Ма1_СТУД

угодно малого " > 0 существует такое > 0, что для всех x 2 U_ (x0)

справедливо неравенство jf(x)j < M" . Тогда для всех x 2 U_ (x0) имеем jf(x) g(x)j = jf(x)j jg(x)j < M" M = ". По определению предела

функции имеем lim f(x) g(x) = 0.

x!x0

Теорема 7.7. Если lim f(u) = A,	lim g(x) = b, то существует предел
u!b	x!x0

сложной функции и lim f(g(x)) = A.

x!x0

Доказательство. Функция g(x) имеет предел в точке x0: lim g(x) = b,

x!x0

а функция f(u) имеет предел в точке b: lim f(u) = A. По определению

u!b

предела для любого сколь угодно малого " > 0 существует такое !(") > 0, что для всех u 2 U_!(b) выполнено условие f(u) 2 U"(A) ( ) и для найденного выше !(") существует такое (!(")) > 0, что для всех x 2 U_ (x0) выполнено условие g(x) 2 U_!b ( ). Тогда применив формулы (*) и (**), получим что для любого " > 0 существует такое ("))0, что для всех x 2 U_ (x0) выполнено условие f(g(x)) 2 U"(A). По определению

предела функции имеем lim f(g(x)) = A.

x!x0

Теорема 7.8. Если существуют конечные пределы lim f(x) = A > 0,

		x!x0
lim g(x) = B, òî		lim g(x)
	lim f(x)g(x) = ( lim f(x))x!x0 = AB.
x!x0	x!x0	x!x0

Исследуем поведение функций Торнквиста при x ! 1.

lim y1

(x) = lim

b1(x a1)

=

lim

x(1 a1=x)

= b1,

x!1

x!1

x c1

b1x!1 x(1 c1=x)

lim y2 = lim = lim

b2(x a2)

= lim

x(1 a2=x)

= b2,

x!1

x!1

x!1

x c2

2

c2=x)

x!1 x(1

lim y3

= lim

b3x(x a3)

= lim

b3x (1 a3=x)

=

1

.

x

x

!1

x

c3

x

!1

x(1

c3=x)

!1

Таким образом, при неограниченном увеличении доходов спрос на товары первой необходимости растет до определенного предела, равного b1, а спрос на товары первой необходимости растет до передла b2 (поэтому коэффициенты b1 è b2 называют уровни насыщения). Спрос на предметы роскоши при неограниченном росте доходов также неограничено возрастает.

41

Предположим, что предложение s(t) некоторого товара в текущем

периоде формируется на основе цены p(t), установившейся в предыду-

щем периоде, а спрос d(t) на товар изменяется в зависимости от цены

в текущем периоде (предположение о запазывании предложения вполне объяснимо, так как производство товара имеет определенную продолжительность). Если спрос s и предложение d линейно зависят от p,

то динамика цен описывается уравнениями

s(t) = ap(t 1) + b,

d(t) = mp(t) + n, причем n > b > 0, так как при нулевой цене спрос

превышает предложение, a > 0, так как функция предложения возрас-

тающая, m > 0, так как функция спроса убывающая.

Если спрос на товар равен предложению этого товара, то из уравнения ap(t 1) + b = mp(t) + n получим реккурентное соотношение p(t) = nm b ma p(t 1).

Последовательно применяя это соотношение, получим: p(1) = nm b ma p(0),

m

m

(1)

2

m

m

m

m

p(2) =

n

b

a

p

=

n

b

a

n

b

a

p(1)

=

=

nm b

1

a

+

a

p(0),

m

m

p(3) = n

b

a

n

b

1

a

+

a

2

p(0)

,

m

m

m

m

m

: : :

t

p(t) = n b

a

a

a

a

t

1

+

2 + : : : + (

1)t 1

t 1

+ ( 1)t

p(0).

m

m

m

m

m

Выражение в скобках сумма первых

членов геометрической про-

грессии St

= 1 + q + q2 + : : : + qt 1

=

1 qt

q

=

a

. Отсюда

1 q , ãäå

m

получаем выражение для цены p(t) в произвольный момент времени t:

p(t) = n b

1 qt

+ qt

p(0):

m

1 q

Пусть t ! 1.

1

n b

m

n b

Åñëè q

< 1, òî lim St =

è

lim p(t) =

=

; òî

1 q

m + a

j j

t!1a

t!1

m

m + a

åñòü ïðè t ! 1 è m < 1 равновесие между спросом и предложением устойчиво, и цена стремится к своему равновесному значению p = n b m + a.

Если jqj > 1, то p(t) ! 1 и равновесие неустойчиво. Если jqj = 1, то есть

42

a = m, то цена p(t) колеблется вокруг своего равновесного значения.

Задание 7.1. Вычислите предел lim x2 7x + 10. x!2 x2 + 3x 10

Задание 7.2. Вычислите предел lim 2x2 9x 5. x!5 x2 + 3x 40

Задание 7.3. Вычислите предел lim 3x2 x 14.

x! 2 x2 x 6

Задание 7.4. Вычислите предел lim 2x22 10x 28. x!7 x x 42

Задание 7.5. Вычислите предел lim	5x2 2+ 11x 12	.
x! 3	2x + 5x 3

Задание 7.6. Вычислите предел lim 3x2 4x 4. x!2 x2 + 5x 14

Задание 7.7. Вычислите предел lim x3 + 2x2 5x 6. x! 1 2x2 3x 5

Задание 7.8. Вычислите предел lim x3 +2x2 7x 2. x!2 3x x 10

Задание 7.9. Вычислите предел lim x3 + 3x2 8x + 4. x!1 2x2 3x + 1

p

Задание 7.10. Вычислите предел lim

3x

2 2

.

2

x!2

p

x

2x

Задание 7.11. Вычислите предел lim

3x + 1

4

.

p

x 5

!

x + 4 3

p

p

Задание 7.12. Вычислите предел

lim

6 2 x

x + 12

.

x! 3

x + 2x + 3

p

p

Задание 7.13. Вычислите предел

lim

6 2 x

x + 12

.

x! 3

x + 2x + 3

Задание 7.14. Вычислите предел

Задание 7.15. Вычислите предел

lim

x!1

lim

x!2

4x2 + x 5 p5x + 11 px + 9.

pp

p2x + 5 p2 + x 3x + 1 6 x.

43

8. Односторонние пределы.

Пусть задана скалярная функция скалярного аргумента f : X R ! Y R.

Определение 8.1. Число A называется пределом функции f(x) â

точке x0 слева, если для любого " > 0 существует (") > 0 такое, что для любого x 2 U (x0) справедливо f(x) 2 U"(A).

Иными словами, если x0 < x < x0, òî jf(x) Aj < ".

Обозначается предел слева lim f(x) = A.

x!x0 0

Определение 8.2. Число A называется пределом функции f(x) â

точке x0 справа, если для любого " > 0 существует (") > 0 такое, что для любого x 2 U+(x0) справедливо f(x) 2 U"(A).

Иными словами, если x0 < x < x0 + , òî jf(x) Aj < ".

Обозначается предел справа lim f(x) = A.

x!x0+0

Связь между пределом функции в точке односторонними пределами

дает теорема.

Теорема 8.1. Если существует конечный

lim f(x) = A, òî îáà îäíî-

x!x0

сторонних предела

lim

f(x) è

lim f(x) также существуют и они

равны A.

x!x0 0

x!x0+0

Обратно, если оба односторонних предела

lim

f(x) è lim f(x) ñó-

x!x0 0

x!x0+0

ществуют и оба равны одному числу A, то предел функции в этой

точке также существует и

lim f(x) = A.

x!x0

Пример 8.1. Вычислите односторонние пределы функции

( x + 4;

åñëè x > 2

0

f(x) =

x2

3x + 1; åñëè x <

2

в точке x

=

2.

Решение .

lim

f(x) =

lim

(x2

3x + 1) = 4 + 6 + 1 = 11.

x

!

0

!

0

2

x

2

lim

f(x) =

lim

(x + 4) =

2 + 4 = 2.

!

2+0

!

2+0

x

x

Для функции, заданной в условии задачи, оба односторонних предела

44

в точке x0 = 2 существуют, но они различны. Следовательно, функция f(x) предела в точке x0 = 2 не имеет.

Задание 8.1. Вычислите односторонние пределы функции

f(x) =	( log2(x + 1);		åñëè x > 3	в точке x0 = 3.
	x2	5x + 8;	åñëè x < 3
Задание 8.2. При каком значении параметра a функция					0
	( x + 4; åñëè x > 2
f(x) =	x2	x + a;	åñëè x < 2	имеет предел в точке x		=		2.

9. Повторные пределы.

Пусть f : X R(2) ! Z R, то есть z = f(x; y) функция двух

переменных.

В x6 было дано определение предела функции в точке. Этот предел можно вычислить, применяя теорему 7.3.

Пример 9.1. Вычислите предел lim

x2y

2xy

3.

x ! 2

y ! 1

x2y

lim x2

lim y

22 1

= 4 = 4.

Решение . lim

=

x!2

y!1

=

2 x 2

y 1

x ! 2

2xy

3

3

2

2

1

3 1

lim x

lim y

y ! 1

!

!

Пример 9.2. Докажите, что не существует предел

lim

xy3

x4 + y4 .

x ! 0

y ! 0

Решение . Заданная в условии дробь представляет собой неопределенность 00. Для доказательства применим определение предела функции

по Гейне. Для этого выберем две последовательности точек, сходящихся к точке (0; 0) таких, что соответствующие последовательности значений функции сходятся к разным числам.

Пусть Mn =	1
	n; 0 è Mn ! (0; 0) при n ! 1. Тогда f(Mn) =

45

1					03
	n					= 0 è f(Mn) ! 0 ïðè n ! 1.
1					4
					+ 0
n4

			Пусть Kn											=		1	1	è Kn	! (0; 0) при n ! 1. Тогда f(Kn) =
																n; n
1							1					1
	n					n3						n4				1	è f(Kn) !		1	ïðè n ! 1.
											=	2			=	2			2
	1				+			1
n			4				4					n	4
								n

По определению Гейне предел функции в точке (0; 0) не существует.

Можно привести много примеров, в которых функция двух переменных не имеет предела в некоторой точке. Легкость построения таких примеров объясняется тем, что на плоскости существует много различ- ных путей приближения к заданной точке. Рассмотрим два таких пути.

Пусть заданы две точки M0(x0; y0) è M(~x; y~).

y	6 q		q
	K(x0	; y~)	M(~x; y~)
	M0q(x0; y0)		Lq(~x; y0)
			-
			x

Будем двигаться от точки M к точке M0 по ломаной MKM0. Вычис-

лим lim f(x; y~), если он существует (движение параллельно оси OX).

x!x0

Этот предел зависит от y. Обозначим его '(y) = lim f(x; y). Вычислим

	x!x0
теперь	lim '(y), если он существует (движение параллельно оси OY ).
Предел	y!y0
	lim ( lim f(x; y))	(9:1)
	y!y0 x!x0
называется повторным пределом.
Аналогично, двигаясь по ломаной MLM0, вычислим		(x) = lim f(x; y)
è lim	(x). Получим еще один повторный предел	y!y0
x!x0
	lim ( lim f(x; y))	(9:2)
	x!x0 y!y0

46

Связь между пределом функции двух переменных в точке и повторными пределами дает теорема.

Теорема 9.1. Если существует конечный lim f(x; y) = A, и для

x ! x0 y ! y0

каждого y существует '(y) = lim f(x; y), то существует повторный

x!x0

предел lim '(y) = lim ( lim f(x; y)), также равный A.

y!y0 y!y0 x!x0

Аналогично, если существует конечный lim f(x; y) = A, и для

x ! x0 y ! y0

каждого x существует (x) = lim f(x; y), то существует повторный

	y!y0
предел lim	(y) = lim ( lim f(x; y)), также равный A.
x!x0	x!x0 y!y0

Заметим, что из существования повторных пределов функции в точке и даже их равенства не следует существование двойного предела функции в этой точке.

xy

Пример 9.3. Докажите, что функция f(x; y) = x2 + y2 имеет в точ- ке A(0; 0) оба повторных предела, они равны между собой, но двойной

предел фунции в этой точке не существует.

Решение . Вычислим повторные пределы в заданной точке.

lim lim

xy

= lim

0 y2

= 0,

lim lim

xy

= lim

x

0

= 0.

2

2

2

2

2

y!0 x!0 x

+ y

y!0

0 + y

x!0 y!0 x

+ y

x!0 x

+ 0

Покажем, что двойной предел

lim

xy

x ! 0 x2 + y2 функции в этой точке не

y ! 0

существует. Для этого рассмотрим две последовательности точек, сходя-

щихся к точке A(0; 0).

1

1

1 ;

1

xy

1

Пусть M

. Тогда

lim

= lim

n

n

=

n =

n

n

x ! 0

x2 + y2

n!1

1

2

+

1

2

2.

n

n

y ! 0

1

1

1

1

xy

1

Пусть K

n =

;

. Тогда

lim

= lim

n

n

=

:

x2 + y2

n n

x ! 0

n!1

1

2

+

1

2

2

y ! 0

n

n

47

xy

По определению Гейне предела функции f(x; y) = x2 + y2 в точке A(0; 0) не существует.

10. Непрерывность функции.

Понятие непрерывности функции, как и понятие предела функции является одним из основных понятий математического анализа. Непрерывные функции обладают целым рядом важных свойств, помогающих при изучении функций, решении различных типов уравнений.

Определение 10.1. Функция y = f(x) (f : R(n) ! R(m)) называет-

ñÿ непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой

точки (и в самой точке x0), существует lim f(x) и он равен значению

x!x0

функции в точке.

Òî åñòü x0 2 D(f) è

lim f(x) = f(x0)	(10:1)
x!x0

Из определения 10.1 следует, что для непрерывной функции символы предела и функции можно менять местами.

lim f(x) = f( lim x)		(10:2)
x!x0	x!x0

Определение 10.2. Функция y = f(x) называется непрерывной â точке x0, если она определена в этой точке и для любой окрестности U"(f(x0)) существует окрестность U (x0) такая, что для всех точек x 2 U (x0) значения функции f(x) 2 U"(f(x0)).

Определение 10.3. Функция y = f(x) называется непрерывной â òî÷- êå x0, если она определена в этой точке и для любого числа " > 0 существует число (") > 0 такое, что как только расстояние между точками x и x0 становится меньше (jx x0j < ), то расстояние между точками f(x) и f(x0) становится меньше " (jf(x) f(x0)j < ").

Обозначим через x = x x0 приращение аргумента, а через y = f(x) f(x0) приращение функции.

48

Определение 10.4. Функция y = f(x) (f : R(n) ! R(m)) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и бесконеч- но малому приращению аргумента x соответствует бесконечно малое

приращение функции y, то есть lim y = 0.

x!0

Определения 10.1 10.4 эквивалентны.

Докажем эквивалентность определений 10.1 и 10.4 для скалярной функ-

ции скалярного аргумента. Действительно,

lim f(x) = f(x0) тогда и

x!x0

только тогда, когда lim y =

lim (f(x)

f(x

)) = lim f(x)

f(x

) =

x

!

x0

x x0

0

x

!

x0

0

!

f(x0) f(x0) = 0.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций для непрерывной функции можно записать

f(x0 + x) = f(x0) + (x0; x);

(10:3)

ãäå (x0; x) = f(x0 + x) f(x0) бесконечно малая при x ! 0. Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непре-

рывной в этой области.

Для для скалярной функции скалярного аргумента можно ввести понятия односторонней непрерывности.

Определение 10.5. Функция y = f(x) называется непрерывной в

точке x0 слева, если она определена в левой полуокрестности этой

точки, существует lim f(x) и он равен значению функции в точке.

x!x0 0

Определение 10.6. Функция y = f(x) называется непрерывной в

точке x0 справа, если она определена в правой полуокрестности этой

точки, существует lim f(x) и он равен значению функции в точке.

x!x0+0

Теорема 10.1. Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 справа

и слева и односторонние пределы равны lim f(x) = lim f(x), то

x!x0 0 x!x0+0

функция непрерывна в этой точке.

Теорема 10.2. Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) непрерывных функций является непрерывной

49

функцией.

Теорема 10.3. Если функция y = '(x) непрерывна в точке x0, à ôóíê- ция z = (y) непрерывна в точке y0 = '(x0), то сложная функция z = ( ')(x)) = ('(x)) непрерывна в точке x0.

Функция y = '(x) непрерывна в точке x0, значит,			lim '(x) = '(x0).
			x!x0
Функция z	= (y) непрерывна в точке y0, значит,		lim (y) = (y0).
			y!y0
Имеем lim	('(x)) = ( lim ('(x)) =	('( lim x)) =	('(x0)). Следова-
x!x0	x!x0	x!x0

тельно, cложная функция z = ('(x)) непрерывна.

Теорема 10.4. Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

11. Замечательные пределы.

1 замечательный предел.

В окружности радиуса R с центром в начале координат проведем луч

OB под углом (0 < < =2) к оси OX. Он пересекает окружность в

точке B и линию тангенсов в точке C.

'y 6 $

B C

A-

&%O x

Очевидно, что OAB сектор OAB OAC. Тогда

S OAB < Sсектор OAB < S OAC ;

12R2 sin < 12R2 < 12R2 tg ; sin < < tg .

Так как sin 6= 0, то разделив неравенство на sin , получим

		1
1 <		<		.
	sin		cos

По теореме о зажатой функции с учетом непрерывности функции cos

получим, что		lim			= 1.
	!+0 sin
Так как дробь						< 0 также верно lim		= 1.
		sin четная, то при
						! 0 sin

50