FA

58

Задача 303. Если A линейный оператор, то

1)Ker A и Im A линейные подпространства;

2)A взаимно однозначен (т.е. из x1 6= x2 следует Ax1 6= Ax2) тогда и только тогда, когда Ker A = f0g.

Задача 304. Найдите образ Im A и ядро Ker A оператора A: C[0; 1] ! C[0; 1]. Принадлежит ли x0 образу Im A?

1)

0t x(s) ds, a) x0(t) = 1+t; b) x0(t) = t; c) x0(t) = p

.

Ax (t) =

t

2)

Ax

(t) = R

01 x(s) ds, a) x0(t) = 2; b) x0(t) = t.

3)

Ax)(t) = t

, a)

x

p

; b)

x

p

.

x(t)

(t) = t

(t) = t t

R

0

0

Задача 305.

В пространстве C[0; 1] рассмотрим оператор

Ax (t) = Z0

1 e jt sjx(s) ds:

Покажите, что Ker A = f0g, Im A = fy : y 2 C2[0; 1]; y(0) = y0(0); y(1) = = y0(1)g.

Задача 306. Если линейный оператор, переводящий пространство L в себя, взаимно однозначен, то обязан ли его образ совпадать с L?

Пусть линейный оператор A действует из Rn â Rm. Пусть e1, e2, . . . , en è f1, f2, . . . , fm базисы этих пространств. Пусть x 2 Rn è

		n
	Xk
	x =	xkek:
	=1
Тогда в силу линейности оператора A
		n
	Xk
	Ax =	xkAek:
	=1
Ïðè ýòîì		m
	Aek =	Xi
		aikfi:
		=1
Поэтому	n	m
	Xk	X
	Ax =	aikxkfi:

=1 i=1

Таким образом, оператор A определяется матрицей элементов faikg. Задача 307. Пусть дан линейный оператор A: Rn ! Rm. Докажите, что

образ этого оператора представляет собой подпространство пространства Rm, размерность которого равна рангу матрицы faikg.

Задача 309.

59

3.5.Непрерывные линейные операторы

Пусть X и Y нормированные пространства. Оператор A: X ! Y

называют непрерывным в точке x0 2 X, åñëè

8" > 0 > 0 8(x: kx x0k < ) kAx Ax0k < ":

Оператор A: X ! Y называют непрерывным, если он непрерывен во всех точках.

Теорема 30. Если линейный оператор непрерывен в какой-либо одной точке x 2 X, то он непрерывен всюду (более того, он равномерно непре-

рывен).

Задача 308. Покажите, что всякий линейный оператор, определенный на конечномерном пространстве, непрерывен. Ср. с задачей 286.

Докажите, что линейный непрерывный оператор, переводящий X в Y , останется непрерывным, если нормы в X и Y заменить

на эквивалентные.

Задача 310. Пусть H1 замкнутое подпространство гильбертова пространства H. Напомним (теорема 24), что любой вектор x 2 H можно представить в виде x = h + h0 (h 2 H1, h0 2 H1?). Положим P x = h. Оператор P называют оператором ортогонального проектирования H

íà H1. Докажите линейность и непрерывность оператора P .

Задача 311. Определим в пространстве C[a; b] оператор K формулой

Z b

Kx (t) = k(t; s)x(s) ds;

a

где k некоторая заданная непрерывная функция двух переменных. Является ли этот оператор линейным и непрерывным?

Задача 312. Покажите, что ядро Ker A линейного непрерывного оператора A замкнуто. Всегда ли замкнут образ Im A?

Линейный оператор A: X ! Y называют ограниченным, если он каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Теорема 31. Линейный оператор A: X ! Y непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

60

Нормой линейного оператора A: X ! Y называют число

kAk = sup kAxk:

kxk 1

Теорема 32. Линейный оператор A: X ! Y ограничен тогда и только тогда, когда его норма конечна.

Задача 313. Докажите, что

kAk = sup kAxk = sup kAxk:

x6=0 kxk kxk=1

Задача 314. Пусть H гильбертово пространство, A: H ! H линейный оператор. Докажите, что

k	A	k	=	sup	j(Ax; y)j	=	sup	(Ax; y)	:
				x;y2H; x6=0; y6=0 kxk kyk			kxk=1; kyk=1 j	j

Задача 315. Докажите, что для любого x 2 X выполнено неравенство kAxk kAk kxk:

Задача 316. Рассмотрим множество всех чисел C 0, для которых при любом x 2 X выполняется неравенство

kAxk Ckxk:

Докажите, что kAk = inf C.

Задача 317. Пусть A: X ! Y непрерывный линейный оператор. Всегда ли существует x 2 X, x 6= 0, такой, что kAxk = kAk kxk?

Задача 318. Пусть X конечномерное пространство. Докажите, что для всякого линейного оператора A: X ! Y существует x 2 X, x 6= 0, такой, что kAxk = kAk kxk.

Задача 319. Пусть X и Y нормированные пространства и отображение T : X ! Y обладает свойствами:

8x1; x2 2 X	T (x1 + x2) = T x1 + T x2;
9 C < 1 8x 2 X	kT xk Ckxk:
Докажите, что тогда
8 2 R 8x 2 X	T ( x) = T x:

непрерывно.

Задача 322. Докажите ограниченность операторов, осуществляющих: а) изометрический изоморфизм линейных нормированных пространств X и Y ; б) вложение подпространства X в линейное нормированное про-

странство Y .

Задача 323.

Задача 321.

Задача 320.

61

Докажите, что линейный непрерывный оператор, переводящий нормированное пространство X в нормированное пространство

Y , останется ограниченным, если нормы в X и Y заменить на эквивалентные. Ср. с задачей 309.

Докажите, что отображение : B(X; Y ) ! R, (A) = kAk

Вычислите норму линейного оператора A: C[0; 1] ! C[0; 1]:

3) Ax (t) =	0t	t2 + s2		x(s) ds;				4) Ax (t) =		01 ts t2s2	x(s) ds.
1) Ax (t) = t2x(1);				2) Ax (t) = (t + 1)x(t);						R
	R				C[0; 1]
Задача 324. Рассмотрим в							оператор усреднения
								t+h
		Ahx (t) =				1		Zt h	x(s) ds
						2h

(h заданное положительное число; при s 2= [0; 1] полагаем x(s) = 0).

Вычислите kAhk.
ющего из CL2[0; 1] â CL2	[0; 1], равна 1.
Задача 325. Покажите, что норма оператора		Ax (t) = t		x(t), действу-

Задача 326. Пусть A: X ! Y линейный ограниченный оператор. Всегда ли равенства: 1) kxk1 = kAxk; 2) kxk2 = kxk + kAxk задают в X норму?

Задача 327. Пусть A: X ! Y такой линейный оператор, что подпространство Im A Y конечномерно. Следует ли отсюда, что A ограни- ченный оператор?

Задача 328. Пусть A: X ! Y линейный оператор, причем Im A конечномерно, а ядро Ker A замкнуто в X. Докажите, что A ограни- ченный оператор.

Задача 329. Пусть A: X ! X линейный ограниченный оператор. Верно ли, что X = Im A Ker A?

Задача 335.

Задача 331.

Теорема 33.

62

Задача 330. Пусть fen : n 2 Ng ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H, n 2 R, n 2 N. Докажите, что если последовательность n ограничена, то равенства Aen = nen однознач- но определяют линейный ограниченный оператор A: H ! H, причем

kAk = supn j nj. При каких условиях на последовательность n множе- ство Im A является замкнутым подпространством l2?

3.6.Пространство линейных операторов

Пусть A; B : X ! Y линейные операторы. Определим сумму операторов и произведение оператора на число по формулам

(A + B)x = Ax + Bx; ( A)x = (Ax):

Относительно этих операций множество всех линейных (ограниченных) операторов A: X ! Y является линейным простран-

ством.

Пусть X и Y нормированные пространства. Линейное пространство всех линейных ограниченных операторов A: X ! Y будем обозначать символом B(X; Y ).

Проверьте, что норма линейного оператора удовлетворяет всем аксиомам нормы. Тем самым B(X; Y ) является нормированным

пространством.

Задача 332. Докажите, что если X нормированное пространство, а Y полное нормированное пространство, то B(X; Y ) полное.

Пусть A: X ! Y и B : Y ! Z операторы. Произведением BA операторов A и B называют оператор C : X ! Z, ставящий в соответствие вектору x 2 X вектор z = B(Ax) 2 Z.

Задача 333. Докажите, что оператор C = BA линеен, если A и B линейны, и непрерывен, если A и B непрерывны.

Задача 334. Докажите, что kBAk kBk kAk.

Приведите пример линейного нормированного пространства X и таких операторов A; B 2 B(X; X), что kABk < kAk kBk.

Задача 341.

63

Задача 336. В пространстве многочленов рассмотрим операторы

	d
(A1x)(t) =	dtx(t); (A2x)(t) = t x(t):

Найдите Im Ak, Ker Ak, k = 1; 2. Имеет ли место равенство A1A2 = A2A1?

Найдите	.оператор A1A2 A2A1 и вычислите его значение на векторе
x0(t) = t2
Задача 337. В пространстве C[0; 1] рассмотрим операторы
(A1x)(t) = b(t)x(t);		(Aix)(t) = Z0	1 ki(t; s)x(s) ds; i = 2; 3;

ãäå b: [0; 1] ! R, ki : [0; 1] [0; 1] ! R непрерывные функции.

(a)Найдите A1A2, A2A1, A2A3, A1 + A2, A2 + A3.

(b)Найдите значения операторов A2A3, A1A2 на векторах x0(t) = 1, x1(t) = t2 ïðè b(t) = t, ki(t; s) = t si 1, i = 2; 3.

Задача 338. Найдите n-ую степень оператора (V x)(t) = R0t x(s) ds, действующего в пространстве C[0; 1].

Задача 339. В пространстве l2 рассмотрим операторы:

1)A1x = (0; x1; x2; : : : );

2)A2x = (x2; x3; x4; : : : );

3)A3x = (x1; 0; x3; 0; : : : ; x2k 1; 0; : : : );

4)A4x = (0; x2; 0; x4; : : : ; 0; x2k; : : : ).

Вычислите нормы этих операторов. Найдите A1A2, A2A1, A3A4 и вычис- лите их нормы.

Задача 340. Пусть операторы Ai : l2 ! l2, i = 1; 2, определены равен-

ствами A1x = (0; x1; x2; : : : ), A2x = (x1; x2=2; x3=3; : : : ). Найдите A =

A2 A1 è Ak. Вычислите kAkk.

Приведите пример линейного нормированного пространства X и таких операторов A; B 2 B(X; X), что AB 6= BA.

Задача 342. Пусть A; B 2 B(X; Y ) ненулевые операторы такие, что Im A \ Im B = f0g. Докажите, что A и B линейно независимы.

Задача 343. Пусть A; B 2 B(X; Y ) и Im A = Im B, Ker A = Ker B. Следует ли отсюда, что A = B (A = B)?

Задача 347.

= Km. Äîêà-

Задача 346.

64

Задача 344. Пусть X и Y линейные нормированные пространства, U X открытое множество, V X замкнутое множество, а A 2 B(X; Y ). Являются ли образы этих множеств соответственно открытым и замкнутым множеством в Y ?

Задача 345. Пусть L подпространство линейного нормированного пространства X и M = fA 2 B(X; Y ): Ker A = Lg. Является ли M подпространством в пространстве B(X; Y )?

Пусть A 2 B(X; X), Kn = Ker An, n = 0; 1; 2; : : : . а) Докажите, что K0 K1 : : : Kn Kn+1 : : : .

б) Пусть для некоторого натурального m впервые Km+1 æèòå, ÷òî Km+p = Km для любого натурального p.

Пусть A 2 B(X; X) фиксирован. Образует ли в пространстве B(X; X) подпространство множество всех операторов B 2 B(X; X), удовлетворяющих условию: а) AB = 0; б) AB = BA?

Задача 348. Пусть X и Y линейные нормированные пространства, x; xn 2 X è xn ! x ïðè n ! 1; An; A 2 B(X; Y ) è An ! A при n ! 1. Докажите, что Anxn ! Ax ïðè n ! 1.

Задача 349. Пусть X, Y и Z линейные нормированные пространства,

An; A 2 B(X; Y ), Bn; B 2 B(Y; Z) è An ! A, Bn ! B при n ! 1. Докажите, что BnAn ! BA ïðè n ! 1.

Задача 350. Пусть X банахово пространство, A 2 B(X; X). Положим

1

eA = I + X k1!Ak;

k=1

где I тождественный оператор. Докажите, что этот ряд сходится и keAk ekAk. Найдите eI.

Задача 351. Пусть L1 è L2 замкнутые подпространства гильбертова пространства H, а P1 è P2 операторы ортогонального проектирования соответственно на L1 è L2. Докажите, что kP1 P2k 1.

Задача 352. Пусть P оператор ортогонального проектирования на замкнутое подпространство L гильбертова пространства H. Что можно утверждать об операторе A 2 B(H; H), если для него выполнено равенство: а) AP = A; б) P A = A; в) AP = P A?

Задача 357.

Задача 356.

Теорема 35.

65

3.7.Обратимые линейные операторы

Пусть A: X ! Y линейный оператор. Оператор A называют обратимым, если для любого y 2 Y уравнение Ax = y имеет единственное решение x. Тем самым каждому вектору y 2 Y ставится в соответствие единственный вектор x 2 X. Оператор, осуществляющий это соответствие, называют обратным к A и обозначают символом A 1. Линейный оператор A 2 B(X; Y ) называют непрерывно обратимым, если A 1 ñó- ществует и ограничен, т.е. A 1 2 B(Y; X).

Задача 353. Докажите, что оператор A 1, обратный линейному опера- тору A, также линеен.

Задача 354. Докажите, что линейный оператор A: X ! Y обратим тогда и только тогда, когда Ker A = f0g и Im A = Y .

Теорема 34 (теорема Банаха). Пусть X и Y банаховы простран-

ства, а A линейный ограниченный оператор, имеющий обратный. Тогда обратный оператор A 1 также ограничен.

Пусть X банахово пространство, I : X ! X тож-

дественный оператор (т.е. Ix = x), а A: X ! X такой линейный оператор, что kAk < 1. Тогда оператор (I A) 1 существует, ограни-

чен и представим в виде

1

X

(I A) 1 = I + Ak:

k=1

Задача 355. Пусть A линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y . Докажите, что существует такая постоянная > 0, что если B 2 B(X; Y ) и kA Bk < , то B отображает X на все Y .

Пусть A: L ! M линейный оператор, имеющий обрат-

ный. Докажите, что системы векторов x1, x2, . . . , xn è Ax1, Ax2, . . . , Axn, ãäå x1, x2, . . . , xn 2 L, одновременно или линейно независимы или линейно зависимы. Ср. с задачами 299 и 300.

Пусть L линейное пространство, A: L ! L линейный

оператор, удовлетворяющий при некоторых ck 2 R, k = 1; 2; : : : ; n, соотношению I + c1A + c2A2 + + cnAn = 0. Докажите, что A 1 существует.

Задача 358. Пусть L линейное пространство, A; B : L ! L ли- нейные операторы, и пусть существуют операторы AB 1 è BA 1. Следует ли отсюда, что существуют операторы A 1 è B 1?

Задача 359.

A и обознача- X . Обозначив

66

3.8.Сопряженные операторы

Пусть X и Y нормированные пространства и A 2 B(X; Y ), а g линейный ограниченный функционал на Y , т.е. g 2 Y . Зададим на

функционал f формулой

f(x) = g(Ax):

X

Очевидно, этот функционал линеен и ограничен, т.е. f 2 X . Опера- тор, ставящий в соответствие всякому функционалу g 2 Y функционал f = g A 2 X , называют сопряженным к оператору

ют символом A . Таким образом, A действует из Y â

значение функционала f на векторе x символом (x; f), получим, что

(Ax; g) = (x; f), èëè

(Ax; g) = (x; A g):

Докажите, что для любых линейных ограниченных операторов A и B справедливы свойства:

1)оператор A линеен;

2)A + B = A + B ;

3)AB = B A .

Задача 360. Докажите, что I = I (I тождественный оператор).

Задача 361. Найдите матрицу оператора A при условии, что A принадлежит B(Rn; Rm) и задается матрицей faijg.

Задача 362. Докажите, что если A 2 B(X; Y ) , то kA k = kAk.

Задача 363. Докажите, что отображение : B(X; Y ) ! B(Y ; X ), заданное правилом (A) = A , непрерывно.

Задача 364. Пусть A 2 B(X; Y ) непрерывно обратим. Докажите, что A непрерывно обратим и A 1 = A 1 .

Задача 365. Найдите оператор, сопряженный к оператору A: l2 ! l2, заданному правилом:

1)Ax = (x1; x2; : : : ; xn; 0; 0; : : : );

2)Ax = ( 1x1; 2x2; : : : ), ãäå n 2 R, j nj 1, n 2 N;

3)Ax = (0; x1; x2; : : : );

4)Ax = (x2; x3; : : : ).

A является

Задача 366.

67

Пусть H гильбертово пространство, A; B : H ! H линейные операторы такие, что для любых x; y 2 H выполняется ра-

венство (Ax; y) = (x; By). Докажите, что A ограниченный оператор и

B = A .

Если H гильбертово пространство, то в силу теоремы 28 пространство H можно отождествить с H. В этом случае для A 2 B(H; H) можно считать, что A действует из H в себя. Ограниченный линейный

оператор A, действующий в гильбертовом пространстве, называют самосопряженным, если A = A , ò.å. åñëè äëÿ âñåõ x è y

(Ax; y) = (x; Ay):

Задача 367. Пусть H гильбертово пространство и A 2 B(H; H). До-

кажите, что	A		= A.
				H			a; b 2 H
Задача 368. Пусть					гильбертово пространство,			фикси-
рованные векторы. Для x						2. При каких условиях оператор
						H положим Ax = (x; a)b. Докажите, что

A 2 B(H; H) и найдите A самосопряженным?

Подпространство L1 линейного пространства L называют инвариантным относительно оператора A, если из x 2 L1 вытекает Ax 2 L1.

Задача 369. Докажите, что если подпространство H1 гильбертова про- странства H инвариантно относительно A 2 B(H; H), то его ортогональное дополнение H1? инвариантно относительно A .

Задача 370. Пусть H гильбертово пространство, A 2 B(H; H). Докажите, что:

1)

Ker AA = Ker A ;

2)

Ker A A = Ker A;

3) Im AA = Im A;

4)

kAA k = kAk2;

5)

Im A

? = Ker A ;

6)

Im A

? = Ker A;

7)

Ker

A

?

= Im

;

? = Im A.

A

8)

Ker A