Ма1_СТУД

Теорема 3.2. (о предельном переходе в неравенствe.) Если последовательности fang è fbng сходятся, и , начиная с некоторого номера (то есть для всех n > n0) выполняется неравенство an 6 bn (an > bn),

òî lim an 6 lim bn ( lim an > lim bn).
n!1	n!1 n!1	n!1

Доказательство. Пусть при n > n0 справедливо неравенство an 6 bn. Это значит, что при n > n0 an bn 6 0. Применим теорему 3.1. Получим,

÷òî lim (an bn) 6 0 èëè lim an 6 lim bn.

n!1 n!1 n!1

Теорема 3.3. (теорема о зажатой последовательности). Пусть заданы три последовательности fang, fbng è fcng и их члены связаны неравенством an 6 bn 6 cn. Если последовательности fang è fcng сходятся к одному пределу, то последовательность fbng сходится к этому же пределу.

Доказательство. Зафиксируем " > 0. Так как lim an = a, òî ïî îïðå-

n!1

делению предела последовательности для выбранного " > 0 существует

номер N1(") такой, что для всех n > N1(") выполняется неравенство ja anj < " èëè

a " < an < a + ": ( )

Аналогично, так как lim cn = a, для этого же " > 0 существует номер

n!1

N2(") такой, что для всех n > N2(") выполняется неравенство ja cnj < " èëè

a " < cn < a + ": ( )

Обозначим через N = maxfN1; N2g и пусть n > N. Тогда справедливы оба неравенства (*) и (**). Из этих неравенств и условия теоремы вытекает, что

a " < an < bn < cn < a + ".

Следовательно, последовательность fbng сходится и lim bn = a.

n!1

Пример 3.1. Вычислите lim 3n

n!1 n! .

Решение . Ддя вычисления предела этой дроби применим теорему о зажатой последовательности. Имеем

31

0 <

3n <

3n

3

3

1

3

n 3

1 2 3 4 : : : 43

n!

=n 3

2

4

3.n

n!1

n!1

4

= 0, òî

n!1 n!

= 0.

Òàê êàê

lim 0 = 0,

lim

lim

4. Монотонная последовательность и ее предел.

Сформулированная в этом параграфе теорема имеет большое теоретическое значение.

Теорема 4.1. Всякая монотонно возрастающая (монотонно убывающая) ограниченная сверху (ограниченная снизу) последовательность имеет предел.

В теореме утверждается, что если выполнены условия an+1 > an è

an 6 M (an+1 6 an è an > m), то существует lim an. Доказывается, что

n!1

для монотонно возрастающей последовательности lim an = supfang, à

n!1

для монотонно убывающей последовательности lim an = inffang.

n!1

Если последовательность fang возрастает и не ограничена сверху, то

полагают, что lim an = +1, если последовательность fang убывает и не

n!1

ограничена снизу, то полагают, что lim an = 1.

n!1

В теореме утверждается, что lim an существует, но не указывается,

n!1

как его найти. Однако сам факт существования предела часто позволяет вычислить этот предел.

Задание 4.1. Применив теорему о пределе монотонной последовательности, докажите, что для любого числа > 0 справедливо утверждение

lim 1 = 0.

n!1 n

5. Число e.

Рассмотрим еще один пример монотонной последовательности. Сформулируем сначала лемму.

32

Лемма 5.1. (лемма Бернулли.) Для любого числа m 2 N и для любого

действительного числа h > 1 справедливо неравенство

(1 + h)m > 1 + mh:

(неравенство Бернулли)

n

xn

1.

1

n

xn

: С первого взгляда

Рассмотрим последовательность

=

1 + n

1

n! 1

1

!

кажется, что если

, òî

Однако из леммы Бернулли

n

>

> 1 + n

n = 2, òî åñòü, åñëè nlim!1 xn существует,

следует, что

1 + n

òî

lim x

2.

n!1

Докажем существование предела этой последовательности.

Последовательность yn

1

n+1

ограничена снизу (yn > 0).

.

Расcмотрим еще последовательность

yn

= 1 + n

что она убывает. Запишем

1

n+1

n + 1

n+1

Покажем, n

n

yn = 1 + n

=

n

y

n 1

=

n

è

n+1

n

n+1

n(n 1)

n 1

è y

найдем их отношение:

n+1

2n+2

n+1

(n 1) (n + 1)

n 1 =

n

n

=

n

n

=

yn

n 1

n + 1

n

n+1 n(n 1)

= (n2

(1)n+1n =

n2n

1

n n 1 = 1 + n2 1 1

n n 1

n

n

1)

2

применив к последнему выражению неравенство Бернулли, получим

yn

>

n2

1

n

n

n 1

n

n

n 1

n

n

1

yn 1

n + 1

1

1

1

n

1 +

=

1 +

=

= 1:

Таким образом,	yn 1 > 1 èëè yn		6 yn				1. Следовательно, последо-
	yn
вательность fyng убывает. По теореме 4.1 существует								nlim yn. Но тогда
существует и nlim!1 xn, òàê êàê xn = yn					n		.	!1
				n + 1
Обозначим	1				n
	lim				= e:
	n!1 1 + n

Число e имеет исключительно важное значение как для самой математики, так и для его приложений. e число иррациональное, оно приближенно равно e 2; 718281828459045 : : :. Показательную функцию y = ex, основание которой равно e, называют экспонентой. Логарифм по основанию e называют натуральным и обозначают ln x. При решении многих задач физики, химии, биологии, статистики используются показательная или логарифмическая функция с основанием e.

33

Рассмотрим задачу экономического содержания задачу о непрывном начислении процентов.

Пусть первоначальнй вклад в банк составляет S0 рублей и банк на- числяет p% годовых. Найдите размер вклада St через t лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно уве-

	личивается на одну и ту же величину							p	S0 и через t лет размер вклада
							100
				pt
	На практике		1 + 100
	составит St = S0					рублей.

часто применяют сложные проценты, когда проценты начисляются не только на основную часть вклада, но и на начисленные ранее проценты (вклад с капитализацией процентов). В этом случае раз-

мер вклада ежегодно увеличивается в одно и то же число раз, то есть вt
1 +	p			раз и через t лет размер вклада составит St = S0	1 +	p
	100					100

рублей.

Предположим, что проценты на вклад начисляются не один раз в год,

а n раз тогда процент начисления за n1							p
	часть года составит							% è
							100n
			p		tn
через t лет размер вклада составит St = S0		1 +			1	рублей.
			100n
Если уменьшать промежуток между начислениями					n, в идеале при

n ! 1 он становится бесконечно малым, то получим, что через t лет

размер вклада составит

pnt

pt

0

tn

n!1 1 +

100n

p

p

p

100

S

t = n!1

1 +

100n

= S

0

e

.

100n

100n

lim S

= lim

6.

Предел функции.

Пусть функция y = f(x) отображает множество X R(n) âî ìíî-

жество Y

R(m), и пусть x0 точка сгущения множества

X, точка

A 2 R(m).

Определение 6.1. Точка A называется пределом функции f(x) â òî÷- êå x0, если для любого положительного числа " существует положительное число (") такое, что для всех x, принадлежащих проколотой окрест-

34

ности U_ (x0) точки x0 значения функции f(x) принадлежат окрестности

U"(A).

Обозначается предел функции в точке A = lim f(x).

x!x0

Таким образом A = lim f(x), если 8" > 0 9 (") > 0 такое, что

x!x0

8x 2 U_ (x0) имеем f(x) 2 U"(A).

Если y = f(x) скалярная функция скалярного аргумента, то определение предела можно сформулировать следующим образом:

Определение 6.2. Точка A называется пределом функции f(x) â òî÷-

êå x0 (A = lim f(x)), если 8" > 0 9 (") > 0 такое, что 8x, удовлетво-

x!x0

ряющих условию 0 < jx x0j < следует jf(x) Aj < ".

Определение 6.3. Точка A называется пределом функции f(x) â

точке x		(A	=	lim f(x)), åñëè	8	" >	0 9	"	)	>	0	такое, что x,
	0			x!x0				(				8

удовлетворяющих условию x 2 (x0 ; x0) [ (x0; x0 + ) следует, что f(x) 2 (A "; A + ").

Определения 6.1 6.3 называют определением на языке " или опре-

делением Коши.

Определение предела для скалярной функции скалярного аргумента можно проиллюстрировать следующим образом:

y

6

A +A

p p

p

p p

p

p

p

p

A "

p pp

pp

pp pp

p

"

x0 p px0 px0 +

-x

Определение 6.4. Точка A называется пределом функции f(x) в точ- ке x0, если для любой последовательности точек fxng, сходящейся к точ- ке x0, соответствующая последовательность значений функции ff(xn)g сходится к точке A.

Иными словами, A = lim f(x), если для любой последовательности

x!x0

35

x! 1

x!+1

точек fxng ! x0 соответствующая последовательность значений функции ff(xn)g ! A.

Определение 6.4 называют определением на языке последовательностей или определением Гейне.

Мы сформулировали два определения одного понятия. Но никакого противоречия мы не получим, так как справедлива теорема.

Теорема 6.1. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

На практике определение Коши используют, когда нужно доказать существоване предела функции в точке, а определение Гейне когда нужно доказать, что функция предела в точке не имеет.

Определение 6.5. Точка A называется пределом функции f(x) при x ! 1, если для любого положительного числа " существует положительное число (") такое, что для всех x, принадлежащих окрестности U (1) значения функции f(x) принадлежат окрестности U"(A).

Таким образом, A = lim f(x), если 8" > 0 9 (") > 0 такое, что 8x,

x!1

удовлетворяющих условию jxj > следует jf(x) Aj < ".

Определение 6.6. Точка A называется пределом функции f(x) при x ! 1, если для любой последовательности точек fxng, сходящейся к 1, соответствующая последовательность значений функции ff(xn)g сходится к точке A.

Если f(x) скалярная функция скалярного аргумента, то иногда различают A1 = lim f(x) è A2 = lim f(x).

Определение 6.7. Говорят, что предел функции f(x) в точке x0 равен бесконечности, если для любого положительного числа E существует положительное число (E) такое, что для всех x, принадлежащих окрест- ности U_ (x0) значения функции f(x) принадлежат окрестности UE(1).

Таким образом, lim f(x) = 1, если 8E > 0 9 (E) > 0 такое, что 8x,

x!x0

удовлетворяющих условию 0 < jx x0j < следует jf(x)j > E.

36

Задание 6.1. Сформулируйте следующие определения пределов на языке " и на языке последовательностей;

1) lim f(x) = A;

x!+1

3) lim f(x) = +1;

x!x0

5) lim f(x) = 1;

x!1

7) lim f(x) = 1;

x!+1

9) lim f(x) = 1.

x! 1

Определение 6.8. Функция

êå x0, åñëè lim f(x) = 0.

x!x0

2)	lim	f(x) = A;
	x! 1		1	;
4)	lim f(x) =
	x!x0			;
6)	lim	f(x) = +
	x +		1
	! 1	f(x) = +1;
8)	xlim
	! 1

f(x) называется бесконечно малой â òî÷-

Если функция f(x) имеет конечный предел в точке x0, то ее можно представить в виде суммы предела и некоторой бесконечно малой функ-

ции, то есть, если lim f(x) = A, то в окрестности точки x0 справедливо

x!x0

равенство f(x) = A + (x), где (x) бесконечно малая функция. Заметим, что определение предела функции f(x) в точке x0 не требует,

чтобы функция была определена в этой точке.

7. Основные теоремы о пределах.

В этом параграфе будет сформулирован ряд теорем о свойствах предела функции в точке и правилах вычисления пределов. Все теоремы нужно будет доказать самостоятельно для скалярной функции скалярного аргумента, либо, взяв за образец доказательства x2, либо используя

определение предела по Гейне.

Теорема 7.1. Функция не может иметь в точке более одного предела.

Иными словами, если функция f(x) имеет в точке x0 предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке x0 äâà предела, то есть lim f(x) = A и lim f(x) = B и B 6= A. Возьмем

x!x0

x!x0

37

" =	jB Aj			" существует
	3 . Тогда по определению предела для этого
1(")	такая, что для всех x 2	_	(x0) выполняется f(x)	2 U"(A) ( ).
		U 1

Аналогично для этого же самого " существует delta2(") такая, что для всех x 2 U_ 2 (x0) выполняется f(x) 2 U"(B) ( ). Обозначим через = minf 1; 2g. Тогда для всех x 2 U_ (x0) справедливы условия (*) и (**).

Но окрестности U"(A) è U"(B) не пересекаются. Полученное противоре- чие доказывает теорему.

Теорема 7.2. Всякая функция f(x), имеющая в точке x0 предел, огра- ничена в некоторой окрестности точки x0.

Доказательство. По определению предела A =		lim f(x), åñëè
8" > 0 9 (") > 0 такое, что 8x 2	_	x!x0
	U (x0) следует jf(x) Aj < ". Значит,

_

8x èç U (x0) справедливо неравенство jf(x)j < jAj + " и функция f(x)

ограничена в -окрестности точки x0.

Теорема 7.3. Пусть

lim f(x) = A,

lim g(x) = B. Справедливы следу-

ющие утверждения:

x!x0

x!x0

1.

lim (f(x) + g(x)) = A + B;

x!x0

2. lim (f(x)

g(x)) = A

B;

x!x0

3. lim (f(x)

g(x)) = A

B;

x!x0

4.

lim c

f(x) = c

A;

x

!

x0

f(x)

A

5. lim

=

g(x) = 0; B = 0).

g(x)

x

!

x0

B (

6

6

2

7x + 9

Пример 7.1. Вычислите предел

lim

3x

.

2

x!1

x

5x + 2

Решение . Используя теорему 7.3, получим

3x2

7x + 9

lim 3x2

7 lim x + 9

3

7 + 9

lim

=

x

!

1

x

!

1

=

=

2; 5.

x

2

2

1

5 + 2

x 1

5x + 2

lim x

5 lim x + 2

!

x

!

1

x

!

1

2

7x + 4

Пример 7.2. Вычислите предел

lim

3x

.

2

x!1

x

5x + 4

38

Решение . Дробь представляет собой неопределенность 00 и сразу при- менять теорему 7.3 нельзя. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: x2 5x + 4 = (x 1)(x 4), 3x2 7x + 4 = (x 1)(3x 4)

и подставим в заданное выражение (заметим, что x 6= 1)

3x2

7x + 4

(x

1)(3x

4)

3x

4

lim(3x

4)

x 1

lim

2

= lim

x

= lim

x

=

!

4)

=

x 1

x 5x + 4

x

!

1

(

x

1)

x 1

4

lim(x

!

4)(

!

x!1

=

3 4

= 1.

1

4

3

2

11x 8.

Пример 7.3. Вычислите предел

lim

6x2

x!1

3x

8x + 17

11 и сразу при-

Решение . Дробь представляет собой неопределенность

менять теорему 7.3 нельзя. Вынесем в числителе и знаменателе за скобки

x2 и сократим дробь:

lim

6x2

11x

8 = lim x2

6 x

x2

=

11

8

2

x

3x

x

8

17

!1

8x + 17

!1 x2

3

+

11

8

x

x2

6

=

lim

x

x2

6

= 2.

8

17

x!1

3

3

+

x

x2

Заметим, что lim 1

= 0 è

lim

1

= 0.

x!1 x

x!1 x2

p

Пример 7.4. Вычислите предел lim

2x + 1 3

.

x!8 x

9x + 8

0

Решение . Дробь представляет собой неопределенность

0 и сразу при-

менять теорему 7.3 нельзя. При вычислении предела в выражении, стре-

мящемся к нулю, избавимся от радикалов. Для этого умножим числитель

è çíàìåíàòель дроби на вûðàæåíèå, ñîïðÿæенное числителю.

p

3

px

+ 1 3)(

px

lim

x + 1

= lim

(

+ 1 + 3)

=

x

2

p

x 8

x

!

8

(x

1)(x

!

9x + 8

8)( x + 1 + 3)

= lim

x + 1

9

= lim

x 8

=

x

!

8

p

x

!

8

p

x + 1 + 3)

(x 1)(x 8)(

x + 1 + 3)

(x 1)(x 8)(

lim

1

=

1

= x

!

8

p

42.

(x 1)( x + 1 + 3)

p

p

Пример 7.5. Вычислите предел

lim

6 + x

2

x

.

x! 2 p13 + 2x p7 x

39

x!x0

Решение . Выполним преобразования как в предыдущем примере, умножив числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные числителюpи знаменателюp .

lim

6 + x

2

x

=

x! 2 p13 + 2x

p7

x

p

p

p

p

p

p

= lim

(

6 + x 2

x)( 6

+ x +

2

x)(

13 + 2x +

7

x)

=

x

2

p

p

p

p

p

p

!

( 13 + 2x 7 x)( 13 + 2x + 7 x)( 6 + x + 2 x)

p

p

= lim

(6 + x 2 + x)(

13 + 2x +

7 x

)

=

x! 2 (13 + 2x 7 + x)(p6 + x + p2 x)

p

+ p

p

p

2

13 + 2x

7 x

x

7

x)

13 + 2x +

= xlim2

(4 + 2 )(

p

p

= xlim2

=

x)

3

p6 + x + p2

x

!

(6 + 3x)( 6 + x + 2

!

12 .

= 12 = 1

Теорема 7.4. Пусть f(x) и g(x) скалярные функции скалярного аргумента. Если в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравен- ство f(x) 6 g(x) и функции f(x) и g(x) в точке x0 имеют конечные пределы ( lim f(x) = A, lim g(x) = B), то справедливо неравенство

x!x0

x!x0

lim f(x) 6 lim g(x) (A 6 B).

x!x0 x!x0

Теорема 7.5. (теорема о зажатой функции.) Пусть f(x), g(x) и

h(x) скалярные функции скалярного аргумента. Если в некоторой окрест-

ности точки x0 (в частности может быть, что x0 = 1) выполнено неравенство f(x) 6 g(x) 6 h(x) и функции f(x) и h(x) имеют в точке

x0 равные пределы ( lim f(x) = lim h(x) = A), то функция g(x) имеет
	x!x0	x!x0
в точке x0	тот же самый предел, то есть lim g(x) = A.
		x!x0

Теорема 7.6. Произведение бесконечно малой в окрестности точки x0 функции на ограниченную есть бесконечно малая в окрестности точки x0 функция.

Доказательство. Пусть функция f(x) в окрестности точки x0 является бесконечно малой, то есть lim f(x) = 0, а функция g(x) ограничена, то есть существует такое число M > 0, что для всех x 2 D(g) справедливо условие jg(x)j 6 M. По определению предела для любого сколь

40