Lesn3_Integraly

Глава II. Определенный интеграл

3.Вычисление объемов некоторых пространственных областей

Ограничимся формулировкой одного утверждения.

Теорема 1. Пусть площадь		сечения пространственной области
	D плоскостью x = const является функцией			S(x), непре-
	рывной на отрезке	[a; b]. Тогда объем	VD	области D
	вычисляется по формуле
		b
	VD S(x)dx .					(14)
		a
Доказательство опускаем.
		Следствие.				Пусть
		пространственная об-
		ласть	D	ограничена
		поверхностью,				обра-
		зованной			вращением
		вокруг оси			Ox	кри-
		волинейной трапеции
		функции			f(x) на от-
		резке	[a;		b].	Тогда
		объем	V		этой обла-
сти вычисляется по формуле
		b
	V f 2 (x)dx .					(15)

a

Равенство (15) вытекает из равенства (14) так как в рассматриваемом случае S(x) f 2 (x) .

На этом мы закончим исследование определенного интеграла и перейдем к решению дифференциальных уравнений.

70

§1. Основные понятия

Лекция 8

Глава III.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

При вычислении неопределенного интеграла мы решали следующую задачу. Дана функция f(x), требуется найти ее первообразную, то есть функцию F(x), удовлетворяющую условию

F (x) f (x) .	(*)
Другими словами, зная производную	F (x) неизвестной

функции F(x), мы находили саму функцию. Как это делали? Интегрированием известной функции. Однозначным ли получалось решение? Нет. Теперь мы будем заниматься решением задачи, по сути своей аналогичной данной, только более общей.

ачнем знакомство с основными понятиями.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнени-

ем порядка n называется уравнение вида

F(x, y, y ,..., y(n) ) 0 ,

где

-y = y(x) - неизвестная функция переменной x;

-y ,..., y(n) - производные этой функции;

-F - известная функция n + 2 переменных.

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями относительно неизвестной функции одной переменной рас-

сматриваются дифференциальные уравнения в частных произ-

водных относительно неизвестной функции нескольких переменных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения, поэтому прилагательное "обыкновенные", как правило, будем опускать.

Далее ограничимся рассмотрением дифференциальных

71

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

уравнений, в которых функция F(x, y, y ,..., y(n) ) является достаточно простой, чтобы эти уравнения можно было разрешить относительно старшей производной y(n) .

Определение 2. Дифференциальное уравнение вида y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) )

называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

В частности, дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

	y f (x, y) .	(1)
Функция f (x, y)	в уравнении предполагается определен-
ной на некотором множестве D R 2.
Пример 1.
Рассмотрим дифференциальные уравнения:
1) y y sin x 0 ;	2) y xy( y )2 ( y )3	0 .

Первое из них легко разрешается относительно производной: y y sin x . Здесь f (x, y) y sin x , область определения D = R 2.

Второе уравнение разрешается относительно производной более сложно. Существуют уравнения, которые не разрешимы относительно производной.

Сравнивая уравнения (*) и (1), получаем, что, находя первообразную данной функции, мы решали дифференциальное уравнение первого порядка вида (1) в частном случае, когда функция f(x, y) зависит только от одной переменной x.

точним, что будем понимать под решением дифференциального уравнения.

Определение 3. Решением		дифференциального уравнения
	называется всякая функция y(x), обращающая это урав-
	нение в тождество на некотором интервале (a; b).
	График функции y(x)	в этом случае называется инте-
	гральной кривой дифференциального уравнения.

Определение решения дифференциального уравнения первого порядка можно записать в символической форме:

72

§1. Основные понятия

y(x) - решение (1)		y (x) f (x, y(x))	x (a; b).	(2)
Интегральная	кривая дифференциального уравнения
y f (x, y) и область определения D функции f(x, y)				и лежат

в плоскости Oxy. Каково их взаимное расположение?

	Пусть L -		интеграль-	y		M(x0,y0)	D
	ная кривая, то есть график			y0
	решения	y(x)	дифферен-
						L
	циального	уравнения (1)
	на интервале (a; b).
	Возьмем		произволь-	O	a	x0	b	x
	ную точку M(x0, y0) L.
	Тогда x0 (a; b) и y0 = y(x0). Согласно условию (2) для							x = x0

выполняется равенство y (x0 ) f (x0 , y(x0 )) f (x0 , y0 ) . Оно озна-

чает, что M(x0, y0) D. Следовательно, L D.

Итак, интегральная кривая дифференциального уравнения y f (x, y) располагается в области определения функции f(x, y).

Пример 2.

Рассмотрим дифференциальное уравнение y 2x .

В этом уравнении f (x, y) 2x , D = R 2.

Функция y(x) x2 является решением данного уравнения на интервале (; +). Действительно, подстановка функции в уравнение дает тождество на R: 2x = 2x.

Интегральная кривая уравнения - парабола y x2 - целиком расположена в области D = R 2.

ри исследовании решений дифференциальных уравнений сначала исследуются вопросы существования решений и, если решения существуют, - вопросы об их количестве.

Ответ на первый вопрос мы получим, решив предварительно более сложную задачу. Для этого нам понадобятся еще некоторые понятия.

73

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 4. Говорят, что решение y(x) дифференциального

уравнения y f (x, y) удовлетворяет	начальному усло-
вию в точке M(x0, y0) D, если
y(x0) = y0.	(3)

Само равенство (3) называют начальным условием дифференциального уравнения.

Геометрически начальное условие означает требование, чтобы интегральная кривая проходила через точку M(x0, y0) D.

Определение 5. Нахождение решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши для этого уравнения.

Для уравнений первого порядка задача Коши имеет следующее решение.

Теорема Коши (Теорема существования и единственности).

Пусть в дифференциальном уравнении	y f (x, y) функ-
ция f(x, y) и ее частная производная	f	непрерывны в
	y

области D. Тогда для любой точки (x0, y0) D существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию в этой точке. Решение определено на некотором интервале, содержащем точку x0.

Доказательство опускаем.

Геометрически теорема означает следующее.

Для любой точки из области D существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через эту точку. Поэтому область D называется также областью единственности дифференциального уравнения.

Интегральные кривые в совокупности "замащивают" всю область D и не пересекаются между собой в этой области.

Действительно, если бы какие-нибудь две интегральные кривые пересекались в некоторой точке области D, то через эту точку проходили бы две интегральные кривые, что противоречило бы теореме Коши.

74

§1. Основные понятия

з теоремы Коши следует, что уравнение y f (x, y) име-

ет бесконечное множество решений, зависящих от одного пара-

метра.	Действительно,
возьмем	некоторую		точку		β			D
M(x0; y0) D. Меняя значе-
ния координаты y0			в неко-		y0		M
тором интервале			( ;	),
получим	для	каждого		из
этих значений		свое реше-			O	x0		x
ние y(x, y0).

Ситуация, аналогичная этой, встречалась при введении неопределенного интеграла. Стремясь охарактеризовать все семейство первообразных, мы ввели понятие неопределенного интеграла. Стремясь охарактеризовать все семейство решений дифференциального уравнения, введем понятие общего решения.

Определение 6. Функция y(x, C) параметра C называется общим решением дифференциального уравнения первого по-

рядка, если она удовлетворяет условиям:

1)для всякого значения c0 параметра C из некоторого интервала ( ; ) функция y(x, c0) является решением дифференциального уравнения;

2)для всякого решения u(x) уравнения существует единственное число c0 ( ; ), удовлетворяющее

	условию u(x) = y(x, c0).
	Решение, получаемое из общего при фиксированном зна-
	чении параметра C, называется частным решением.
	Пример 3.
	Рассмотрим уравнение	y
	y 2x .

Функция y(x,C) x2 C	являет-
ся общим решением уравнения	y 2x
на интервале (; + ).
Интегральные кривые уравнения		x
- параболы y x2 C - целиком зама-

щивают область D R 2 и попарно не пересекаются в этой области.

75

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

Мы рассмотрели явное задание решения дифференциального уравнения. Однако его не всегда удается получить. В таких случаях используется неявное задание функции.

Определение 7. Соотношение

Ф(x, y, C) = 0,

(4)

неявно задающее общее решение дифференциального уравнения первого порядка, называется общим интегралом этого уравнения.

Если в равенстве (4) значение параметра C фиксировано, то интеграл называется частным интегралом уравнения.

з	всех решений дифференциального уравнения
y f (x, y)	конкретное решение можно фиксировать двумя спо-

собами: заданием начального условия или заданием значения параметра C в общем решении данного уравнения. Эта ситуация дает возможность следующего решения задачи Коши.

Пусть y(x, C) - общее решение уравнения y f (x, y) .

Найдем решение y(x), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0. Это решение получается из общего при некотором значении параметра C. Тогда при этом значении C выполняется равенство

y(x0, C) = y0.

(5)

Равенство (5) является уравнением относительно искомого значения параметра C. Согласно теореме Коши это уравнение имеет единственное решение c0. Найдя его, получаем решение задачи Коши y(x, c0). Таким образом, получаем

алгоритм решения задачи Коши:

	y f (x, y) ;		y(x0) = y0.
1.	Находим общее решение	y(x, C)	уравнения.
2.	Решая уравнение y(x0, C) = y0 относительно C, находим c0.
3.	Записываем функцию y(x, c0) - решение задачи Коши.
Пример 4.
	Решим задачу Коши:	y 2x ,	y( 1) 2 .

76

§1. Основные понятия

1. Как уже было отмечено, функция y(x,C) x2 C является общим решением уравнения y 2x на интервале (; + ).

2. Составляем уравнение для нахождения значения параметра C: 2 ( 1)2 C . Получаем, что C = 1.

3. Подставляя найденное значение параметра C в общее решение, получаем решение задачи Коши: y( x) x2 1 .

ассмотрим еще одно свойство дифференциального уравнения первого порядка y f (x, y) . Возьмем произвольную точ-

ку M(x0; y0) D. Вычислим значение функции				f(x0, y0). Постро-
им в малой окрестности точки			M отрезок прямой с угловым ко-
эффициентом
tg = f(x0, y0).			y	D
Проделав это		для		.
каждой точки области		D,		M
получим	множество
направлений. Оно назы-
вается полем	направле-		O	x
ний дифференциального
уравнения.

Теорема 2. (Геометрический смысл дифференциального уравне-

ния). Функция y(x) является решением уравнения y f (x, y) тогда и только тогда, когда ее график лежит в

	области	D и в каждой его точке направление касатель-
	ной совпадает с направлением поля данного уравнения.
Доказательство.
◄	Пусть	y(x) - решение уравнения y f (x, y) . Тогда

интегральная кривая L содержится в области D.

Рассмотрим произ-

вольную точку M(x0; y0) L. Ее координаты удовлетво-

ряют условию y(x0) = y0. Обозначим через угол наклона касательной к ин-

y		M(x0,y0)	D
y0
		L
O	a	x0	b	x

77

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

тегральной кривой в точке M. Имеют место равенства: tg = y (x0 ) = f(x0, y(x0)) = f(x0, y0) = tg .

Итак, tg = tg , то есть в точке M направление касательной совпадает с направлением поля дифференциального уравнения.

Пусть график L функции y(x) лежит в области D и в каждой его точке направление касательной совпадает с направ-

лением поля дифференциального уравнения, то есть tg							= tg .
	Рассмотрим		произвольную точку		x0 (a;	b).	Пусть
y(x0) = y0. Так как			M(x0; y0) L, то в точке существует касатель-
ная, то есть функция y(x) дифференцируема в точке						x0. Произ-
водная y (x)		удовлетворяет условию y (x0 ) = tg = tg = f(x0, y0)=
= f(x0, y(x0)). Таким образом, для любой точки x0 (a; b)							выпол-
няется равенство
			y (x0 ) = f(x0, y(x0)). Это означает, что функция
y(x)	является решением дифференциального уравнения.						►
	Поле	направлений		дифференциального		уравнения
y f (x, y)		дает наглядное представление о расположении инте-
гральных кривых в области				D. Данное свойство уравнения ле-
жит в основе приближенных методов его решения.
	заключение параграфа рассмотрим еще одну форму за-
писи	дифференциального			уравнения	первого	порядка

y f (x, y) . Выполним следующие преобразования уравнения:

dy	f (x, y) ,	dy f (x, y)dx ,	f (x, y)dx ( 1)dy 0 .
dx
Получили уравнение вида
	p(x, y)dx q(x, y)dy 0 .			(6)

Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка в симметричной форме.

Ясно, что всякое уравнение вида (6) можно преобразовать к виду (1): y f (x, y) . Таким образом, для дифференциальных

уравнений первого порядка можно использовать как запись вида (1), так и запись вида (6).

На этом закончим знакомство с основными понятиями теории дифференциальных уравнений и обратимся к их решению.

78

§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

Лекция 9

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах

Название параграфа станет понятным, если учесть, что процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения, а операция вычисления неопределенного интеграла называется квадратурой.

Замечание. В теории дифференциальных уравнений под неопределенным интегралом будем понимать только одну из первообразных подынтегральной функции.

В данном параграфе рассмотрим пять видов дифференциальных уравнений первого порядка, решение которых можно выполнять по определенному алгоритму.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Начнем с исследования уравнений самой простой структуры с точки зрения алгоритма решения.

Определение 1. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменны-

ми, если его можно представить в виде

y g(x) h( y) .

(1)

основе метода решения уравнений такого вида лежит следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть в уравнении (1) функции g(x), h(y) непрерывны на интервалах (a; b), (c; d) соответственно и h(y) 0 для всякого y (c; d).

Тогда общий интеграл данного уравнения задается в области D = (a; b) (c; d) соотношением (квадратурами)

	dy	g(x)dx C .	(2)
	h( y)

79