Lesn3_Integraly

Глава I. Неопределенный интеграл

Пример 3.

x3 4

Представим дробь в виде линейной комбина- x( x 1)3 ( x2 x 4)

ции простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

x3 4

A

A

A

A

A

2x 1

1

2

3

4

5

A

.

x( x 1)3( x2

x 4)

x

x 1

( x 1)2

( x 1)3

x2 x 4

6

x2

x 4

Пример 4.

Разложим правильную дробь

1

на простейшие дроби.

x3

2x2 x

1)

1

1

;

x3 2x2 x

x( x 1)2

2)

1

A

B

C

;

x(x 1)2

x 1

(x 1)2

x

3)

1

A( x 1)2 Bx( x 1) Cx

;

x( x 1)2

x( x 1)2

4)A(x

x2 :

5)x1 :

x0 :

1)2 Bx(x 1) Cx 0x2 0x 1 ;

A B 0,

2A B C 0,A 1.

	6)	A = 1, B = 1,				C = 1;
	7)	1		1			1			1	- искомое разложение.
		x3 2x2 x		x			x 1			(x 1)2

Согласно равенству (6) интегрирование любой правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших рациональных дробей. Рассмотрим, как они интегрируются.

3. Интегрирование простейших дробей

1. Интегралы от простейших дробей вида сводятся к табличным интегралам. Действительно,

	1	легко
	( x r)s

	dx		d ( x r)		du
				x r u		.
	( x r)s		( x r)s		u s

Если s = 1, то получаем логарифм сложного аргумента:

20

§5. Интегрирование рациональных функций

	dx	ln | x r | C .
	x r

Если же s > 1, то получаем рациональную дробь:

dx

1

C .

( x r)s

(1 s)( x r)s 1

2. Совершенно аналогично находятся интегралы от про-

стейших дробей вида

2x p

. В самом деле,

(x2 px q)t

(2x p)dx

d ( x2 px q)

x2 px q u

du

.

( x2 px q)t

( x2 px q)t

u t

В результате интегрирования снова получим логарифм или

рациональную дробь.

3. Интегрирование

простейших дробей вида

1

(x2 px q)t

выполняется сложнее. Рассмотрим сначала пример.

Пример 5.

dx

Найдем интеграл

.

x2 2x 5

В данном случае дискриминант квадратного трехчлена отрицателен: D = –16 < 0. Выделим в квадратном трехчлене полный квадрат:

x2 2x 5 (x2 2x 1) 4 (x 1)2 22 .

Преобразуем теперь интеграл:

dx

d ( x 1)

du

1

u

x 1 u

arctg

C .

x2 2x 5

( x 1)2 22

u2 22

2

2

Окончательно получаем:

dx

1

arctg

x 1

C .

x2 2x 5

2

2

Интеграл выражен через арктангенс сложного аргумента.

Вернемся к интегралу			dx
				.
			( x2 px q)t
Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене
определяет замену x	p	u . Введя обозначение				1
					a			4q p2 ,
2						2

21

Глава I. Неопределенный интеграл

получим интеграл вида	du
		.
	(u2 a2 )t
При t = 1 получаем табличный интеграл			du	, который,
			u2 a2

как и в примере, выражается через арктангенс.

Пусть t > 1. Введем обозначение для интеграла

Ik	1	du vdu .
	(u2 a2 )k

Выполнив интегрирование по частям, получим равенство

		1			u
Ik 1
		2ka	2		(u2 a2 )k

(2k 1)Ik . (*)

Формула (*) позволяет интеграл с номером k +1 свести к интегралу с меньшим номером k.

	Применив к интегралу			du	формулу (*) последова-
		(u2		a2 )t

тельно t 1 раз, получим некоторую сумму рациональных дробей и интеграла I1, который уже вычислен.

Таким образом, любую простейшую дробь можно проинтегрировать. В результате получается функция, которая выража-

ется через рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Заметим в заключение, что рассмотренные интегралы часто встречаются в практике интегрирования.

4. Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации

одведем итоги проведенных исследований. Из полученных результатов вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби выражается через элементарные функции, а именно через степенные функции, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

22

§5. Интегрирование рациональных функций

Пример 6.

Вычислим интеграл

3x4 2x3 5x2 4x 1 dx . x3 2x2 x

В примерах 2 и 4 подынтегральная рациональная дробь была разложена на сумму многочлена и простейших дробей. В соответствии с этим разложением получаем:

3x4 2x3 5x2 4x 1

1

1

1

dx

=

3x 4

dx

=

x3 2x2 x

x 1

( x 1)2

x

=

3

x 2

4x + ln | x | ln | x 1 |

1

C .

x 1

2

так, любая рациональная функция интегрируема. Этот результат дает основу еще одного метода интегрирования функций. Введем сначала соответствующее понятие.

Определение 3.		Пусть функция f(x) не является рациональной.
	Говорят, что интеграл f (x)dx рационализируется за-
	меной	u(x) u , если существует рациональная функция
	R(u) , для которой выполняется равенство
		f (x)dx u(x) u R(u)du .	(10)

Из теоремы 2 вытекает, что если интеграл от функции рационализируется некоторой подстановкой, то его можно вычислить по определенному алгоритму. Применение такой подстановки к интегралу и является основой метода рационализации.

Пример 7.

Рассмотрим интеграл		2e2 x e x			dx .
		e x 1

Выполним следующую замену

						x	u
	2e2 x ex
					e
				dx
	ex 1
				x 2ln u,

2u4 u

2u3 1

2du

2

du .

u

2

1

u

u

2

1

dx 2du

u

Последний интеграл является интегралом от рациональной дроби. Исходный интеграл рационализирован и может быть найден.

Перейдем к интегрированию функций другого класса.

23

Глава I. Неопределенный интеграл

Лекция 3

§6. Интегрирование тригонометрических функций

ачнем исследование с функции общего вида - рациональной функции синуса и косинуса R(sin x,cos x) .

Примером функции такого вида может служить функция

	y sin x				sin2 x	(1	2cos x	).
				1 cos x			2
							1 sin x
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Интеграл вида
	R(sin x, cos x)dx							(1)
	рационализируется подстановкой
	tg	x		u .				(1')
	2

Доказательство. Выполним подстановку. Используя формулы тригонометрии, выразим тригонометрические функции через u:

sin x

2tg

x

2u

cos x

1 tg2

x

1 u2 .

2

;

2

1 tg2

x

1 u2

1 tg2

x

1 u2

2

2

Из равенства (1') выразим переменную x как функцию от u:

x 2arctgu . Найдем дифференциал этой функции					dx	2du	.
						1 u2
Преобразуем теперь исходный интеграл:
2u	1 u2	2
R(sin x, cos x)dx R 1 u2	, 1 u2			du R1(u)du .
			1 u2

Здесь через R1(u) обозначена подынтегральная функция

предыдущего интеграла, которая является рациональной функцией переменной u. ►

Подстановка (1') называется универсальной.

Пример 1.

dx

tg

x

u

1

2du

du

ln | u | C ln | tg

x

| C .

sin x

2

2u

1 u2

u

2

1 u2

24

§6. Интегрирование тригонометрических функций

Как видим, применение универсальной подстановки ведет к достаточно сложным преобразованиям. Рассмотрим интегралы, для которых можно применять более простые подстановки.

Теорема 2. Интеграл вида

R(tgx)dx	(2)
рационализируется подстановкой
tgx u .	(2')

Доказательство. В соответствии с подстановкой получаем:

x arctgu,

dx

du

.

1 u2

Преобразуем интеграл:

R(tgx)dx =

R(u)

1

du

R1(u)du .

►

1 u2

Следствие. Интеграл вида

R(sin2 x,

cos2 x)dx

(3)

рационализируется подстановкой (2').

Действительно, подынтегральная функция в силу формул

tg2x

u2

1

1

sin

2 x

,

cos2 x

1 tg2x

1 u2

1 tg2x

1 u2

преобразуется в рациональную функцию от u.

►

Пример 2.

dx

tgx u

1

du

du

du

=

2

1

3

2

2

2

1 3cos

x

1 u

1 u

3

u

4

1 u2

=

1

arctg u C

1

arctg

tgx

C .

2

2

2

2

Теорема 3. Интегралы вида

R(sin x) cos xdx,

R(cosx)sin xdx

(4)

рационализируются подстановками, соответственно

sin x u,

cos x u .

(4')

Доказательство. Рассмотрим первый интеграл.

25

Глава I. Неопределенный интеграл

R(sin x) cos xdx R(sin x)d (sin x) sin x u R(u)du .

Аналогично рассматривается второй интеграл.											►
Пример 3.
1 sin x			1 sin x				1 u			du
		dx				cos xdx sin x u			du		=
	cos x		cos	2	x		1 u	2		1 u

= ln|u1| Cln(sin x1) C .

ассмотрим теперь интегралы более конкретных видов. Теорема 4. Интеграл вида

sin m x cosn xdx ,

(5)

где m, n N , сводится к интегралам вида (3) или (4).

Доказательство. Если числа m и n четны, то интеграл имеет вид (3).

Если же, например, m нечетно m = 2k + 1, то

sin m x cosn xdx sin 2 x k cosn x sin xdx =

=1 cos2 x k cosn x sin xdx = R(cosx)sin xdx .

Получили интеграл вида (4).
При			нечетном						n интеграл											преобразуется					аналогично,
только функции sin x									и cos x меняются ролями.																	►
Замечание.			При вычислении интегралов вида (5) можно приме-
нять также формулы понижения порядка:
									sin 2 x			1			(1 cos2x) ;
											2
									cos2 x				1		(1 cos2x) ;										(5')
											2
									sin x cos x										1		sin 2x .
																			2
Пример 4.
		4 x					1			2					1									2
sin				dx				(1 cosx)			dx							(1 2cosx cos x)dx
			2				4									4
1			1				1		(1 cos2x)dx						1				1					1	1
		x				sin x 8														x			sin x	8 x		sin2x C
	4				2												4					2			16

26

§6. Интегрирование тригонометрических функций

83 x 12 sin x 161 sin2x C .

Теорема 5. Интегралы вида

sin mx cosnxdx, cosmx cosnxdx , sin mx sin nxdx (6)

сводятся к интегралам вида sin kxdx, coskxdx .

Это делается с помощью тригонометрических формул преобразования произведения в сумму:

sin mx cosnx 12 sin(m n)x sin(m n)x ;

cosmx cosnx	1	cos(m n)x cos(m n)x ; (6')
2

sin mx sin nx 12 cos(m n)x cos(m n)x .

Пример 5.

sin 4x cos3xdx 12 (sin 7x sin x)dx 141 cos7x 12 cos x C .

§7. Интегрирование иррациональных функций

1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Дробно-линейными иррациональностями называются вы-

ражения вида n ax b .

cx h

Теорема 1. Интеграл вида

		ax b		(1)
	R x, n		dx
		cx h

рационализируется подстановкой

n	ax b	u .	(1')
	cx h

Доказательство. Из равенства (1') следует, что

27

Глава I. Неопределенный интеграл

n		n
b hu		b hu	du .
x cun a	,	dx cun a

Очевидно, производная является рациональной функцией от u. Выполним в интеграле замену переменной:

					R b hun , u b hun
	R x, n ax b dx
							du R (u)du .
					cun a	cun a			1
		cx h
В последнем интеграле через						R1(u)	обозначена подынте-

гральная функция предыдущего интеграла, которая является ра-

циональной функцией переменной u.

►

Следствие 1. Интеграл вида

R x, n

dx

ax b

(2)

рационализируется подстановкой

n

u .

ax b

(2')

Действительно, если в соотношениях (1) и (1') положить

c = 0, h = 1, то получим соотношения (2) и (2').

►

Следствие 2.

Интеграл вида

R x,k

,m

dx

ax b

ax b

(3)

рационализируется подстановкой (2'),

где

n НОК(k, m) .

Действительно, при выполнении подстановки (2') оба кор-

n

.

ня в интеграле (3) превращаются в степени

корня

ax b

Например, если k = 2, m = 3, то n = 6 и

6

3 ,

3

6

2 .

ax b

ax b

ax b

ax b

Интеграл тогда принимает вид (2).

►

Пример 1.

u,

x 3

dx

2udu

du

2

=

(x 7)

(u2 4)u

u2 4

x 3

3,

x u2

dx 2udu

= arctg u

C arctg

x 3

C .

2

2

28

un b

§7. Интегрирование иррациональных функций

2. Интегрирование трансцендентных иррациональностей

Трансцендентными иррациональностями называются вы-

ражения вида n		aex b	.
Теорема 2. Интеграл вида
			R ex , n				dx
					aex b			(4)
	рационализируется подстановкой
			n aex b u .					(4')

Доказательство. Выполним в интеграле подстановку (4'). Выразим переменную x через u:

ae

x

b u

n

;

e

x

u

n

b ;

n

. Тогда

n 1

du .

x ln u

b

dx nu

a

a

un b

Преобразуем интеграл:

R e x ,n aex b dx R un b , u nun 1 du R1(u)du . ► a

Пример 2.

x

u

2e2 x

ex

2u4 u

e

2du

dx

x

2du

2

1

u

e

1

x 2ln u,

dx

u

u

= 2

2u

2u 1

du 2u2 2ln | u2 1| ln

u 1

C

u2 1

u 1

2e x 2 ln | e x 1 | ln

e x 1

C .

e x 1

2 2u3 1 du = u2 1

= =

3. Интегрирование квадратичных иррациональностей

Квадратичными иррациональностями называют выраже-

ния вида ax2 bx c , a 0. Соответственно, будем рассматривать интегралы вида

R(x, ax2 bx c )dx .

29