МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Индивидуальное домашнее задание

по дисциплине

«Вычислительная математика»

на тему:

«Сравнительные исследования итерационных методов решения нелинейного уравнения»

Студент

Литвинов Е.В.

^подпись, дата

^фамилия, инициалы

Группа

АИ-10

Принял

Журавлева М.Г.

^ученая степень, звание

^подпись, дата

^фамилия, инициалы

Липецк 2012

1. Задание кафедры

Сравнительные исследования итерационных методов решения нелинейного уравнения с одним неизвестным (методы дихотомии (бисекции, половинного деления), простых итераций, Ньютона (касательных), секущих, хорд (ложного положения, линейной интерполяции), Стеффенсена, парабол (обратной квадратичной интерполяции), квадрирования, гибридные методы).

2. Постановка вычислительной задачи

Метод простых итераций

Пусть есть функция y=f(x).

Требуется найти корень этой функции: такой x при котором f(x)=0.

Заменим исходное уравнение f(x)=0 на эквивалентное g(x)=x и будем строить итерации по правилу . Таким образом, метод простой итерации - это одношаговый итерационный процесс. Для того, что бы начать данный процесс, необходимо знать начальное приближение.

Метод касательных

Этот метод в отличие от метода хорд на -ой итерации вместо построения хорды требует построить касательную к кривойпри, при этом за следующее приближениепринимается точка пересечения этой касательной с осью Ох. Пользуясь этим методом не обязательно знать отрезок, где содержится корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение к корню.

Запишем уравнение касательной к кривой в точке

Положим здесь , тогдабудет равен_.

и найдем отсюда

-следующее приближение к корню уравнения (I).

Аналогично можно найти и следующие приближения

,

здесь и.

Вычисления по формуле (3.3) надо вести до тех пор, пока

не станет меньше или не будет выполняться условие

Метод секущих (хорд)

Пусть найден отрезок , где уравнениеимеет корень. Для определенности будем считать, что, а. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (I) принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала запишем уравнение хорды , как прямой, проходящей через две точкии.

.

Тогда значение , соответствующее точке пересечения хордыс осью Ох, будет

(2.1)

Блок-схема метода хорд аналогична блок-схеме метода бисекций с той лишь разницей, что в четвертом блоке нужно вместо формулы записать формулу (2.1). Кроме того, в блок-схему необходимо ввести операторы, вычисляющие значенияна границах новых отрезков.

Метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость, чем метод деления отрезка пополам. Метод хорд, так же как и метод бисекций всегда сходится.

Метод бисекций (половинного деления, дихотомии)

Метод бисекций является одним из самых простых методов решения нелинейных уравнений вида . Главным его достоинством является то, что он всегда сходится. Недостатком этого метода является то, что он медленный.

Алгоритм рассматриваемого метода может быть следующим.

1. Пусть найден отрезок , который содержит начальное приближениек корню уравнения (I).

2. За возьмем середину, т.е. вычисляем

(1.1)

При этом из отрезка получилось два отрезкаи.

3. Исследуем знак на концах отрезкови, т.е. вычислим значения.

4. Выберем теперь отрезок, на концах которого имеет разные знаки, другой отрезок отбросим.

5. Выбранный отрезок обозначим через .

6. Перейдем к п. 2.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции послеn-ой итерации не станет меньше по модулю, чем некоторое , т.е. пока, гдеочень маленькое положительное число (точность, с которой надо решить уравнение (I)). Можно закончить счет и тогда, когда длина очередного отрезка станет меньше.

Дадим геометрическую интерпретацию метода бисекций и приведем его блок-схему.

В данной блок-схеме сужение отрезка происходит путем замены границыa или b на текущее значение корня х. При этом значение вычисляется один раз, т.к. нам нужен лишь знак функциина левой границе, а он в процессе итераций не меняется.

Метод Стеффенсена

Данный метод отличается от метода Ньютона лишь формулой для вычисления приближений:,

что проще, т.к. не нужно вычислять производную.