Lesn3_Integraly

Глава II. Определенный интеграл

b

Обозначение: f (x)dx .

a

Таким образом,

	b				b
	f (x)dx =		lim		f (x)dx .		(7)
	a		0		a
Аналогично определяются несобственные интегралы фун-
кции f(x), неограниченной в окрестности точки a							или c (a; b):
	b				b
	f (x)dx =		lim		f (x)dx .		(7')
	a		0		a
b		с				b
f (x)dx =	lim	f (x)dx +			lim	f (x)dx .	(7'')
a	0	a		0		с

Предлагается убедиться, что интеграл примера 5 является несобственным интегралом вида (7''), причем расходящимся.

усть теперь F(x) - первообразная для f(x). Тогда из равенства (7) следует

b		b	lim F(b ) F(a) =
f (x)dx =	lim	f (x)dx =
a	0	a	0

=lim F(b ) F(a) F(b 0) F(a) .

0

Таким образом,

b
f (x)dx F(b 0) F(a) .	(8)

a

Формула (8) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Аналогичные формулы можно получить и для несобственных интегралов вида (7') и (7'').

войства и признаки сходимости несобственных интегралов II рода рассматриваются аналогично случаю интегралов I рода. Предлагается рассмотреть их самостоятельно.

60

§7. Геометрические приложения определенного интеграла

Лекция 7

§7. Геометрические приложения определенного интеграла

В данном параграфе мы ограничимся рассмотрением только геометрических приложений определенного интеграла. Многие физические задачи допускают наглядную геометрическую интерпретацию и их решение можно свести к решению соответствующих геометрических задач.

Из геометрических задач мы рассмотрим задачи на нахождение длины кривой линии, площади плоской фигуры и объема пространственной области. Из этих трех задач с помощью определенного интеграла наиболее просто решаются задачи на вычисление площади плоской фигуры.

1. Вычисление площади плоской фигуры

Рассмотрим три способа описания плоской фигуры.

п.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Исследование начнем с решения следующей задачи. Вычислить площадь S области, являющейся криволинейной трапе-

цией некоторой функции		f (x), непрерывной и неотрицательной
на отрезке [a; b], a < b.			y
Согласно геометрическо-						y = f(x)
му смыслу определенного инте-
грала выполняется равенство
b
S f (x)dx .	(1)
			O	a		b		x
a
Рассмотрим	теперь	пло-
щадь S области, заключенной между графиками функций f(x)								и

g(x) на отрезке [a; b]. Функции непрерывны на данном отрезке и

61

Глава II. Определенный интеграл

удовлетворяют на нем неравенству

y

y = g(x) y = f(x)

O

a

b x

f(x) g(x).

Предположим сначала, что 0 f(x) на отрезке [a; b]. Очевидно, тогда выполняется равенство

b	b
S g(x)dx f (x)dx .
a	a

Отсюда в силу линейности интеграла вытекает равенство b

S g(x) f (x) dx .	(2)
a

В случае, когда функция f(x) меняет знак на отрезке [a; b], для доказательства равенства (2) достаточно рассмотреть функции f(x) + m и g(x) + m, где m - наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b].

Если плоская область имеет более сложную структуру, то она разбивается на области двух рассмотренных видов.

Пример 1.

Вычислить площадь S области D, заключенной между линиями y x и y x2 на отрезке [0; 2].

Построим сначала область D (см. рис.). В данном случае раз-

y y = x 2

y = x

O 1 2

x

ность функций g(x) f(x) = x2 x меняет знак на отрезке [0; 2]. На интервале (0; 1) она принимает отрицательные значения, а на интервале (1; 2) – положительные. Учитывая это, согласно равенству (2) получаем

	1	2
		(x2 x)dx =
	S = (x x2 )dx +
	0	1

	x2			x3			1	x3			x2			2		0 8	2 1		= 1.
	=													= 1	1			1
		2		3					3		2
														2	3	3	3	2
							0							1

Таким образом, вычисление площади плоской области сводится, в конечном счете, к вычислению площадей криволинейных трапеций. Рассмотрим этот вопрос подробней.

62

§7. Геометрические приложения определенного интеграла

п.2. Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрически:

x x(t),	y y(t),	t .	(3)
При этом функции x (t) ,	y(t) положительны и непрерывны на
отрезке [ ; ]. Тогда для площади S		криволинейной трапеции
функции имеет место равенство
S y(t)x (t)dt .			(4)

◄ Докажем это равенство. Зададим функцию явно y = f(x) на

соответствующем отрезке [a; b].	Тогда x( ) = a	и x( ) = b. Так
как x (t) 0 на отрезке [ ; ] , то	a < b. Далее, так как y = f(x),
то y(t) f (x(t)) 0 .
		b
Для искомой площади S имеем равенство		S f (x)dx .

a

Рассмотрим теперь интеграл (4):

y(t)x (t)dt = f (x(t))dx(t) x(t)

				b
	x		b	f (x)dx S .
			a	a

Замена переменной x(t) = x в интеграле возможна, так как все условия теоремы о замене в определенном интеграле выполнены. Равенство (4) доказано. ►

Замечание. Если в параметрическом задании (3) криволинейной

трапеции x (t) 0 на отрезке	[ ,	],	то площадь трапе-
ции вычисляется по формуле
S y(t)x (t)dt .			(4')

Это вытекает из формулы замены переменной в определенном интеграле и равенств x( ) = b, x( ) = a, имеющих место в данном случае.

63

Глава II. Определенный интеграл

Пример 2.

Вычислим площадь S области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически: x a cos t; y bsin t , t [0; 2 ].

Так как эллипс симметричен относительно обеих осей координат, то достаточно найти площадь S1 той части обла-

сти, которая лежит в первой координатной четверти. Соответствующая часть эллипса описывается изменением пара-

метра в пределах от 0 до 2 .

В данном случае производная x (t) (a cost) asin t в этих

пределах отрицательна. Поэтому согласно равенству (4') для площади S1 имеем

		0					0		/ 2
	S1	b sin t( a sin t)dt ab sin2 tdt						1	ab (1 cos 2t)dt =
								2
		/ 2					/ 2		0
	1 ab t	1 sin 2t					0 0 0 1
=				2 1 ab					ab .
	2	2		0	2	2	4

Для полной площади S области получаем S = 4S1 = ab.

Рассмотрим теперь, как вычисляется площадь плоской фигуры в полярных координатах. Вспомним сначала, как строится полярная система координат.

п.3. Полярная система координат на плоскости

Пусть в декартовой системе координат xOy плоскости задана точка M(x, y). Ее поло-

жение на плоскости полностью определяется декартовыми координатами x и y. Вместе с тем, точка определяется своим радиус-вектором rM . В свою очередь, радиус-

вектор, как и любой другой вектор, полностью определяется направлением и длиной.

64

§7. Геометрические приложения определенного интеграла

В соответствии с этим строится полярная система координат.

Для отсчета расстояний на плоскости фиксируется некоторая точка O. Она называется полюсом. Для отсчета углов фиксируется луч с началом в точке O. Он называется полярной осью.

Длина радиус-вектора точки M, то есть расстояние

OM, называется полярным расстоянием точки M. Угол

между полярной осью и радиус-вектором OM точки M, отсчитываемый против часовой стрелки, называется полярным углом точки. Числа и называются полярными координатами

точки M.

Обозначение: M( ; ).

Если на плоскости задана декартова система координат, то, как правило, в качестве полюса O берут начало системы координат, а в качестве полярной оси – луч, направление которого совпадает с направлением оси Ox. Из треугольника OMA получаем зависимость декартовых координат точки M от ее полярных координат, то есть формулы перехода от декартовой системы координат к полярной:

x cos ,	(5)
y sin .

Остается заметить, что если кривая L задается в декартовой системе координат уравнением вида y = y(x), то в полярной системе эта кривая определяется уравнением вида

= ( ),

> 0.

Из формул перехода (5) вытекает параметрическое задание этой кривой

x ( ) cos ,

y ( )sin .

(6)

Вернемся к вычислению площадей плоских фигур.

65

Глава II. Определенный интеграл

п.4. Площадь криволинейного сектора

вполярных координатах

Вполярной системе координат часто рассматривается область, определяемая аналогично криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

Определение 1. Пусть функция ( ) непрерывна на отрезке [ ; ]. Область, ограниченная лучами = , = и

кривой = ( ), называется криволинейным сектором.

Задача о площади криволинейного сектора решается аналогично задаче о площади криволи-

нейной трапеции.

Пусть криволинейный сектор ограничен линиями

= ,	= ,			= ( ).	(7)
Тогда его площадь S определяется равенством
S		1	2 ( )d .		(8)
		2

Доказательство можно провести аналогично доказательству геометрического смысла определенного интеграла. Однако мы этого делать не будем. Равенство (8) в дальнейшем будет получено как следствие одного из свойств двойного интеграла.

Пример 3.

Вычислим площадь области, ограниченной первым витком спи-

рали Архимеда	= a , a > 0.
Так как	изменяется в преде-
лах от 0 до 2 , то согласно (8)

		2			2
S	1	(a )2d	1	a2 13 3		4	3a2 .
	2		2			3
		0			0
		Перейдем к вычислению длины дуги кривой.

66

§7. Геометрические приложения определенного интеграла

2. Вычисление длины кривой

п.1. Длина плоской кривой в декартовых координатах

Рассмотрим непрерывную плоскую кривую y = f(x). Функ-

ция

f(x) определена на отрезке [a; b]

и

имеет на нем непре-

рывную производную. Вычислим длину l

дуги этой кривой.

1.

Разобьем отрезок [a; b] на n

малых отрезков точками

a = x0 < x1

< x2 < … < xn 1 < xn = b. Обозначим через xi при-

ращения xi

xi 1.

2.

Через

точки деле-

ния

xi

проведем прямые,

параллельные оси Oy, до

пересечения с кривой. По-

лучим точки

Ai.

Каждую

малую дугу

Ai 1 Ai

кривой

заменим отрезком

Ai 1 Ai .

3.

Для длины l кривой получаем приближенное равенство

n

lAi 1 Ai .

i1

Выразим в этом равенстве длину отрезка Ai 1 Ai через значения функции f(x).

Проведем через точку Ai 1 прямую, параллельную оси Ox, до пересечения с прямой Ai xi. Обозначим полученную точку пересечения через C. В прямоугольном треугольнике Ai 1 AiC

сторона Ai 1 Ai является гипотенузой. По теореме Пифагора по-

лучаем равенство	A	A	A C2	A C2 .
	i 1	i	i 1	i
Длина катета	Ai 1C равна приращению xi аргумента на
отрезке [xi 1; xi ] :	Ai 1C = xi. Длина другого катета равна при-
ращению функции	AiC f (xi ) f (xi 1) . По теореме Лагранжа
существует точка	сi [xi 1; xi ] ,			для которой выполняется ра-

67

Глава II. Определенный интеграл

венство AiC f (ci ) xi . Подставим выражения катетов в выражение для гипотенузы:

A A	=	( x )2 f (c ) 2 ( x )2						=	1 f (c ) 2		x .
i 1 i		i			i	i				i	i
Итак, длина l			кривой приближенно равна
				n
			l 1 f (ci ) 2 xi .
				i 1
4. Сумма справа есть интегральная сумма Римана для
функции	1 f (x) 2			. Переходя		в равенстве к				пределу при

d 0, получим точное равенство, в правой части которого стоит определенный интеграл

b		dx .
l	1 f (x) 2		(9)
a

п.2. Длина плоской кривой, заданной параметрически

Пусть наряду с явным заданием кривой y = f(x), a x b ,

имеем еще параметрическое задание
x x(t),	y y(t),	t .		(10)
При этом на отрезке [ ; ] функции x(t),			y(t) имеют непрерыв-
ные производные.
Предположим сначала, что на отрезке [ ; ]				функция x(t)
монотонно возрастает. Тогда x (t) 0 на			[ ; ] и выполняются
равенства x( ) = a, x( ) = b.
Выполним в интеграле (9) замену			x = x(t).	Все условия

теоремы о замене в определенном интеграле выполнены, причем

f (x)

yt

.

Тогда

равенство

(9)

примет

вид

x

t

b

y (t) 2

2

2

2

l 1 f (x) dx

=

1

x (t)dt

x (t) y (t)

dt .

a

x (t)

68

§7. Геометрические приложения определенного интеграла

Итак, для длины l кривой имеет место равенство

l x (t) 2 y (t) 2 dt . (11)

В случае, когда функция x(t) не обладает свойством монотонности на отрезке [ ; ], доказательство проводится аналогично.

Замечание. В случае пространственной кривой, заданной пара-

метрически:

x x(t),

y y(t),

z z(t),

t ,

(10')

ее длина l вычисляется по аналогичной формуле

l x (t) 2 y (t) 2 z (t) 2 dt . (11')

п.3. Длина дуги плоской кривой в полярных координатах

Пусть кривая L задана в полярной системе координат

( ),

.

(12)

Согласно формулам (5) перехода от декартовой системы координат к полярной задание (12) кривой можно преобразовать в параметрическое:

x ( ) cos ,

y ( )sin .

Тогда длину l кривой L можно вычислить по формуле (11). Так

как	x	( ) cos ( )sin ,	y	( )sin ( ) cos , то

l 2 ( ) ( ) 2 d . (13)

Перейдем к вычислению объемов пространственных обла-

стей.

69