FA

Задача 154.

28

G открытые. Если из покрытия fG g выбросить часть множеств, и при этом оставшаяся система по-прежнему будет являться покрытием множества M, то ее называют подпокрытием множества M.

Множество (топологическое пространство) T называют компактным,

если любое его открытое покрытие содержит конечное (т.е. состоящее из конечного числа множеств) подпокрытие.

Теорема 8. Любой отрезок прямой является компактным множеством.

Задача 147. Постройте пример открытого множества на R, покрыто-

го интервалами так, что из этого покрытия нельзя выделить конечное подпокрытие.

Задача 148. Докажите, что любое компактное подмножество Rn îãðà- ничено и замкнуто.

Задача 149. Докажите, что любое замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Задача 150. Докажите, что множество M всех функций вида y = kx2, где k пробегает отрезок [0; 3], компактно в C[0; 1].

Задача 151. Докажите, что множество M всех функций вида y = kx+b (0 k 1, 0 b 1) компактно в C[0; 1].

Задача 152. Докажите, что множество M всех непрерывных функций f на [0; 1] таких, что jf(x)j A (где A фиксированное положительное число), ограниченно и замкнуто в C[0; 1], однако не компактно.

Задача 153. Приведите пример замкнутого ограниченного множества â l2, не являющегося компактным.

Пусть A и B непустые компактные множества в метри- ческом пространстве X. Докажите, что числа (x; y), где x 2 A, y 2 B, образуют ограниченное числовое множество.

Задача 155. Пусть f : K ! Y , где K и Y топологические пространства, причем K компактно. Докажите, что образ f(K) является компактным множеством.

Задача 156. Докажите, что объединение конечного числа компактных множеств является компактным множеством.

åñëè îíî

CL2[0; 1]

Задача 162.

оно рассматривается как действующее: 1) из в R1?

всех этих множеств также

29

Задача 157. Докажите, что пересечение любой совокупности компактных множеств является компактным множеством.

Задача 158. Докажите, что любое компактное подмножество метриче- ского пространства является полным пространством.

Задача 159 (теорема Кантора). Пусть A1; A2; : : : непустые компактные множества в метрическом пространстве X, причем A1 A2 : : : . Докажите, что \nAn непусто, причем если diam An ! 0, òî \nAn состоит из единственной точки.

Задача 160. Пусть fAng последовательность компактных множеств такая, что пересечение любой конечной совокупности этих множеств непусто. Докажите, что пересечение \nAn

непусто.

Пусть X и Y два топологических пространства. Отображение f пространства X в пространство Y называют непрерывным в точке x0,

если для любой окрестности Uy0 точки y0 = f(x0) найдется такая окрест- ность Vx0 точки x0, ÷òî f(Vx0 ) Uy0 . Отображение f : X ! Y называют непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке x 2 X.

Теорема 9. Пусть X и Y топологические пространства и f : X !

Yфункция. Тогда следующие условия эквивалентны :

(a)Функция f непрерывна.

(b)Прообраз f 1(G) любого открытого множества G Y является открытым множеством.

(c)Прообраз f 1(F ) любого замкнутого множества F Y является замкнутым множеством.

Задача 161. Является ли непрерывным отображение f(x) = x(1), если

C[0; 1] â R1; 2) èç CL2[0; 1]

Является ли непрерывным отображение Ax (t) = x2(t), рассматривается как действующее: 1) из C[0; 1] в C[0; 1]; 2) из

â CL2[0; 1]; 3) èç C[0; 1] â CL2[0; 1]?

Задача 163. Пусть X и Y топологические пространства, а f; g : X ! Y непрерывные отображения. Докажите, что множество fx 2 X : f(x) = = g(x)g замкнуто в X.

30

Задача 164. Докажите, что если f непрерывное отображение множества M метрического пространства X в метрическое пространство Y и M1 M плотно в M, то f(M1) плотно в f(M).

Глава 2

Банаховы и гильбертовы пространства

2.1.Линейные пространства

Множество L называют линейным пространством над полем R действи-

тельных чисел или, короче, действительным линейным пространством, если:

для любых x; y 2 L определена их сумма x + y, также являющаяся элементом L;

для любого числа 2 R и любого x 2 L определено произведениеx, также являющееся элементом L;

выполнены следующие аксиомы линейного пространства:

1.x + y = y + x.

2.(x + y) + z = x + (y + z).

3. 90 2 L 8x 2 L	x + 0 = x.
4. 8x 2 L 9 x 2 L	x + ( x) = 0.

5.1 x = x.

6.( x) = ( )x.

7.( + )x = x + x.

8.(x + y) = x + y.

Элементы x 2 L называют векторами, а элементы 2 R скаляра-

ми. Операции сложения и умножения на скаляры называют линейными операциями.

Задача 165. Докажите, что множество R всех действительных чисел с

обычными арифметическими операциями сложения и умножения является линейным пространством.

31

Предложение 10.

32

Задача 166. Докажите, что множество Rn с покоординатными опера- циями

(x1; x2; : : : ; xn) + (y1; y2; : : : ; yn) = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn);(x1; x2; : : : ; xn) = ( x1; x2; : : : ; xn)

является линейным пространством.

Задача 167. Докажите, что (a) в любом линейном пространстве ноль единственен; (b) для любого x противоположный вектор x единственен;

(c) 0 x = 0 для любого x; (d) ( 1) x = x для любого x.

Пусть T некоторое множество. Обозначим че- рез F = F(T ) = F(T; R) множество всех функций x: T ! R. Введем в

F

=

= F(T; R) линейные операции естественным (поточечным) образом:

(x1	+ x2)(t) = x1(t) + x2	(t);
	( x)(t) = x(t):	(1)

Утверждается, что F линейное пространство.

Пример 1. Если T = f1; 2; : : : ; ng, то F(T; R) с точностью до обозна- чений совпадает с n-мерным арифметическим пространством Rn, ñð. ñ задачей 166.

Задача 168. Докажите, что множество l = l(N; R), состоящее из всех

числовых последовательностей x = (x1; x2; : : : ; xn; : : : ), с покоординатными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством.

Непустое подмножество L0 линейного пространства L называют подпространством L, если сложение и умножение на скаляры не выводят из L0.

Задача 169. Пусть L0 множество векторов x из R3, для которых выполнено одно из условий:

1)x1 = 0;

2)x1 = 0, ëèáî x2 = 0;

3)x1 + x2 = 0;

4)x1 + x2 = 1.

Является ли множество L0 линейным подпространством?

33

Предложение 11. Всякое подпространство само является линейным пространством относительно тех же самых операций.

Пример 2. Обозначим через C[a; b] множество всех непрерывных функций x: [a; b] ! C. Хорошо известно, что сумма двух непрерывных функ-

ций и произведение непрерывной функции на число снова непрерывные функции. Таким образом, C[a; b] подпространство F([a; b]; R). Сле-

довательно, C[a; b] само является линейным пространством.

Задача 170. Образуют ли в пространстве C[ 1; 1] подпространства следующие множества функций:

1)все монотонные функции;

2)все четные функции;

3)все многочлены;

4)все многочлены степени k;

5)все непрерывно дифференцируемые функции;

6)âñå кусочно-линейные функции;

7)âñå кусочно-непрерывные функции;

8)все интегрируемые по Риману функции;

9)все функции x(t), удовлетворяющие условию x(0) = 0;

10) все функции x(t), удовлетворяющие условию	R	11 x(t) dt = 0;
11) все функции x(t)			jx(t)
, удовлетворяющие условию Липшица

x(s)j Kjt sj.

Задача 171. Пусть L0 множество всех многочленов x, для которых выполнено одно из условий:

1)степень x равна 4;

2)2x(0) = x(1);

3)x(0) = 1;

4)x(t) = x(1 t).

Является ли множество L0 линейным подпространством?

Теорема 12. Следующие подмножества являются подпространствами пространства l всех последовательностей:

(a) Множество l1 = l1(N; R), состоящее из всех числовых последова-

тельностей x = (x1; x2; : : : ), удовлетворяющих условию P1 jxkj <

k=1

< 1.

(b)Множество l1 = l1(N; R), состоящее из всех ограниченных, т.е. удовлетворяющих условию supk2N jxkj < 1, числовых последовательностей x = (x1; x2; : : : ).

34

(c) Множество l2 = l2(N; R), состоящее из всех числовых последова-

тельностей x = (x1; x2; : : : ), удовлетворяющих условию P1 x2 <

k=1 k

< 1.

(d)Множество llim = llim(N; R), состоящее из всех сходящихся числовых последовательностей x = (x1; x2; : : : ).

(e)Множество l0 = l0(N; R), состоящее из всех сходящихся к нулю числовых последовательностей x = (x1; x2; : : : ).

Задача 172. Пусть L линейное пространство, а x некоторый его вектор. Докажите, что семейство всех векторов вида x, где пробегает множество действительных чисел, является подпространством.

Задача 173. Докажите, что пересечение подпространств, входящих в любое семейство, есть снова подпространство.

Пусть fx g семейство векторов из L. Рассмотрим всевозможные подпространства, содержащие эту систему, и возьмем их пересечение. Полученное множество называют линейной оболочкой семейства fx g.

Задача 174. Докажите, что линейная оболочка семейства векторов fx g является наименьшим подпространством в L, содержащим семейство fx g.

Задача 175. Докажите, что линейная оболочка семейства векторов fx g состоит из всевозможных конечных сумм вида Pni=1 ix i, ãäå i 2 R.

Пусть L1 è L2 подпространства линейного пространства L. Суммой L1 + L2 называют множество всевозможных векторов вида x + y, где x 2 L1, y 2 L2.

Задача 176. Докажите, что L1 + L2 подпространство.

Линейные пространства L и L называют изоморфными, если меж-

ду их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, которое согласовано с операциями в L и L , ò.å. èç x $ x è y $ y

(x; y 2 L, x ; y 2 L ) следует x + y $ x + y è x $ x ( произвольное число).

Теорема 13. Любые два линейных пространства одинаковой размерности изоморфны.

35

2.2.Нормированные и банаховы пространства

Нормой на линейном пространстве L называют функцию k k: L ! R, обладающую следующими свойствами, называемыми аксиомами нормы:

1)kx + yk kxk + kyk;

2)k xk = j j kxk;

3)kxk = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Нормированным пространством называют пару (X; k k), состоящую из линейного пространства X и заданной на нем нормы k k. Обычно,

допуская вольность речи, нормированным пространством называют не пару (X; k k), а само линейное пространство X. В этих случаях под-

разумевается, что норма k k, с которой рассматривается X, ясна из контекста.

Задача 177. Покажите, что kxk 0.

Задача 178. Покажите, что норму на R можно задать формулой kxk = = jxj.

Задача 179. Докажите, что для любых векторов x и y нормированного пространства справедливо неравенство

kxk kyk kx yk kxk + kyk:

Задача 180. Докажите, что для любых векторов x и y нормированного пространства выполняется неравенство kxk maxfkx + yk; kx ykg.

Теорема 14. Всякое нормированное пространство относительно метрики (x; y) = kx yk является метрическим пространством.

В силу этой теоремы на нормированные пространства переносятся все определения и факты, связанные с метрическими пространствами.

Задача 181. (a) Докажите, что шар в нормированном пространстве не может содержать ненулевого подпространства. (b) Пусть X0 подпро- странство нормированного пространства X, причем X0 6= X. Докажите, ÷òî X0 не содержит никакого шара.

Задача 182. Покажите, что если xk ! x, yk ! y ïðè k ! 1, òî:

1)xk ограниченная последовательность;

2)xk + yk ! x + y, где ; числа;

3)kxkk ! kxk;

4)kxk ! x, ãäå k числовая последовательность и k ! ;

5)kxk ykk ! kx yk.

36

Задача 183. Докажите, что если xk ! x è kxk ykk ! 0, òî yk ! x.

Задача 184. Докажите, что замыкание открытого шара в нормированном пространстве есть соответствующий замкнутый шар. Ср. с зада- чей 23.

Задача 185. Покажите, что внутренность замкнутого шара в нормированном пространстве есть соответствующий открытый шар.

Задача 186. Пусть для двух замкíóòûõ øàðîâ в нормированном пространстве имеет место включение B(a1; r1) B(a2; r2). Покажите, что r1 r2 è ka1 a2k r2 r1.

Теорема 15. Следующие линейные пространства являются нормированными:

(a) n-мерное арифметическое пространство Rn1 с нормой

n
Xk	jxkj:
kxk =
=1

(b) n-мерное арифметическое пространство Rn1 с нормой

kxk = max jxkj:

1 k n

(c) n-мерное арифметическое пространство Rn2 с нормой

	= v
x		n	xk	j	2:
k k	uk=1 j
	uX

t

(d)Линейное пространство C[a; b] всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a; b], с нормой

kxk = kxk1 = max jx(t)j:

a t b

(e)Линейное пространство CL1[a; b] всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a; b], с нормой

Z b

kxk = kxk1 = jx(t)j dt:

a

37

(f)Линейное пространство CL2[a; b] всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a; b], с нормой

Z b 1=2 kxk = kxk2 = jx(t)j2 dt :

a

(g)Линейное пространство l1 = l1(N; R), состоящее из всех число-

вых последовательностей x = (x1; x2; x3; : : : ; xn; : : : ), удовлетворяющих условию P1k=1 jxkj < 1, с нормой

1
Xk	jxkj:
kxk = kxk1 =
=1

(h)Линейное пространство l1 = l1(N; R), состоящее из всех ограни- ченных числовых последовательностей x = (x1; x2; x3; : : : ; xn; : : : ), т.е. удовлетворяющих условию supk2N jxkj < 1, с нормой

kxk = kxk1 = sup jxkj:

k2N

(i)Линейное пространство l2 = l2(N; R), состоящее из всех числовых последовательностей x = (x1; x2; x3; : : : ; xn; : : : ), удовлетворя-

ющих условию P1 x2 < 1, с нормой

k=1 k

			= v
x	= x	2		1	xk	j	2:
k k	k k		uk=1 j
			uX

t

Задача 187. Посчитайте нормы в C[0; 1] и CL1[0; 1] следующих функций: (a) x(t) = t; (b) x(t) = t2; (c) x(t) = t2 1=2; (d) x(t) = sin t; (e)

x(t) = sin 2 t. Предложите геометрическую интерпретацию норм в этих пространствах.

Задача 188. Являются ли нормами на пространстве C[0; 1] следующие функции:

(a)kxk = max0 t 1=2 jx(t)j;

(b)kxk = max0 t 1 a(t)jx(t)j, ãäå a(t) > 0;

(c)kxk = R0c jx(t)j dt, 0 < c < 1;

(d)kxk = R01 a(t)jx(t)j dt, где a(t) 0 (a(t) > 0) непрерывная функция?