sin6 x;

á) y = cos9 3x;

â) y = p

.

2 sin x + 3 cos 4x

Задание 6.6. a) y = tg3 x

y =

2 + tg 2x

y = sin2 xp

.

cos x

á)

3 ctg 2x;

â)

3;

â) y = p

Задание 6.7. a) y = (x2 5x+9)e4x;

á) y = ecos2 3x;

.

cos xesin x

3

3

e

x2

Задание 6.8. a) y = (x

x)e

px

;

á) y =

.

p4

x4 4x + 1

72

2

ln 3x

p

Задание 6.9. a)

;

á)

.

y = 4x + 1; â) y =

ln cos x

y = ln(x

9x+21)

á) y = p

ln(p

+ 2).

x2 + 3x

Задание 6.10. a) y = log2(tg x + 1);

4x + 7

Задание 6.11. a) y = p

arccos x;

á) y = (arcsin 2x)4.

1 x2

Задание 6.12. a) y = arctg4 x2;

á) y = arctg e2x.

7. Логарифмическая производная.

Логарифмической производной функции y = f(x) называется производная положительной функции (ln y)0. По правилу дифференцирования

сложной функции получаем формулу для логарифмической производной

	(ln y)0 =	y0	(7:1)
		y

Если производную y0 рассматривать как скорость изменения функции,

y0

то логарифмическая производная y определяет относительную скорость изменения функции.

Логарифмическую производную применяют при дифференцировании степенно-показательных функций y = u(x)v(x) и выражений, содержа-

щих большое число сомножителей.

Пример 7.1. Вычислите производную функции y = (tg x)sin x.

Решение . Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию ln y = ln tg xsin x = sin x ln tg x. Найдем производные от правой и

y0		1		1
левой частей равенства y	= cos x ln tg x + sin x					. Óìíî-
			tg x		cos2 x
жив полученное выражение на y0 и подствив y, запишем производную
y0 = y cos x ln tg x + cos x	èëè y0 = (tg x)	cos x ln tg x + cos x .
1		sin x		1

8. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть f : X R ! Y R, то есть y = f(x) и эта функция имеет производную f0(x). Производную также можно рассматривать как

73

функцию и эта функция также может иметь производную. Производная от производной функции называется второй производной. В общем случае, производной порядка n называется производная от производной

порядка (n 1).

		f(n) = (f(n 1))0						(8:1)
èëè	dx(n	) = dx				dx(n 1)	!	(8:2)
	d nf x			d d(n 1)f(x)

Выясним механический смысл второй производной. Ранее было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s = s(t) (где t время, а s путь), то s0(t) скорость движения точки (скорость

изменения пути). Следовательно, вторая производная пути по времени s00(t) = (s0)0(t) = v0(t) это скорость изменения скорости, то есть уско-

рение.

Для некоторых функций можно получить общую формулу для нахождения производной любого порядка. Например,

1. y = ex, тогда y(n) = ex;

2. y = ln x, тогда y(n) = ( 1)n 1 (n n1)!; x

3.y = sin x, тогда y(n) = sin(x + n=2);

4.y = cos x, тогда y(n) = cos(x + n=2);

5.y = x , тогда y(n) = ( 1) : : : ( n + 1)x n;

6.y = ax, тогда y(n) = ax lnn a.

Запишем несколько правил вычисления производной

1.(u v)(n) = u(n) v(n);

2.(cu)(n) = c u(n);

3. (u v)	(n)	n	Cnu	(k)	v	(n		k)	, ãäå Cn =	k!(n k)! биномиальные коэф-
		=
		kP	k						k	n!
		=0

фициенты.

Формула вычисления производной произведения двух функций называется формулой Лейбница.

Пример 8.1. Вычислите производную третьего порядка от функции

74

y = sin4 x.

Решение . Производные будем вычислять последовательно. y0 = 4 sin3 x cos x,

y00 = 12 sin2 x cos x cos x 4 sin3 x sin x = 12 sin2 x cos2 x 4 sin4 x, y000 = 24 sin x cos x cos2 x 24 sin2 x cos x sin x 16 sin3 x cos x = = 24 sin x cos3 x 40 sin3 x cos x.

Пусть y = f(x) скалярная функция скалярного аргумента и dy = y0(x)dx ее дифференциал.

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y. В общем случае дифференциалом по-

рядка n называется дифференциал от дифференциала порядка n 1.

dny = d(dn 1y)

(8:3)

Выведем формулу для вычисления диффернциалов различных порядков.

Пусть x независимая переменная. Тогда d2y = d(dy) = d(y0dx) = (y0dx)0dx = y00(dx)2,

d2y = y00(x)dx2	(8:4)
d3y = y000(x)dx3	(8:5)
В общем виде
dny = y(n)(x)dxn	(8:6)

Пусть теперь y = f(x), а x = x(t), тогда y = f(x(t)) сложная функция от переменной t. Найдем второй дифференциал.

d2y = d(y0dx) = d(y0)dx + y0d(dx) = y00(dx)2 + y0d2x, òî åñòü

d2y = y00(t)dx2 + y0(t)d2x

(8:7)

Сравнивая формулы (8.4) и (8.7), видим, что форма второго дифференциала изменилась. Появилось дополнительное слагаемое.

75

В формуле (8.4) второго слагаемого нет, так как dx = x = const и

d(dx) = 0. Если x = x(t) некоторая функция, dx ее дифференциал, то есть dx = x0dt, òî d2x = x00dt2 6= 0,

Следовательно, второй дифференциал инвариантностью формы не обладает.

Пример 8.2. Вычислите второй дифференциал функции

y = ln(x2 3x + 5), если a) x назависимая переменная, б) x = sin t.

Решение . Вычислим последовательно первый и второй дифференциалы функции.

a) dy = y0dx =

2

2x 3

dx,

x

2

3x + 5

2

d2y = y00dx2 =

2(x

3x + 5)

(2x 3)(2x

3)

dx2 =

2x

+ 6x + 1 dx2.

(x

2

3x + 5)

2

2

2

(x

3x + 5)

á) dy = y0dx =

2

2x 3

2

dx =

2

2 sin t 3

2

cos t dt,

x

3 +

sin

t

x

5

3 sin t + 5

d2y = y00dx2+y0d

2x =

2(x 3x + 5) (2x 3)

dx2+

2x

3

d2x =

2

2

2

2

t + 6 sin t + 1

2

(x

2

3x + 5)

3

x

3x + 5

sin

2 sin t

2.

= 2 2

2 cos

tdt

2

sin t dt

(sin t

3 sin t + 5)

sin t

3 sin t + 5

Вид второго дифференциала в случаях а) и б) различен.

9. Теоремы о средних значениях.

Мы уже научились вычислять производные различных функций. Теперь перейдем к рассмотрению связи между свойствами функции и свойствами ее производных.

В этом параграфе будут рассмотрены и доказаны теоремы, имеющие большое теоретическое и практическое значение.

Пусть y = f(x) скалярная функция скалярного аргумента.

Будем говорить, что функция y = f(x), определенная на промежутке

X, принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение , если для

всех x 2 X справедливо неравенство f(x) 6 f(x0) (f(x) > f(x0)).

Теорема 9.1. (Ферма) Пусть функция y = f(x) определена на отрез-

76

ке [a; b] и во внутренней точке x0 этого отрезка принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке x0 функция имеет производную f0(x0), то производная равна нулю (f0(x0) = 0).

Доказательство. Пусть в точке x0 функция f(x) принимает наибольшее значение. Это значит, что f(x) 6 f(x0) èëè f(x) f(x0) 6 0 äëÿ âñåõ x 2 X.

Пусть x стремится к x0 справа, то есть x ! x0 + 0. Тогда x x0 > 0 è

дробь		f(x) f(x0)		6 0. Переходя к пределу, получим, что f0(x0 + 0) =
		x x0
lim	f(x) f(x0)		6 0.
x!x0		x x0

Пусть x стремится к x0 слева, то есть x ! x0 0. Тогда x x0 < 0 è

дробь		f(x) f(x0)		>	0. Переходя к пределу, получим, что f0(x0		0) =
		x x0
lim	f(x) f(x0)		> 0.
x!x0		x x0

Так как в точке x0 производная f0(x0) существует, то из полученных неравенств следует, что f0(x0) = 0.

Случай, когда в точке x0 функция принимает наименьшее значение рассматривается аналогично.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если функ- ция y = f(x) принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значе- ние, то касательная к кривой в этой точке, если она существует, параллельна оси OX.

y

6

-

ab x

Теорема 9.2. (Ролля) Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], на интервале (a; b) имеет конечную производную и принимает на концах интервала равные значения ( f(a) = f(b)). Тогда существует точка c 2 (a; b), производная в которой равна нулю (f0(c) = 0).

77

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a; b], то по теореме Вейерштрасса (теор. 13.4 главы I) она достигает на [a; b] своего наибольшего (M) и наименьшего (m) значений. Возможны два случая.

1.M = m. Значит, f(x) = M для всех x 2 [a; b]. Тогда f0(x) = 0 для всех x 2 (a; b). В качестве c можно взять любую точку промежутка.

2.M > m. Так как f(a) = f(b), то хотя одно наибольшее или наименьшее

значение функции достигается во внутренней точке c. По теореме Ферма (теор. 9.1) f0(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если непрерывная кривая график дифференцируемой функции, то между двумя точками графика, имеющими одинаковые ординаты, всегда есть точка, в которой касательная к кривой параллельна оси OX.

Следствие 9.3. Между любыми двумя корнями дифференцируемой функции существует хотя бы один корень ее производной.

Теорема 9.4. (Лагранжа) Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], на интервале (a; b) имеет конечную производ-

íóþ f0(x). Тогда существует точка c			2	(a; b), такая, что
f0(c) =		f(b) f(a)					(9:1)
		b a
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = f(x)		f(b) f(a)			(x		a):
		b		a

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (теор. 9.2). Функция F (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], на интервале

(a; b) имеет конечную производную F 0(x) = f0(x)

f(b) f(a)

и прини-

b a

мает на концах интервала равные значения F (a) = f(a)

f(b) f(a)

(a

f(b) f(a)

b

a

a) = f(a) è F (b) = f(b)

(b

a) = f(a). По теореме Ролля

существует точка c

b a

2

(a; b), такая, что F 0(c) = 0. Íî F 0(c) = f0(c)

f(b) f(a)

f0

(c) =

f(b) f(a)

b a . Из этого равенства получаем, что

b a .

78

f(b) f(a)

g(b) g(a)

Теорема Ролля частный случай теоремы Лагранжа, когда f(a) = f(b).

Формулу (9.1) называют формулой Лагранжа.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если непрерывная кривая AB график дифференцируемой на отрезке [a; b]

функции, то на графике существует точка C, в которой касательная к кривой параллельна секущей AB.

y			B
f(b)6	C
			f(b) f(a)
f(a) A			-
b a
a	c		b x

Если в формуле (9.1) положить a = x0, b = x0 + x, то получим

f0(c) =	f(x0 + x) f(x0)	èëè	f(x0) = f(x0	+ x)		f(x0) = f0(c)	x .
	x

Òàê êàê c 2 (x0; x0+ x), òî c = x0+ x, где 0 < < 1. Тогда получим

f(x) = f0(x + x) x

(9:2)

Формулу (9.2) называют формулой конечных приращений.

Теорема 9.5. (Коши) Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a; b], на интервале (a; b) имеют конечные производ-

íûå f0(x) è g0(x), причем g0(x) = 0. Тогда существует точка c				2	(a; b),
такая, что		6
f0(c)		=	f(b) f(a)		(9:3)
	g0(c)		g(b) g(a)

Доказательство аналогично доказательству теоремы Лагранжа, и вспомогательная функция имеет вид (x) = f(x) (g(x) g(a)).

Заметим, что теорема Лагранжа частный случай теоремы Коши, когда g(x) = x.

79

f(x) f(a) g(x) g(a)

10. Правило Лопиталя.

Вернемся к вопросу о вычислении пределов функции в точке. Основная трудность заключалась в том, что не было общего метода вычисления пределов, и в зависимости от вида неопределенности приходилось разыскивать различные способы и приемы их раскрытия. Дифференциальное исчисление значительно облегчает эти вычисления, предоставляя весьма мощный, но в то же время простой метод раскрытия неопределенностей. В основе этого метода лежат теоремы о среднем значении.

Теорема 10.1. (Лопиталя) Пусть функции f(x) и g(x) определены на

интервале (a; b) и удовлетворяют условиям:

1. lim f(x) = 0, lim g(x) = 0;

x!a+0 x!a+0

2. на интервале (a; b) существуют конечные производные f0(x) è g0(x), причем g0(x) 6= 0;

f0(x)

3. существует конечный предел lim g0(x) = K.

x!a+0

Тогда предел отношения функций также существует и он равен пределу отношения производных K, то есть

lim	f(x)	=	lim	f0(x)	(10:1)
x!a+0 g(x)			x!a+0 g0(x)

Доказательство. Доопределим функции f(x) и g(x), положив f(a) =

lim f(x) = 0, g(a) =	lim	g(x) = 0. Тогда функции f(x) и g(x) опре-
x!a+0	x!a+0
делены и непрерывны на [a;		b) (непрерывность функций на (a; b) следует

из существования производной).

Возьмем точку x 2 (a; b). Тогда на отрезке [a; x] функции f(x) и g(x)

удовлетворяют условиям теоремы Коши (теорема 9.5). Следовательно,

существует точка c 2 (a; b) такая, что справедливо равенство

f0(c) = g0(c) .

	f(x)		f0(c)
Òàê êàê f(a) = g(a) = 0, òî		=		.
	g(x)		g0(c)

Если x ! a, то и c ! a, так как a < c < x. Перейдем к пределу при x ! a + 0. Получим

80