FA

Задача 90.

ïðè âñåõ

18

Задача 87. Докажите, что функция f : X ! Y непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда выполнено условие

8" > 0 9 > 0 8(x 2 X : X(x; a) < ) Y f(x); f(a) < ":

Функцию f : X ! Y называют равномерно непрерывной на X, если

8" > 0 9 > 0 8(x; x0 2 X : X(x; x0) < ) Y f(x); f(x0) < ":

Задача 88. Докажите, что функция f : X ! Y непрерывна в точке

a тогда и только тогда, когда для любой окрестности Uf(a) точки f(a) существует такая окрестность Va точки a, что f(x) 2 Uf(a)

x 2 Va.

Задача 89. Проверьте непрерывность следующих отображений, действующих из пространства R21 â ñåáÿ:

1)f(x) = (5x1; 2x1 x2);

2)f(x) = (x21 + x22; x21 x22);

3)f(x) = (cos x2; sin x1);

			x12			x22
				;				; åñëè x1		; x2	= 0;
	8
4) f(x) =			x12 + x22			x12 + x22					6 .
	>					åñëè			x1	= x2 = 0:
	<0;				p
	> p
	:

Проверьте непрерывность следующих операторов, действующих из пространства C[0; 1] в себя:

1)(F x)(t) = R01 sin(t s)x(s) ds;

2)(F x)(t) = R0t x2(s) ds;

3)(F x)(t) = ex(t);

4)(F x)(t) = x(t=2) + t2.

Задача 91. Пусть f : R ! R непрерывная функция. Докажите, что множество Ga тех точек x 2 R, где f(x) > a, открыто.

Задача 92. Пусть f : [a; b] ! [a; b] непрерывная функция и Fn, n 2 Z,множества тех точек отрезка [a; b], для которых n f(x) n + 1. Докажите, что множество F1 [ F3 [ F5 [ : : : замкнуто.

Теорема 3. Пусть X и Y два метрических пространства и f : X !

Yфункция. Тогда следующие условия эквивалентны :

(a)Функция f непрерывна.

19

(b)Прообраз f 1(G) любого открытого множества G Y является открытым множеством.

(c)Прообраз f 1(F ) любого замкнутого множества F Y является

замкнутым множеством.

Два метрических пространства X и Y называют гомеоморфными, если существует непрерывное отображение f : X ! Y , для которого f 1

существует и также является непрерывным. В этом случае отображение f называют гомеоморфизмом. Если при этом

X(x1; x2) = Y (f(x1); f(x2))

для любых x1; x2 2 X, то отображение f называют изометрией, а пространства X и Y изометричными.

Задача 93. Выясните, какие из следующих пространств гомеоморфны,

àкакие нет и почему:

1)числовая прямая;

2)полуось (открытая, замкнутая);

3)отрезок числовой прямой;

4)полуинтервал числовой прямой;

5)интервал числовой прямой;

6)окружность.

Задача 94. Докажите, что R не гомеоморфно Rn, n 2.

Две метрики 1 è 2 на одном и том же множестве X называют равносильными, если тождественное отображение метрических пространств (X; 1) è (X; 2) является гомеоморфизмом.

Две метрики 1 è 2 на одном и том же множестве X называют эквивалентными, если существуют такие константы m; M > 0, что для всех x; y 2 X

m 2(x; y) 1(x; y) M 2(x; y):

Задача 95. Докажите, что эквивалентные метрики равносильны. Приведите пример, показывающий, что обратное неверно.

Предложение 4. Понятия предела и непрерывности относительно равносильных метрик совпадают.

Задача 96. Докажите, что две метрики равносильны тогда и только тогда, когда для любой последовательности xn из сходимости xn к x по одной метрике вытекает сходимость xn к x по другой и обратно.

20

Задача 97. Докажите, что для равносильности метрик 1 è 2 на метри- ческом пространстве X необходимо и достаточно, чтобы семейство всех подмножеств пространства X, открытых (замкнутых) в смысле метрики

1, совпадало с семейством всех подмножеств, открытых (замкнутых) в смысле метрики 2.

Задача 98. Докажите, что метрики 1, 2 è 1 íà Rn из теоремы 1 эквивалентны.

Задача 99. Эквивалентны ли на пространстве C[a; b] метрики 1, 1 è2, см. теорему 1? Какую сходимость порождает метрика 1 íà C[a; b]?

Задача 100. Докажите, что метрики из задачи 12(b) являются эквивалентными. Какую сходимость они порождают?

Задача 101. Пусть X и Y метрические пространства и f равномерно непрерывная функция. Докажите, что если метрики на X и Y заменить на эквивалентные, то свойство функции f быть равномерно непрерывной сохранится.

1.5.Полные метрические пространства

Последовательность fxng элементов метрического пространства называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши, т.е. если

8" > 0 9N 8n; m > N (xn; xm) < ":

Задача 102. Пусть последовательность fxng элементов метрического пространства такова, что ряд P1n=1 (xn+1; xn) сходится. Докажите, что

последовательность fxng фундаментальна. Ср. с теоремой 18 ниже.

Задача 103. Пусть fxng è fyng фундаментальные последовательности. Докажите, что последовательность (xn; yn) сходится.

Метрическое пространство X называют полным, если в этом пространстве любая фундаментальная последовательность имеет предел.

Задача 104. Докажите, что если метрическое пространство X является

полным относительно одной из эквивалентных метрик, то оно является полным и относительно другой. Приведите пример, показывающий, что свойство метрического пространства быть полным не сохраняется при замене метрики равносильной.

Задача 105.

21

Докажите, что если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.

Задача 106. Какие из метрических пространств, описанных в теореме 1, являются полными, а какие нет? Докажите, в частности, что пространства CL1[a; b] è CL2[a; b] не являются полными.

Задача 107. Является ли полным метрическое пространство, описанное в задаче 11?

Задача 108. Докажите, что всякое метрическое пространство, состоящее из конечного числа элементов, является полным.

Задача 109. Докажите, что множество N всех натуральных чисел с

метрикой

(n; m) = jn mj nm

не является полным. См. задачу 6.

Задача 110. Являются ли полными следующие подпространства мет- рического пространства l1 (определенного в теореме 1):

1)	l0 = fx = (x1; x2; : : : ) 2 l1 : limn!1 xn = 0g;
2)	llim = fx = (x1; x2; : : : ) 2 l1 : 9b 2 R	limn!1 xn = bg;
3) l00 = fx = (x1; x2; : : : ): 9n 8k > n		xk = 0g?

Задача 111. Пусть C1[a; b] множество всех непрерывных функций на [a; b], имеющих непрерывную производную. Рассмотрим на C1[a; b] две метрики:

1

(f; g) = sup

jf(x) g(x)j +

sup jf0(x) g0(x)j;

x2[a;b]

x2[a;b]

f; g

sup

f(x)

g

x

)j + j

f0

x

g0

x

:

2

(

) = x2[a;b] j

(

( )

(

)j

Докажите, что эти метрики эквивалентны. Докажите полноту этих пространств.

Задача 112. Является ли полным пространство Cn[a; b], состоящее из n раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a; b], относительно метрик:

	(x; y) =	n
1)		k=0 maxt2[a;b] jx(k)(t)j,
		P t;k j	j
2)	(x; y) = max		x(k)(t)	,

ãäå x(0)(t) = x(t)?

Задача 116.

22

Задача 113. Верно ли, что всякая убывающая последовательность замкнутых шаров E1 E2 : : : в полном метрическом пространстве имеет непустое пересечение?

Задача 114. Верно ли, что последовательность вложенных открытых шаров E1 E2 : : : в полном метрическом пространстве имеет непу-

стое пересечение, если limn!1 diam En = 0 (ãäå diam E = supx;y2E (x; y))?

Задача 115. Пусть E1 E2 : : : такая последовательность открытых шаров в полном метрическом пространстве, что а) limn!1 diam En = 0; á) En+1 En для всех n 2 N. Докажите, что \nEn непусто.

Пусть X полное метрическое пространство; Yi, i 2 N,открытые всюду плотные подмножества в X. Докажите, что \1i=1Yi всюду плотно в X.

Задача 117. Пусть X множество всех прямых на плоскости, не про-

ходящих через начало координат. Определим расстояние между двумя прямыми

l1 : x cos 1 + y sin 1 p1 = 0; l2 : x cos 2 + y sin 2 p2 = 0;

ãäå 0 1; 2 < 2 ; p1; p2 > 0, по формулам:

1) 1(l1; l2) = jp2 p1j + j sin 2 sin 1j + j cos 2 cos 1j;

p

2)2(l1; l2) = (p2 p1)2 + (sin 2 sin 1)2 + (cos 2 cos 1)2;

3)3(l1; l2) = jp2 p1j + j sin 2 sin 1j.

Являются ли эти функции метриками? Если да, то являются ли соответствующие метрические пространства полными?

Задача 118. Пусть F и G фиксированные непрерывные функции на [a; b] такие, что F (x) G(x) всюду на [a; b]. Докажите, что подпространство пространства C[a; b], состоящее из всех непрерывных функций f таких, что F (x) f(x) G(x), полно.

Задача 119. Пусть C1[a; b] множество всех непрерывных функций на [a; b], имеющих непрерывную производную. Введем на нем метрику

(f; g) = sup jf(x) g(x)j:

x2[a;b]

Является ли пространство C1[a; b] полным?

Задача 123.

Задача 121.

23

Задача 120. Пусть A и B полные подпространства X. Докажите, что A [ B и A \ B также являются полными подпространствами. Покажите на примере, что A n B может оказаться неполным пространством.

Пусть (X; X) è (Y; Y ) полные пространства. Докажите, что пространство X Y , снабженное любой из метрик

1)X Y (x1; y1); (x2; y2) = X(x1; x2) + Y (y1; y2),

также является полным				q	X(x1; x2)		2	+ Y (y1; y2)		2	,
2) X Y	(x1	; y1); (x2	; y2) =

пространством.

Полное метрическое пространство X называют пополнением метри- ческого пространства X, если:

1)X является расширением пространства X (в частности, метрика на X является сужением метрики из X );

2)X всюду плотно в X , т.е. замыкание X совпадает с X .

Например, метрическое пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел.

Задача 122. Пусть X подмножество в полном метрическом пространстве Y . Докажите, что:

1)X полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто;

2)замыкание X в Y является его пополнением.

Теорема 5. Всякое метрическое пространство X имеет пополнение.

Это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из X.

Является ли полным метрическим пространством множество всех действительных чисел R относительно метрик:

1)(x; y) = j arctg x arctg yj;

2)(x; y) = jex eyj;

3)(x; y) = jx3 y3j?

Если нет, то найдите пополнение.

1.6.Принцип сжимающих отображений

Отображение A метрического пространства X в себя называют сжимающим, или, короче, сжатием, если существует такое число < 1, что для любых x; y 2 X выполняется неравенство

(Ax; Ay) (x; y):

Предложение 7.

24

Задача 124. Докажите, что всякое сжимающее отображение равномерно непрерывно.

Точку x называют неподвижной точкой отображения A множества X в себя, если Ax = x .

Задача 125. Пусть отображение A имеет единственную неподвижную точку x . Докажите, что если отображение B коммутирует с A (т.е. AB = BA), то x является неподвижной точкой и для отображения B.

Задача 126. Приведите пример полного метрического пространства и его изометрического отображения в себя, не имеющего ни одной неподвижной точки.

Теорема 6. Всякое сжимающее отображение A, действующее из полного метрического пространства X в себя, имеет ровно одну неподвижную точку x .

Неподвижную точку x сжимающего отображения можно найти методом последовательных приближений или методом итераций. Для этого берут произвольную начальную точку x0 2 X и строят последовательность итераций

x1 = Ax0; x2 = Ax1; : : : ; xn = Axn 1; : : : :

(1)

Последовательность итераций (1) сходится к непо- движной точке x , т.е. limn!1 xn = x . Более того, справедлива оценка скорости сходимости

n

(xn; x ) 1 (x1; x0):

Задача 127. Приведите пример неполного метрического пространства и его сжимающего отображения в себя, не имеющего неподвижной точки.

Задача 128. Пусть M = [1; +1) и Ax = x + x1. Покажите, что A переводит M в себя и удовлетворяет условию jAx Ayj < jx yj при

x 6= y, но отображение A не имеет в M неподвижных точек.

Задача 129. Покажите, что отображение A, определенное равенством

Ax (t) =	8t		0t x(s) ds;	t 2 (0; 1];
	<	1	R
	:	x(0);		t = 0;

25

действует из C[0; 1] в C[0; 1]. Являются ли точки x1(t) = t, x2(t) = sin t, x3(t) = 1, x4(t) = 0 неподвижными? Является ли отображение A сжимающим?

Задача 130. Покажите, что отображение

Ax (t) = Z0	t	2t sin(2 t )x(s) ds				2
			s

действует из C[0; 1] в C[0; 1]. Являются ли точки x1(t) = t, x2(t) = t неподвижными точками отображения A? Покажите, что A не является сжатием.

Задача 131. Пусть M = [ ; ], 0 < < 1, Ax = x2. Покажите, что A: M ! M имеет единственную неподвижную точку, не является сжатием, если 1=2, и является сжатием, если < 1=2.

Задача 132. Пусть A: R ! R, Ax = arctg x. Покажите, что:

1) x = 0 является единственной неподвижной точкой отображения

A;

2) отображение A не является сжатием ни на каком отрезке, содержащем точку x = 0;

3)при любом x0 последовательные приближения xn+1 = Axn сходятся

êединственной неподвижной точке x = 0.

Задача 133. Пусть функция f : [a; b] ! [a; b] дифференцируема. Пока-

жите, что условие

sup jf0(x)j < 1

a x b

необходимо и достаточно для того, чтобы f была сжатием на [a; b].

Задача 134. Пусть f числовая функция, определенная на всей оси R, имеющая непрерывную производную при всех x, причем jf0(x)j K, ãäå

K фиксированное число, K > 1. Докажите, что уравнение x = f(x) имеет решение, и притом единственное.

Задача 135. Докажите, что каждое из следующих уравнений имеет решение и найдите приближенное значение решения с точностью до 10 2:

1)

p5

2)

x5 + x3

+ 1

;

;

x =

x + 1

x =

20

1

1

3)

x =

1 sin x + 2;

4) x =

+

;

3

2 + ln(x + 1)

2

5) x = e x + 1;

6) x =

1

1 + x2 .

26

Задача 136. С помощью принципа сжимающих отображений докажите,

что система

(

x1 = 12x1 13x2 + b1; x2 = 13x1 + 12x2 + b2

при любых b1 è b2 имеет единственное решение.

Задача 137. Рассмотрим функцию f(x) = 12 ln x на [1; +1). Докажите, что 1) для любых x1; x2 2 [1; +1) имеем jf(x2) f(x1)j 12jx2 x1j,

2) функция f не имеет неподвижных точек. Нет ли здесь противоречия с теоремой 6?

x2

Задача 138. Рассмотрим функцию f(x) = 2jxj. Докажите, что 1) для любых x1; x2 из области определения функции f имеет место неравенство jf(x2) f(x1)j 12jx2 x1j, 2) функция f не имеет неподвижных точек. Нет ли здесь противоречия с теоремой 6?

Задача 139. Методом последовательных приближений найдите 4 последовательных приближения к решениям следующих интегральных уравнений Фредгольма:

1)	f(x) = 21		01 xyf(y) dy + x,	f0(x) = 1;
2)	f(x) =	21	R01 x cos( y)f(y) dy + x,		f0(x) = 0;
3) f(x) =			01Rxy2f(y) dy + 1,	f0(x) = 0.

R

Задача 140. Методом последовательных приближений найдите 4 последовательных приближения к решениям следующих интегральных урав-

нений Вольтерра:						x f(y) dy,
1) f(x) = x2=2 + x							f (x) = 1;
2) f(x) = 1 +		x			0		0
			(x y)f(y) dy,				f	(x) = 0;
3) f(x) = 2x +R		0	x	R			0
		0 2x yf(y) dy,					f0(x) = 0.
	уравнение					F (x) = 0	, в котором функция		F	удовлетворяет
Рассмотрим		R
условиям: F (a) < 0, F (b) > 0 и 0 < K1 F 0(x) K2									на [a; b]. Введем

функцию f(x) = x F (x). Нетрудно заметить, что уравнение x = f(x) равносильно уравнению F (x) = 0. Можно подобрать так, чтобы f была

сжатием. Значит, методом последовательных приближений можно найти решение уравнения x = f(x), а следовательно, и уравнения F (x) = 0.

Задача 141. Найдите приближенное значение решения следующих урав-
нений с точностью до 10 2:
1) 2x = p3 x + 1;	2) x3 + x + 5 = 0;

27

3) x =	1	x = e x.
	1 + x2 ; 4)

1.7.Топологические пространства

Пусть X некоторое множество (пространство, носитель). Топологией на X называют любое семейство его подмножеств G, удовлетворяющее двум аксиомам:

1.Само множество X и пустое множество ? принадлежат .

2.Объединение [ G любого (конечного или бесконечного) и пересе- чение \nk=1Gk любого конечного числа множеств из принадлежат .

Замечание 1. Если принять, что объединение пустого семейства множеств пусто, а пересечение пустого семейства множеств совпадает с X,

то первую аксиому можно интерпретировать как следствие второй. Множество X вместе с заданной на нем топологией , т.е. пару (X; ),

называют топологическим пространством. Множества G, принадлежащие семейству , называют открытыми. Дополнения к открытым мно-

жествам называют замкнутыми. Окрестностью точки называют всякое открытое множество, содержащее эту точку.

Обычно, допуская вольность речи, топологическим пространством называют не пару (X; ), а само множество X. В этих случаях топология ,

с которой рассматривается X, должна быть ясна из контекста.

Задача 142. Образует ли топологию семейство всех открытых подмножеств некоторого метрического пространства?

Задача 143. Является ли топологией семейство всех (не только открытых) подмножеств некоторого метрического пространства?

Задача 144. Является ли топологией семейство, состоящее только из всего пространства X и пустого множества ??

Задача 145. Пусть множество T состоит из двух точек a и b. Является ли топологией семейство, состоящее из всего множества T , пустого множества ? и множества fag, содержащего одну точку a?

Задача 146. Перечислите все топологии на множестве X, состоящем из двух, трех, четырех и пяти точек.

Совокупность множеств fG g называют покрытием множества M, åñëè M [ G . Покрытие называют открытым, если все множества