Lesn3_Integraly

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

Лекция 14

§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейные неоднородные уравнения. Каждое из них имеет вид

y(n) p (x) y(n 1) ... p		(x) y q(x) ,	(1)
1	n

где функции p1(x), p2 (x),..., pn (x),q(x) определены и непрерывны на некотором интервале (a; b).

1. Структура общего решения

Решение линейного неоднородного уравнения (1) тесно связано с решением соответствующего линейного однородного уравнения

y(n) p	(x) y(n 1) ... p	(x) y 0 .	(2)
1	n

Эта связь описывается следующей теоремой.

Теорема 1. (О структуре общего решения).

Пусть yчн - некоторое частное решение линейного неоднородного уравнения (1), а y1, y2 ,..., yn - фундаменталь-

ная система решений соответствующего линейного однородного уравнения (2). Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

n
y(x,C1 ,...,Cn ) yчн Ci yi (x) .	(3)

i 1

Доказательство. Покажем, что функция (3) является общим решением линейного неоднородного уравнения (1).

1. Возьмем произвольные числа c1* ,c2* ,...,cn* R и рас-

n

смотрим функцию y(x,c1* ,...,cn* ) yчн ci* yi (x) . i 1

120

§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

По условию теоремы yчн - частное решение уравнения (1). n

В силу теоремы 4 из §3 функция yчо ci* yi (x) является част- i 1

ным решением уравнения (2). Поэтому для оператора дифференцирования A имеем равенства A(yчн) = q(x), A(yчо) = 0.

Рассмотрим образ

функции

y(x,c*,...,c* ) y

y

при

1

n

чн

чо

действии оператором A:

A( y(x,c*,...,c* )) A( y

y

) A( y

) A( y

) q(x) 0 q(x)

1

n

чн

чо

чн

чо

Равенство

A( y(x,c* ,...,c* )) q(x)

означает,

что функция

1

n

y(x, c*,...,c* )

является решением уравнения (1).

1

n

2. Пусть теперь u(x) - некоторое решение уравнения (1). По условию теоремы функция yчн тоже является решением уравнения (1). Тогда для функции u yчн имеем: A(u yчн )

A(u) A( yчн ) q(x) q(x) 0 . Следовательно, функция u yчн является решением уравнения (2).

n

Так как общее решение уравнения (2) равно Ci yi (x) , то

i 1

существуют числа c1* ,...,cn* , для которых выполняется равенство

	n	n
		u yчн ci* yi (x) =
u yчн ci* yi (x) . Отсюда получаем:
	i 1	i 1
y(x, c*,...,c* ) .		►
1	n

Из теоремы 1 следует, что общее решение yон неоднородного линейного уравнения равно сумме некоторого частного решения yчн этого уравнения и общего решения yоо соответствующего однородного линейного уравнения: yон = yчн + yоо .

С этой ситуацией мы уже встречались при исследовании линейных уравнений первого порядка.

Доказанная теорема дает несколько способов решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Обратимся к их рассмотрению.

121

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Вспомним, как решается линейное неоднородное уравнение первого порядка

y p(x) y q(x) .

Сначала находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения в виде y Cy1 .

Затем общее решение неоднородного линейного уравнения ищется в виде y C(x) y1 .

Неизвестная функция C(x) находится из условия

C (x) y1 q(x) .

При решении линейных уравнений высших порядков будем действовать аналогично.

ассмотрим сначала линейное уравнение второго порядка:

y p1(x) y p2 (x) y q(x) .

(4)

◄ 1. Предположим, что для соответствующего однородного линейного уравнения удалось найти общее решение:

yоо C1 y1 C2 y2 .

(5)

2. Общее решение уравнения (4) будем искать в виде

yон C1(x) y1 C2 (x) y2 .

(6)

Подставив функцию (6) в уравнение (4), должны получить тождество на интервале (a; b). Это одно из условий для нахождения двух функций C1(x), C2(x). Однако, его недостаточно. Потребуем еще, чтобы на интервале (a; b) выполнялось тождество

				C (x) y		C	(x) y	2	0 .				(*)
				1	1	2
Найдем производные					y ,	y	и подставим их в (4).
y C (x) y C (x) y				C	(x) y C (x) y					C (x) y		C (x) y .
1	1	1	1	2		2	2		2	1	1	2	2

Аналогично находим:

122

§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

	y C (x) y		C (x) y					C	(x) y	C (x) y .
1		1		1	1			2	2		2	2
	p (x) y		C (x) p (x) y								C (x) p (x) y .
1				1	1		1				2	1		2
	p2 (x) y		C1(x) p2 (x) y1								C2 (x) p2 (x) y2 .
	A( y) C (x) y		C (x)A( y )					C	(x) y	C (x)A( y			2	) q(x) .
1		1		1	1			2	2		2
	Так как A( y1) A( y2 ) 0,							то выполняется равенство
		C (x) y			C	(x) y q(x) .
			1	1	2			2
	3. Вместе с тождеством (*) оно образует систему уравне-
ний для нахождения производных C (x) и											C (x) :
								1			2
							(x) y2 0,
		C1(x) y1 C2
		C (x) y C					(x) y q(x).							(7)
				1	1	2		2

4. Определитель этой системы - вронскиан W ( y1, y2 ). Так как y1, y2 - фундаментальная система решений, то W ( y1, y2 ) 0. Поэтому система уравнений имеет единственное решение:

C (x) u (x),		C	(x) u (x) .	(8)
1	1	2	2

5. Находим функции Ci(x):

		C1(x) u1(x)dx С1,						C2 (x) u2 (x)dx С2 .													(9)
6. Подставив найденные функции в (6), получаем общее
решение линейного неоднородного уравнения (4):
		y	он		u (x)dx C y					u (x)dx C			2	y			2		.		(10)
					1		1	1		2
Действительно, перегруппировав слагаемые, получим
y	он			u (x)dx y			u (x)dx y				2	C y C			2	y		2		.
				1	1		2					1 1

Первые два слагаемых образуют частное решение уравнения (4), а два последних – общее решение соответствующего линейного неоднородного уравнения. Согласно теореме 1 функция yон является общим решением уравнения (4). ►

123

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

случае линейного уравнения более высокого порядка n последовательность действий остается такой же, однако вычисления становятся технически более сложными.

Алгоритм решения линейного неоднородного уравнения.

1.Находим общее решение линейного однородного уравнения (2)

yоо C1 y1 C2 y2 ... Cn yn .

(5 )

2.Записываем форму общего решения линейного неоднородного уравнения (1)

yон C1(x) y1 C2 (x) y2 ... Cn (x) yn .

(6 )

3.Записываем систему уравнений для нахождения производных Ci (x) функций Ci(x):

C (x) y ...			C		( x) y		n	0,
	1	1		n
C (x) y ...			C		( x) y			0,
	1	1		n			n
..........................................
C (x) y(n 2)				... C		(x) y(n 2)
	1	1			n			n
C (x) y(n 1)			...	C		(x) y(n 1)
	1	1			n			n

(7 )

0,

q(x).

4.Решая систему, находим производные Ci (x) .

5.Интегрированием находим функции Ci(x).

6.Подставив эти функции в равенство (6 ), получаем общее решение линейного неоднородного уравнения (1).

Пример 1.

Решим уравнение

y y sin x .				(*)
	1
1. Сначала решим линейное однородное уравнение			y y 0 .
Его характеристическое уравнение: k 2 1 0 .
Оно имеет только простые комплексные корни k1 i,				k2 i

.

124

§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Учитывая, что = 0, = 1, согласно таблице находим фунда-

ментальную систему решений: y e x sin x sinx					,	y	2	cosx .
		1
Записываем общее решение однородного уравнения:
	yоо C1 sin x C2 cos x ;
2. Общее решение неоднородного уравнения (*) ищем в виде
	yон C1( x) sin x C2 (x) cos x .								(**)
3. Записываем систему (7) для нахождения C (x),C									(x) :
						1		2
C	( x)sinx C	( x)cos x 0,		sin x				cos x
1	2	( x)sinx sin 1 x.
C	( x)cos x C			cos x				sinx
1	2

	4.	Находим производные. Умножаем почленно первое уравне-
ние на		sinx ,	а второе - на cosx .	Складывая уравнения, получаем
C (x) cos x .			Аналогично получаем:	C (x) 1.
1	sin x			2
	5.	Интегрированием находим функции C1( x), C2 ( x) :
			C1 (x) ln | sin x | C1;	C2 (x) x C2 .
	6.	Подставляя их в (**), записываем общее решение уравнения

yln|sinx| C1 sin x x C2 cos x .

Взаключение параграфа рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений частного вида.

3.Линейные неоднородные уравнения

спостоянными коэффициентами.

Метод подбора частного решения

Согласно теореме 1 для решения линейного неоднородного уравнения достаточно найти некоторое частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Суммируя найденные решения, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения.

Задача нахождения общего решения линейного однородного уравнения исследована в предыдущем параграфе. Рассмот-

125

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

рим задачу нахождения некоторого частного решения линейного неоднородного уравнения.

Исследуем линейные неоднородные уравнения с постоян-

ными коэффициентами

y(n) a y(n 1) ... a		y q(x) .	(11)
1	n

Внекоторых случаях по виду функции q(x) из правой части уравнения можно, с точностью до коэффициентов, определить (подобрать) частное решение этого уравнения. Нахождение коэффициентов выполняется примерно так же, как при разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Такой метод нахождения частного решения называют ме-

тодом подбора или методом неопределенных коэффициентов.

Взависимости от вида функции q(x) выделим 3 случая. Теорема 2. Если правая часть уравнения (11) имеет вид

q(x) eax P (x) ,	(12)
m

то частное решение yчн (x) уравнения находится в виде

y	(x) xseaxQ (x) ,	(13)
чн	m

где:

-s - кратность действительного числа a как корня характеристического уравнения для уравнения (11);

-Qm (x) - многочлен степени m, записанный с неопреде-

ленными коэффициентами.

Доказательство опускаем.

Замечание. Если число a не является корнем характеристического уравнения, то считаем, что его кратность s = 0.

Пример 2.

Решим линейное неоднородное уравнение

y 2 y y e2x .	(*)
1. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y 2 y y 0 .	(**)
Его характеристическое уравнение: k 2 2k 1 0 .
Уравнение имеет один корень k = 1 кратности	s = 2.

126

§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Общее решение линейного однородного уравнения (**):

		y	оо	C e x	C	2	xex .
				1
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения (*).
В уравнении (*) функция q( x) e2 x							имеет вид (12). При этом a =
2, его кратность (как корня характеристического уравнения)											s = 0. Так
как Pm (x) 1 , то m = 0. Следовательно,							Qm (x) A . В соответствии с
равенством (13) частное решение уравнения (*) ищем в виде											y Ae2 x .
Для нахождения коэффициента A подставим в уравнение (*)
функцию	y Ae2 x	и ее		производные						y 2 Ae2x ,	y 4Ae2x :
e2x (4A 4A A) e2x . Из уравнения находим, что A = 1.
Таким образом,		yчн e2 x .
3. Суммируя частное решение уравнения (*) и общее решение
уравнения (**), получаем общее решение уравнения (*):
		y e2 x C e x C						2	xex .
				1
Рассмотрим теперь более общий случай.
Теорема 3.	Если правая часть уравнения (11) имеет вид
	q(x) e x P (x) cos x Q (x)sin x ,										(14)
		k				l
то частное решение yчн (x)					уравнения находится в виде
	y (x) xt e x P (x) cos x Q									(x)sin x ,	(15)
	чн			m					m
где:

-t - кратность комплексного числа + i как корня характеристического уравнения для уравнения (11);

-Pm (x) , Qm (x) - многочлены степени m = max (k, l), за-

писанные с неопределенными коэффициентами.

Доказательство опускаем.

Замечание. Функция (12) является частным случаем функции (14), а именно - когда в функции (14) = a, = 0.

Пример 3.

Решим уравнение

y 2y y sin x .

(*)

127

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Однородное уравнение y 2y y 0 уже рассматривалось. Характеристическое уравнение имеет корень k = 1 кратности s = 2.

Общее решение имеет вид	y	оо	C e x C		2	xex .
			1
2. Найдем частное	решение			неоднородного уравнения (*).

В уравнении функция q(x) sin x имеет вид (14): q(x) e0x 0 cos(1 x) 1 sin(1 x) .

Отсюда следует, что = 0, = 1. Поэтому + i = i, его кратность как корня характеристического уравнения равна t = 0.

Далее, Pk ( x) 0,	Ql ( x) 1 .	Поэтому k = l = 0 и, следовательно,
m = 0. Отсюда следует,	Pm ( x) A,	Qm ( x) B .
Таким образом, частное решение уравнения (*) ищем в виде
y x0e0x Acos x B sin x , то есть в виде y Acos x B sin x .
Для нахождения коэффициентов A и B подставим функцию и ее
производные y Asin x B cos x ,		y Acos x B sin x в (*):
Acos x B sin x + 2Asin x 2B cos x + Acos x B sin x sin x ;
	2Asin x 2B cos x sin x .
Рассматривая это равенство функций при x 0 и при			x	,
			2

получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов:

	2B 0,
	2 A 1.
Отсюда получаем	A	1	;	B 0 . Следовательно,	y		1	cos x .
	2				чн	2

3. Суммируя найденные решения, получаем общее решение уравнения (*):

y 12 cos x C1e x C2 xex .

На практике применяется также еще одно утверждение.

Теорема 4. (Принцип суперпозиции).
	Пусть y1	есть решение уравнения A( y) q1 (x) , а y2 -
	решение	уравнения	A( y) q2 (x) . Тогда	функция
	y3 = y1 + y2	является решением уравнения
		A( y) q1 (x) q2 (x) .		(16)

128

§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Доказательство вытекает непосредственно из свойства линейности оператора дифференцирования A.

Пример 4.

Решим уравнение

y 2y y e2x sin x .

(*)

1. Однородное

уравнение

y 2y y 0

уже рассматривали.

Его общее решение y

оо

C e x C

2

xe x .

1

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения (*).

В уравнении

q(x) e2x sin x q ( x) q

2

(x)

является

суммой

1

двух функций. Частным решением уравнения

y 2y y e2x

являет-

ся функция y e2 x

(см.

пример 2).

Частным решением уравнения

1

y 2y y sin x является функция y

2

1

cos x

(см. пример 3).

2

По теореме 4 получаем, что функция y

чн

y

y

2

e2 x

1

cos x

1

2

является частным решением уравнения (*).

3. Суммируя найденные решения, получаем общее решение

уравнения (*):

y e2 x

1

cos x C e x

C

2

xe x .

2

1

На этом мы закончим исследование линейных уравнений высших порядков и перейдем к рассмотрению систем дифференциальных уравнений.

129