FA

Теорема 24.

48

Задача 241. Найдите в l2 множество всех векторов, ортогональных

1)вектору x = (1; 1; 0; 0; : : : ; 0; : : : );

2)вектору x = (1; 1; : : : ; 1; 0; 0; : : : );

| {z }

n

3) системе векторов ek = (0; 0; : : : ; 0; 1; 0; 0; : : : ), k = 1; 2; : : : ;

|{z }

k 1

4) системе векторов ek = (0; 0; : : : ; 0; 1; 0; 0; : : : ), k = 3; 4; : : : ;

|{z }

k 1

5) системе всех векторов вида x = (x1; x2; : : : ; xn0 ; 0; 0; : : : ), ãäå n0 фиксировано, а x1; x2; : : : ; xn0 произвольные числа.

Задача 242. В пространстве CL2[ 1; 1] рассмотрим множество M функций x, равных нулю при t 0. а) Докажите, что M замкнутое подпро-

странство CL2[ 1; 1]. б) Опишите подпространство M?. Верно ли, что

M + M? = CL2[ 1; 1]?

Задача 243. Найдите множество всех функций в CL2[ 1; 1], ортогональных множеству: 1) четных функций, 2) нечетных функций.

Задача 244. Найдите множество всех функций из CL2[ ; ], ортогональных:

1)множеству fcos kt: k = 0; 1; 2; : : : g;

2)множеству fsin kt: k = 1; 2; : : : g.

Задача 245. Пусть L1 è L2 подпространства гильбертова простран-

ства. Докажите равенства:

1)

L + L

?

= L?

L?;

2)

L1 \ L2 ?

= L1?

+ L2?.

1

2

1

\

2

H является прямой суммой под-

Говорят, что линейное пространство

M H

N H и пишут H = M N, если

, ãäå

пространств

è

всякий вектор

f 2 H единственным образом представим в виде f = h + h0

h 2 M

è h0 2 N.

Задача 246. Пусть L1 è L2 подпространства линейного пространства L, причем L1 \ L2 = f0g. Пусть всякий x 2 L допускает представление x = x1 + x2, ãäå x1 2 L1 è x2 2 L2. Докажите, что L = L1 L2.

Если M замкнутое подпространство гильбертова пространства H, то H = M M?.

Замечание 3. Понятие прямой суммы может быть обобщено на любое конечное или даже счетное число множеств: H = M1 M2 Mn : : : .

Задача 254.

Задача 251.

49

Задача 247. В пространстве C[0; 1] рассмотрим множество L всех таких функций x, что x(1) = 0. Докажите, что:

1)L замкнутое подпространство в C[0; 1];

2)существует такое одномерное подпространство M, что C[0; 1] =

=L M.

Задача 248. Представьте пространство C[0; 1] в виде прямой суммы двух бесконечномерных подпространств.

Задача 249. Докажите, что множество Mn = fx 2 l2		:	kn=1 xk = 0g
при любом n является замкнутым подпространством		P		l2.
	пространства

Опишите такое подпространство N, что l2 = M N.

Задача 250. Пусть M; N замкнутые подпространства гильбертова пространства H и M?N, т.е. (x; y) = 0 для всех x 2 N и y 2 M. Докажите, что подпространство M + N замкнуто в H.

Пусть M; N множества в гильбертовом пространстве H такие, что любой вектор x 2 H единственным образом представим в виде x = u + v, где u 2 M, v 2 N. Следует ли отсюда, что M и N подпространства пространства H?

Задача 252. В пространстве l2 приведите пример такого подпространства M, что множество M + M? не совпадает со всем l2.

Задача 253. Пусть M и N подпространства гильбертова пространства H такие, что H = M N. Верно ли, что N = M??

Приведите пример двух бесконечномерных подпространств M и N пространства l2 таких, что l2 = M N.

Глава 3

Линейные функционалы и операторы

3.1.Линейные функционалы

Числовую функцию f, областью определения которой является линейное пространство, называют функционалом.1) Функционал f называют

линейным, если:

1)f(x + y) = f(x) + f(y) äëÿ âñåõ x è y;

2)f( x) = f(x) для любого числа и для всех x.

Задача 255. Покажите, что на Rn является линейным функционал

n

X

f(x) = akxk;

k=1

ãäå a1; a2; : : : ; an произвольный набор из n фиксированных чисел.

Задача 256. Докажите, что любой линейный функционал f на линей-

ном пространстве L однозначно определяется своими значениями f = f(e ) на векторах базиса fe g.2)

Задача 257. Проверьте, что функционал fk(x) = xk, определенный на lp, является линейным.

Задача 258. Какие из следующих функционалов на C[a; b] являются линейными:

1)	a(x) = x(a);	2) f(x) = maxt2[a;b] jx(t)j;
3)	f(x) = max	x(t);	4) f(x) =	b x(t) dt?
1)Термин функционал используют для того, чтобыRизбежать выражений типа функция от
	t2[a;b]			a

функции , поскольку основными примерами линейных пространств являются пространства, состоящие из функций.

2)Напомним, что семейство fe g называют базисом (Гамеля) линейного пространства L, если

P

любой вектор x 2 L можно единственным образом представить в виде суммы x = c e , â которой все коэффициенты c кроме конечного числа равны нулю.

50

Задача 260.

51

Задача 259. Покажите, что интеграл

Z b

I(x) = (t)x(t) dt;

a

где 2 C[a; b] заданная функция, представляет собой линейный функционал на пространстве C[a; b].

Покажите, что множество значений линейного функционала, отличного от нуля, совпадает со всем множеством действительных чисел.

Совокупность всех векторов x из L, которые удовлетворяют условию f(x) = 0, называют ядром функционала f и обозначают Ker f.

Задача 261. Покажите, что ядро линейного функционала является линейным подпространством.

Задача 262. Пусть ненулевой линейный функционал f определен на линейном пространстве L. Покажите, что существует такое одномерное подпространство M, что L = Ker f M.

Задача 263. Пусть два ненулевых линейных функционала f и g определены на одном и том же пространстве L и Ker f = Ker g. Докажите, что f = g для некоторого ненулевого числа .

3.2.Непрерывные линейные функционалы

Функционал f, определенный на нормированном пространстве, называют непрерывным в точке x0 2 X, åñëè

8" > 0 9 > 0 8(x: kxk < ) jf(x) f(x0)j < ":

Функционал f называют непрерывным, если он непрерывен во всех точ- ках.

Теорема 25. Если линейный функционал непрерывен в какой-либо одной точке x 2 X, то он непрерывен и всюду на X (более того, он

равномерно непрерывен).

Функционал f называют ограниченным, если он переводит ограни- ченные множества в ограниченные множества.

52

Теорема 26. Для того чтобы линейный функционал f был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Задача 264. Покажите, что всякий линейный функционал, определенный на конечномерном нормированном пространстве, непрерывен.

Задача 265. Докажите, что линейный функционал f на нормированном пространстве X непрерывен тогда и только тогда, когда существует такое непустое открытое множество U X и такое число t, что t 2= f(U), где f(U) множество значений f на U.

Задача 266. Пусть линейный функционал f определен на нормированном пространстве X и неограничен. Докажите, что на любой окрестности нуля он принимает все действительные значения.

Задача 267. Докажите, что линейный функционал f непрерывен тогда и только тогда, когда Ker f замкнуто.

Пусть f непрерывный линейный функционал на нормированном пространстве X. Число

kfk = sup jf(x)j

kxk 1

называют нормой функционала f.

Задача 268. Докажите, что

k		k		x		j		j
	f		= sup	jf(x)j	= sup		f(x)		= sup f(x):
				k k
			x6=0		kxk=1				kxk=1

Задача 269. Докажите, что для любого x 2 X выполнено неравенство jf(x)j kfk kxk:

Задача 270. Рассмотрим множество всех чисел C 0, для которых выполняется неравенство jf(x)j Ckxk при любом x. Докажите, что kfk = = min C.

1

Задача 271. Покажите, что inff(x)=1 kxk = kfk.

Задача 272. Пусть f линейный функционал, определенный на нормированном пространстве X. Докажите, что f непрерывен тогда и только тогда, когда для любого C 2 R множества fx 2 X : f(x) < Cg и fx 2 X : f(x) > Cg являются открытыми в X.

Задача 273.

53

Пусть f линейный функционал на нормированном пространстве X, причем для любой последовательности xn 2 X такой, что xn ! 0 при n ! 1, множество ff(xn)g ограничено. Докажите, что f непрерывный функционал.

Задача 274. Вычислите норму линейного функционала fa(x) = (x; a) íà Rn, ãäå x; a 2 Rn.

Задача 275. Пусть функционал f(x) = 3x1

2x2 + x3 определен на R3.

Вычислите норму f, если норма на R3

определена формулой:

1

3

= p1

+

2

+

2) kxk1 = maxk=1;2;3 jxkj;

1)

kxk2

=

x

x12 + x22

+ x32;

3)

k

x

k

j

j

j

x

j

j

x

j

.

Задача 276. Вычислите нормы линейных функционалов, определенных

íà l2:

1

xk

1

k x2k

1)

f(x) =

P1 + x

( ) =

P

.

;

2

f(x) =

k=1

2k ;

2) f(x) =

k=1( 1) k

3)

x

;

4) f x

1

xk

, определенный на

Задача 277. Является ли

P

k=1 k

функционал

f(x) = x(0)

C[0; 1], непрерывным? Вычислите его норму.

Задача 278. Проверьте, что функционал

f(x) = Z0

1 x(t) dt Z1

2 x(t) dt;

определенный на C[0; 2], линеен и непрерывен. Вычислите его норму и

покажите, что она не достигается ни на каком векторе единичного шара. Приведите другие примеры функционалов, определенных на C[0; 1],

нормы которых также не достигаются.

Задача 279. Вычислите норму функционала f, определенного на C[0; 1]:

1)

f(x) =

01(1 2t)x(t) dt;

2) f(x) =

01(4t 1)(4t 3)x(t) dt;

3)

f(x) =

R01 sin(n t)x(t) dt;

4) f(x) =R

01 a(t)x(t) dt; a 2 C[0; 1].

R. В 4) воспользуйтесь тем, что

R

Указание

непрерывную функцию мож-

но представить в виде равномерного предела ступенчатых функций.

Задача 280. Являются ли ограниченными на пространстве C[0; 1] сле-

дующие функционаëû:

1 x(t2) dt;

1) f(x) =

R

1 x(pt) dt;

2) f(x) =

R

( ) =

0

n

!1 R

0

0

3)

f x

lim

1 x(tn) dt?

54

Задача 281. Докажите, что непрерывный линейный функционал (x) = = x(0) на пространстве C[ 1; 1] нельзя представить в виде

Z 1

(x) = a(t)x(t) dt

1

ни при какой a 2 C[ 1; 1].

Задача 282. Пусть f непрерывный линейный функционал и для некоторого шара B(x0; r)

sup jf(x) f(y)j = 1:

x;y2B(x0;r)

Найдите kfk.

3.3.Сопряженное пространство

Пусть f и g линейные функционалы на линейном пространстве L.

Определим сумму функционалов и произведение функционала на число

по формулам

(f + g)(x) = f(x) + g(x); ( f)(x) = f(x):

Задача 283. Докажите, что множество всех линейных функционалов на линейном пространстве L образует линейное пространство. Докажи-

те, что множество всех линейных непрерывных функционалов на нормированном пространстве X образует нормированное пространство.

Пусть X нормированное пространство. Пространство (см. зада-

чу 283) всех линейных непрерывных функционалов, определенных на X, называют сопряженным к X и обозначают символом X .

Теорема 27. Сопряженное X к нормированному пространству X ÿâ- ляется полным.

Пусть fe g базис линейного пространства L. Семейство fg g пространства L0 всех линейных функционалов на L называют двойствен-

ным базису fe g, если

(

1; åñëè = ;

g (e ) =

0; åñëè 6= j:

55

Задача 284. Покажите, что семейство fg g, двойственное базису, является базисом в L0.

Задача 285. Покажите, что пространство, сопряженное к Rn, также имеет размерность n.

Задача 286. Покажите, что все линейные функционалы, определенные на конечномерном пространстве, непрерывны.

Задача 287. Докажите, что если линейное нормированное пространство X бесконечномерно, то и пространство X бесконечномерно.

Различные нормы на пространстве X порождают (см. задачу 283) различные нормы на X .

ветствуют друг другу:

R

n è

R

n

ñîîò-

Задача 288. Докажите, что следующие пары норм на

n

k

k

1

kj

k

k

Xk

kj

1)

x

=

sup

x

;

f

=

f

;

=1

n

2) k

k =

Xk

kj

k

k =

1

n j kj;

x

x

;

f

sup

f

=1

n

1=p

n

1=q

1

1

3) kxk =

k=1 jxkjp

;

kfk =

k=1 jfkjq

= 1; 1 < p < 1;

;

p

+ q

X

X

ãäå fk координаты функционала f в базисе, двойственном канониче- скому.

Теорема 28. Пусть H гильбертово пространство. Для всякого непрерывного линейного функционала f на H существует единственный вектор a 2 H такой, что

f(x) = (x; a);

x 2 H;

при этом kfk = kak. Обратно, если a 2 H, то формула f(x) = (x; a) определяет непрерывный линейный функционал f такой, что kfk = kak. Соответствие f 7!a является изоморфизмом между пространствами H è H.

Задача 289. Пусть H гильбертово пространство, fn 2 H è äëÿ ëþ- бого x 2 H существует limn!1 fn(x) = f(x). Докажите, что f 2 H .

Задача 294.

Задача 293.

56

Теорема 29 (теорема Хана Банаха). Пусть X0 подпространство нормированного пространства X, и f0 : X0 ! R линейный ограни- ченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал f : X ! R такой, что f совпадает с f на X0 è kfk = kf0k.

Задача 290. Пусть X линейное нормированное пространство, x; y
X, x = y. Докажите, что существует такой функционал f		X ,	÷òî
	2			2
6				6=
f(x)
6= f(y).

Задача 291. Пусть X линейное нормированное пространство, x 2 X. Докажите, что

kxk = sup jf(x)j:

f2X ; kfk=1

Задача 292. Пусть X линейное нормированное пространство, x0 2 X и для любого f 2 X выполняется равенство f(x0) = 0. Докажите, что

x0 = 0.

Пусть X линейное нормированное пространство, xn 2 X, n 2 N, фиксированная система векторов, M ее линейное замыкание, а x 2 X произвольный вектор. Докажите, что x 2 M тогда и только тогда, когда для любого f 2 X èç f(xn) = 0, n 2 N, следует f(x) = 0.

Пусть X линейное нормированное пространство, X1 è X2его замкнутые подпространства, причем X = X1 X2. Докажите, что всякий линейный ограниченный функционал h, определенный на всем

X, однозначно представим в виде h(x; y) = f(x) + g(y), где x 2 X1, y 2 X2, f 2 X1 , g 2 X2 . Таким образом, (X1 X2) изоморфно X1 X2 .

3.4.Линейные операторы

Пусть L и M линейные пространства. Всякое отображение A: L ! M

называют оператором.3) Оператор называют линейным, если он удовлетворяет условиям:4)

3)Термин оператор является синонимом слова функция . Поскольку основными примерами линейных пространств являются пространства функций, используется другое слово, чтобы избежать словосочетаний типа функция от функции .

4)По традиции значение оператора A на векторе x 2 X стараются обозначать символом Ax, а не A(x). Это связано с тем, что основными примерами пространства X являются пространства

функций, имеющие собственный аргумент. В результате возникают формулы, в которых слишком много скобок.

57

1)A(x + y) = Ax + Ay äëÿ âñåõ x; y 2 L;

2)A( x) = Ax для любого числа .

Задача 295. Вычислите значение оператора A: C[0; 1] ! C[0; 1] на указанной функции x0:

1)Ax (t) = R01 x(s) ds, a) x0(t) = sin t; b) x0(t) = 1;

2)Ax (t) = x(t=2), a) x0(t) = t2; b) x0(t) = cos t; c) x0(t) = jt 1=2j.

Задача 296. Какие из следующих отображений пространства R3 â ñåáÿ

являются линейными:

1) Ax = (x21; x1 + x2; x23); 2) Ax = (0; 0; sin x1);

3) Ax = (2x1 x2; x1 + x2; x1); 4) Ax = (x2; x3; x1)?

Задача 297. Напомним, что символом (x; y) обозначают скалярное про- изведение векторов x; y 2 l2. Являются ли линейными следующие отображения:

1) Ax = x + a;

2) Ax = (a; x)a;

3) Ax = (a; x)x.

Задача 298. Какие из следующих отображений пространства C[0; 1] в

себя являются линейными:

4) Ax (t) = sin x(t);

3)

Ax (t) = sin t x(t);

1)

Ax (t) = x2(t); 2) Ax (t) = x(t2);

5)

( ) =

R

0

( )

( ) =

0

1

ts

R

t

x(s)

Ax

t

e

x s ds;

6)

Ax

t

e

ds?

Задача 299. Пусть A: L ! M линейный оператор и система векторов x1, x2, . . . , xn 2 L линейно зависима. Докажите, что тогда система Ax1, Ax2, . . . , Axn также линейно зависима.

Задача 300. Пусть A: L ! M линейный оператор и система векторов x1, x2, . . . , xn 2 L линейно независима. Верно ли, что система Ax1, Ax2,

. . . , Axn линейно независима? А верно ли обратное утверждение?

Задача 301. Пусть A: L ! M линейный оператор. Докажите, что оператор A переводит выпуклые подмножества пространства L в выпуклые подмножества пространства M.

Задача 302. Пусть A: L ! M линейный оператор, B M выпуклое множество. Является ли прообраз fx 2 L: Ax 2 Bg выпуклым?

Множество всех значений линейного оператора A обозначают символом Im A и называют образом оператора A. Ядром линейного оператора A называют множество, обозначаемое символом Ker A, и состоящее из всех векторов x 2 L, для которых Ax = 0.