RGTA
.pdf§2. Полилинейные функции (функционалы) |
11 |
§2 Полилинейные функции (функционалы)
Определение и простейшие свойства полилинейных функционалов.
1.2.1. Определение. Пусть x1, x2, ..., xp и y1, y2, ..., yq - p элементов (векторов) пространства X и q элементов (ковекторов) пространства Y . Обозначим через A(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq) функционал со значениями во множестве вещественных чисел R.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q раз |
|
||
|
|
× |
p×раз |
× |
|
× z |
|
|
|
}| |
|
{ |
||||
A : X |
X |
|
× |
|
|
|||||||||||
|
X ... |
|
|
Y |
|
Y × ... × Y → R |
||||||||||
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
Функционал A называется полилинейным, если он линеен по каждому своему аргументу. Более подробно это значит, что выполняются равенства (2.1) и (2.2). Пусть 1 ≤ i ≤ p - произвольное целое число, z и z - два вектора (элементы пространства X), а λ и λ два произвольных вещественных числа.
A(x , x , ..., x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
, ..., x |
|
|
, y1, y2, ..., yq) = |
|
|||||
i−1 |
, λz + λz, |
i+1 |
p |
|
|||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
λA(x , x , ..., x |
, z, , x |
|
, ..., x |
, y1, y2, ..., yq) |
(2.1) |
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
i−1 |
|
|
|
|
|
i+1 |
|
|
p |
|
, y1, y2, ..., yq). |
|
||
+λA(x , x |
, ..., x |
|
, |
|
|
|
|
, ..., x |
|
|
|||||||||
|
z, , x |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
|
i−1 |
|
|
|
|
i+1 |
|
p |
|
|
|
Аналогично для второй группы аргументов. Пусть 1 ≤ j ≤ q - произвольное целое число, w и w ковекторы, а µ и µ произвольные вещественные числа. Тогда
A(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yj−1, µw + |
|
w, yj+1, ..., yq) = |
|
|
µ |
|
|||
µA(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yj−1, w, yj+1, ..., yq)+ |
(2.2) |
|||
µA(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yj−1, |
w, yj+1, ..., yq). |
|
Про функционал A(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq) говорят, что он имеет строение (p, q) и ранг p + q.
Пример 1. Проверим, является ли функция f(x, y) = 3x1y2 + 2 билинейным функционалом.
Решение: Проверим аддитивность по первому и второму аргументу: f(x+z, y) = 3(x1+z1)y2+2, f(x, y)+f(z, y) = (3x1y2+2)+(3z1y2+2) 6=
6= f(x + z, y),
Этого уже достаточно чтобы сказать, что функция не является билинейным функционалом. Не выполняется и свойство однородности:
12 |
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
f(αx, y) = 3αx1y2 + 2, |
|
αf(x, y) = α(3x1y2 + 2) 6= f(αx, y). |
|
1.2.2. Замечание: Множество полилинейных функционалов одного строения (p, q) образует линейное пространство, если сложение и умножение на число ввести следующим образом. Пусть A1 и A2 - два полилинейных функционала одного и того же строения (p, q), а λ1 и λ2 - два вещественных числа, функционал λ1A1 + λ2A2 определяется формулой
(λ1A1 + λ2A2)(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq) = |
|
λ1A1(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq)+ |
(2.3) |
λ2A2(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq). |
|
Замечание. Во множестве всех полилинейных функционалов можно ввести умножение. Пусть A1- полилинейный функционал строения (p1, q1), а A2 – строения (p2, q2). Тогда полилинейный функционал A1 · A2 определяется формулой
(A1 · A2)(x1, x2, ..., xp1 +p2 , y1, y2, ..., yq1+q2 ) =
A1(x1, x2, ..., xp1 , y1, y2, ..., yq1 ) · A2(xp1 +1, ..., xp1 +p2 , yq1+1, ..., yq1 +q2 )).
(2.4)
1.2.3. Пусть A - полилинейный функционал строения (p, q), а {e1, e2, ..., en}
– произвольный базис в пространстве X, {e1, e2, ..., en} – базис в пространстве Y = X , сопряженный данному. Если x1, x2, ..., xp - век-
торы, xk = xikk eik , а y1, y2, ..., yq - ковекторы yr = yjrr ejr , то в силу линейности функционала A имеем
|
|
|
A(x1, x2, ..., xp, y1, y2, ..., yq) = |
|
|
|||||||||||||
A(x |
i1 e |
i1 |
, ..., x |
ip e |
ip |
, y |
|
1ej1 , ..., yq |
ejq ) = |
(2.5) |
||||||||
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
j1 |
|
jq |
|
|
|
|||||
A(e |
i1 |
, ..., e |
ip |
, ej1 , ..., ejq )x |
i1 |
...x |
ip y |
j1 |
1...yq |
). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p |
|
jq |
|
|
||||
1.2.4. Определение. Числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
j ...j |
|
|
|
|
|
|
|
, ej1 , ..., ejq ) |
|
|
|||||
|
Ai11,...,iqp = A(ei1 , ..., eip |
|
(2.6) |
описанные в п.1.2.3. называются координатами, или компонентами полилинейного функционала A относительно базиса {e1, e2, ..., en}.
§2. Полилинейные функции (функционалы) |
13 |
Замечание. Значение функционала A на векторах x1, ..., xp и на ковекторах y1, ..., yq выражается формулой
A(x1, x2, ..., xp, y1 |
, y2 |
j1 ...jq |
q |
|
, ..., yq) = Ai1 ,...,ip x1i1 |
, ..., xpip yj11 , ..., yjq |
(2.7) |
Напомню, что суммирование здесь идет по всем индексам i1, ..., ip, j1...jq от 1 до n.
Наоборот, если в некоторой системе координат, определенной базисом
{e1, e2, ..., en}, задана система чисел Aji11,......j,iqp , i1, ..., ip, j1...jq = 1, .., n, то формула (2.7) определяет функционал A, полилинейность которо-
го следует из (2.7) и из известных свойств вещественных чисел. Таким образом, мы получили, что при фиксированном базисе в X полилинейный функционал однозначно определяется своими координатами.
Пример 2. Рассмотрим произвольный полилинейный функционал A строения (p, 0). Возьмем любые линейные функционалы e1, ..., en в числе n при единственном условии их линейной независимости. Численное значение A(x1, ..., xk) функционала A может быть представлено в виде X
A(x1, ..., xk) = Aj1 ...jk ej1 (x1)... ejk (xk) ( )
где Aj1 ...jk - коэффициенты которые определяются данным функционалом A, а также выбором линейно независимых функционалов e1, ..., en.
Замечание. Число координат полилинейного функционала A ранга k равно nk. В частности, если k = 1, то A имеет n компонент и, значит, может быть интерпретирован либо как вектор (при p = 0, q = 1), либо как ковектор (при p = 1, q = 0). При k = 2 число координат равно n2 и в этом случае полилинейной функции A можно сопоставить квадратную матрицу n × n.
Пример 3. Скалярное произведение.
Пусть в линейном векторном пространстве X задано скалярное произведение (x1, x2). Из алгебраических свойств скалярного произведения следует, что мы имеем полилинейную функцию g(x, y) строения (2.0) и если {e1, e2, ..., en} - базис в X, то координаты g = gik = (ei, ek) образуют матрицу, которая называется матрицей Грама.
14 |
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
1.2.5. Пусть A и B - две полилинейные функции, λ – некоторое вещественное число, а {e1, e2, ..., en} - базис в пространстве X.
Если A и B имеют одно и тоже строение (p, q), то для них определена полилинейная функция (A + B) (см. (2.3)). Обозначим через Aji11,......j,iqp ,
j1 ...jq |
координаты A и B в базисе {e1, e2, ..., en} соответственно. То- |
|||
Bi1 ,...,ip |
||||
гда |
|
|
|
|
|
j ...j |
|
|
, ej1 ...ejq ) = |
|
(A + B)i11,...,iqp |
= (A + B)(ei1 , ..., eip |
||
|
= A(ei1 , ..., eip , ej1 ...ejq ) + B(ei1 , ..., eip , ej1 ...ejq ) = |
|||
|
|
j1 ...jq |
j1 ...jq |
|
|
|
Ai1 ,...,ip + Bi1 ,...,ip |
(2.8) |
|
и, аналогично, |
|
|
|
|
|
|
j1 ...jq |
j1 ...jq |
|
|
(λA)i1 ,...,ip |
= λAi1 ,...,ip |
(2.9) |
Если же A и B - полилинейные функции разного строения – A - строения (p1, q1), a B - (p2, q2), то координаты произведения AB в базисе {e1, e2, ..., en} выражаются через координаты A и B формулой
|
j1 ...jq1+q2 |
= (AB)(ei1 |
, ..., eip1+p2 |
, e |
j1 |
...e |
jq |
+q |
|||||||||
(AB)i1 ,...,ip |
+p |
|
1 |
2 ) = |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A(ei1 |
, ..., eip |
, ej1 ...ejq1 )B(eip |
1 |
+1 , ..., eip |
1 |
+p |
2 |
, ejq1+1 ...ejq1 +q2 ) = |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
j1 |
...jq |
jq |
...jq +q |
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|||
|
|
|
|
A |
1 B |
|
|
1+1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i1 |
,...,ip1 |
ip1+1 |
,...,ip1+p2 |
|
|
|
|
|
Напоминаем, что индексы пробегают значения от 1 до n.
1.2.6. Преобразование координат полилинейных функций при переходе от одного базиса к другому.
Пусть {e1, e2, ..., en} и {e′1, e′2, ..., e′n} - два базиса в пространстве X. Первый базис мы будем называть старым базисом, а второй – новым.
Пусть |
|
|
j |
Cij |
|
- матрица перехода от старого базиса к новому: |
|
|
|
|
ei′ = Ci ej , i = 1, ..., n, |
аBj - матрица перехода от нового базиса к старому:
k
ek = Bj e′ |
, i = 1, ..., n, |
k j |
|
§2. Полилинейные функции (функционалы) |
|
|
|
15 |
||||||||||||||||||
Матрица |
|
|
Bj |
|
, как хорошо известно, является обратной матрицей к |
|
||||||||||||||||
jk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
j |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
матрице |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BkCi |
= δk |
|
|
|
(2.11) |
||||||
|
|
|
Если A - некоторый полилинейный функционал строения (p, q), то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j1 ...jq |
|
|
|
|
|
|
он имеет два набора координат : один Ai1 ,...,ip |
- относительно базиса |
|||||||||||||||||||||
{ |
e |
1 |
, e |
2 |
, ..., e |
n} |
|
|
s1 ...sq |
p |
)′ – относительно базиса |
{ |
1 2 |
n} |
. |
|||||||
|
|
1 |
,...,r |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, и другой (Ar |
|
|
e′ , e′ |
, ..., e′ |
Введем формулы, связывающие новые и старые координаты функционала A. По определению,
(As1 |
...sq )′ = A(e′ , ..., e′ , (es1 )′, ..., (esq )′) = |
|
|||||
r1 |
,...,rp |
r1 |
|
rp |
|
|
|
= A(Ci1 ei , ..., Cip ei |
, Bs1 ej1 |
, ..., Bsq ejq = |
|
||||
|
r1 1 |
rp |
p |
j1 |
|
jq |
|
|
= Aj1 ...jq |
Ci1 Ci2 |
...Cip Bs1 Bs2 |
...Bsq |
(2.12) |
||
|
i1 ,...,ip |
r1 r2 |
|
rp j1 |
j2 |
jq |
|
Формула (2.12) показывает, что координаты полилинейного функционала преобразуются по такому закону: каждый нижний индекс преоб-
разуется также, как преобразуются координаты ковектора с помощью |
|||
|
|
|
j |
матрицы |
Ci , а каждый верхний индекс - как координаты контра- |
||
|
r |
|
Bs . |
вариантного вектора с помощью матрицы |
|||
|
|
функции при переходе от одного |
|
Итак, координаты полилинейной |
|
|
|
|
|
(2.12). Верно и обратное. |
|
базиса к другому изменяются по формуле |
|
Пусть каждому базису {e1, e2, ..., en} сопоставлена система чисел Aji11,......j,iqp , которые связаны между собой формулой (2.12). Тогда мы можем определить полилинейную функцию A формулой
|
|
A(x1, ..., xp, y1, ..., yq) = Aij11,......j,iqp x1i1 , ..., xpip , yj11 , ..., yjqq , |
(2.13) |
|||||||||||||
|
|
ip |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1i1 ), ..., (xp ), (yj11 ), ..., (yjq ) - координаты векторов x1, ..., xp и ковекто- |
||||||||||||||||
ров y |
1 |
, ...,1y |
q |
относительно базиса |
{ |
e |
1 |
, e |
2 |
, ..., e |
n} |
и сопряженого к нему |
||||
|
|
2 |
, ..., e |
n |
}. |
|
|
|
|
|
||||||
базиса {e , e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.7. Формула (2.13) дает алгоритм построения полилинейных функ-
ционалов. Пусть {e1, e2, ..., en} - некоторый базис в X. Возьмем произвольный набор np+q чисел Aji11,......j,iqp , i1, ..., ip, j1...jq = 1, ..., n и определим функцию A(x1, ..., xp, y1, ..., yq) формулой (2.13)
A(x1, ..., xp, y1, ..., yq) = Aji11,......j,iqp xi11 , ..., xipp , yj11 , ..., yjqq ,
16 |
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
||||
|
e′ |
, e′ |
, ..., e′ |
′ |
′ |
Для любого другого же базиса |
числа As1′ |
...sq ′ мы уже |
|||
|
{ 1 |
2 |
n} |
r1 |
,...,rp |
должны вычислять по формуле (2.12). Заметим, что часто используется такое обозначение
(As1 ...sq )′ = As′1 ...s′q r1 ,...,rp r1′ ,...,rp′
Пример 5. Пусть E - евклидово вещественное векторное пространство и × - векторное произведение. Положим
T : X3 × X3 × (X3) → R,
T (u, v, y) = y(u × v) - функция от двух векторных и одного ковекторного аргумента. Покажем, что t - полилинейная функция. Действительно,
T (u1 + u2, v, y) = y((u1 + u2) × v) = y(u1 × v) + y(u2 × v) =
= T (u1, v, y) + T (u2, v, y);
T (λu, v, y) = y((λu) × v) = y(λ(u × v)) = λy(u × v) = λT (u, v, y).
Таким образом, T линейна по первому векторному аргументу. Линейность по второму аргументу доказывается аналогично. Покажем линейность по ковекторному аргументу:
T (u, v, y1+y2) = (y1+y2)(u×v) = y1(u×v)+y2(u×v) = T (u, v, y1)+T (u, v, y2);
T (u, v, λy) = (λy)(u × v) = λy(u × v) = λT (u, v, y).
Итак, T - полилинейный функционал.
Пусть e1, e2, e3 - орторепер и e1 × e2 = e3, e3 × e1 = e2, e2 × e3 = e1. Найдем координаты полилинейного функционала в этом базисе.
T111 = T (e1, e1, e1) = e1(e1 × e1) = 0, T112 = T113 = 0,
T121 = T (e1, e2, e1) = e1(e1 × e2) = e1(e3) = 0,
T123 = T (e1, e2, e3) = e3(e1 × e2) = e3(e3) = 1.
Заметим, что T (u, v, y) = −T (v, u, y). Учитывая формулы для векторного произведения, мы имеем Tijk = 0, если хотя бы два индекса среди i, j, k совпадают и
T123 = −T213 = 1, T312 = −T132 = 1, T231 = −T321 = 1.
§3. Определение тензора. Алгебра тензоров |
17 |
Пример 6. Пусть A - полилинейный функционал строения (2, 0) и в базисе e1, e2 имеет координаты A11 = 1, A12 = 2, A21 = −1, A22 = 0. Найдем его координаты в базисе e1′ = 2e1 + e2, e2′ = e1 + e2.
Способ 1. Используя формулу Ai′ j′ = Pii′ Pjj′ Aij , получим:
A1′1′ = P11′ P11′ A11 + P11′ P12′ A12 + P12′ P11′ A21 + P12′ P12′ A22 =
= 2 · 2 · 1 + 2 · 1 · 2 + 1 · 2 · (−1) + 1 · 1 · 0 = 6;
A1′2′ = P11′ P21′ A11 + P11′ P22′ A12 + P12′ P21′ A21 + P12′ P22′ A22 =
= 2 · 1 · 1 + 2 · 1 · 2 + 2 · 1 · (−1) + 1 · 1 · 0 = 5;
A2′1′ = P21′ P11′ A11 + P21′ P12′ A12 + P22′ P11′ A21 + P22′ P12′ A22 =
= 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 2 · (−1) = 2;
A2′2′ = P21′ P21′ A11 + P21′ P22′ A12 + P22′ P21′ A21 + P22′ P22′ A22 =
= 1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · (−1) + 1 · 1 · 0 = 2;
§3 Определение тензора. Алгебра тензоров
1.3.1. Определение: Если каждой системе координат (каждому ба-
зису) в n-мерном линейном пространстве X отнесена система np+q чисел Aji11,......j,iqp , i1, ..., ip, j1...jq = 1, ..., n, причем при переходе от одной системы координат к другой (от одного базиса к другому) эти чис-
ла преобразуются по формуле (2.12), то мы говорим, что нам задан тензор. Этот тензор называется p раз ковариантным и q раз контравариантным. Число p + q называется рангом (валентностью) тензора.
Сами числа Aj1 ...jq , i1, ..., ip, j1...jq = 1, ..., n, называются координа-
i1 ,..., ip
тами (компонентами)тензора.
Именно такое определение тензора дается в большинстве учебников по физике и механике. Как видно из определения тензора и содержания предыдущего параграфа, каждому тензору однозначно соответствует полилинейная функция. Таким образом, иначе определение
18 |
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
тензора можно дать так: |
|
1.3.2. Определение: Тензором, p раз ковариантным и q раз контравариантным (число p + q называется рангом (валентностью) тензора) называется полилинейное отображение прямого произведения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q раз |
|
||
|
|
|
× |
|
p×раз × |
|
|
× z |
|
|
|
}| |
|
{ |
||||
|
A : X |
X |
X |
|
× |
|
|
|||||||||||
|
|
... |
|
|
Y |
|
Y × ... × Y → R |
|||||||||||
j1 ...jq |
| |
|
|
|
|
{z |
|
j1 |
|
|
}jq |
) называются координатами (ком- |
||||||
Числа Ai1 ,...,ip |
= A(ei1 , ..., eip , e |
|
|
...e |
понентами) тензора.
Примеры.
1.Если каждой системе координат отнести одно и тоже число a, то его формально можно также считать тензором – тензором нулевого ранга. Тензор нулевого ранга называется скаляром.
2.Если каждому базису отнести n чисел xi, i = 1, ..., n, которые при
переходе от одного базиса к другому базису преобразуются по формулам: (xi)′ = xi′ = Bji xj , то тем самым задается контравариантный тензор ранга 1, который называется контравариантным вектором.
3.Числа ai, i = 1, ..., n, определяющие линейную функцию, преобразуются по формулам: (ai)′ = ai′ = Cij aj , и образуют ковариантный
тензор ранга 1, который называется ковариантным вектором.
4.Матрица линейного оператора Aij образует тензор один раз ковариантный и один раз контравариантный, что доказано в предыдущем параграфе (см. § 2.)
5.Если в пространстве X задано скалярное произведение, то есть если X есть евклидово пространство En, то каждому базису
{e1, e2, ..., en} можно сопоставить набор из n2 чисел gij следующим образом: gij = (ei, ej). То, что этот набор чисел действительно образует тензор, следует из того факта,что скалярное произведение есть били-
нейная функция, а gij - суть координаты этой билинейной функции. Впрочем, это легко сделать и непосредственно. В самом деле, если {e′1, e′2, ..., e′n} есть другой базис в En, то
(gij )′ = gi′j′ = (e′i, e′j ) = (Cirer, Cjses) = grsCirCjs
и, следовательно, мы доказали, что gij есть дважды ковариантный тензор. Этот тензор называется метрическим тензором.
§3. Определение тензора. Алгебра тензоров |
19 |
6.Единичный тензор. Сопоставим каждой системе координат один
итот же набор n2 чисел.
δi |
= |
|
0, |
при i 6= j |
j |
|
1, |
при i = j. |
Докажем, что этот набор чисел образует тензор, один раз ковариантный и один раз контравариантный. В самом деле,
(δji )′ = δji′′ = δrsCjrBsi = δji
Пример. Определить координаты линейного функционала
ϕ(x) = 3x1 + 2x3, (n = 3)
Решение: По определению ϕi = ϕ(ei), значит, ϕ1 = ϕ(e1) = 3 · 1 + 2 · 0 = 3, ϕ2 = ϕ(e2) = 3 · 0 + 2 · 0 = 0, ϕ3 = ϕ(e3) = 3 · 0 + 2 · 1 = 2, Ответ:
ϕ = (3, 0, 2).
1.4.2. Операции над тензорами
а). Сложение тензоров.
|
|
|
j1 ...jq |
j1 ...jq |
|
Если нам даны два тензора строения (p, q) A : Ai1 ,...,ip |
и Bi1 ,...,ip |
то |
|||
j1 ...jq |
j1 ...jq |
j1 ...jq |
|
|
|
тензор C : Ci1 ,...,ip |
= Ai1 ,...,ip |
+ Bi1 ,...,ip |
называют суммой тензоров A и |
B. Корректность этого определения можно проверить непосредственно, исходя из определения тензора, или сослаться на связь между тензорами и полилинейными функциями.
б). Умножение на число.
j1 ...jq |
|
|
|
|
Пусть A : Ai1 ,...,ip – тензор, а λ – вещественное число. Тензор (λA) |
||||
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
j1 ...jq |
j1 ...jq |
|
|
(λA)i1 ,...,ip |
= λAi1 |
,...,ip |
|
в). Умножение тензоров. |
|
|
|
|
Пусть A1 = (A1)j1 ...jq1 |
и A2 = (A2)j1 ...jq2 |
два тензора. Тогда тензор |
||
i1 ,...,ip1 |
|
i1 ,...,ip2 |
||
(A1, A2), определенный формулой |
|
|
||
(A1A2)j1 ...jq1+q2 |
= (A1)j1 ...jq1 |
(A2)jq1 +1...jq1 +q2 |
||
i1 ,...,ip1+p2 |
i1 ,...,ip1 |
ip1 +1,...,ip1+p2 |
называют произведением тензоров A1 и A2. Корректность этого определения можно проверить непосредственно или снова сослаться на связь между тензорами и полилинейными функциями.
20 |
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
В дальнейшем умножение тензоров A1 и A2 будем обозначать следующим образом:
A1 A2
Пример 1: Найти сумму тензоров в V 2, компоненты которых заданы матрицами:
kAij k = |
3 |
4 |
, kBij k = |
−3 1 . |
|
|
1 |
0 |
|
0 |
5 |
Решение: По определению, Cij = Aij + Bij - координаты суммы двух тензоров равны сумме соответствующих координат этих тензоров. Т.е., например, C12 = A12 + B12 = 0 + 5 = 5. Получаем:
kCij k = |
1 |
5 |
|
0 |
5 |
Пример 2: Найти тензорные произведения следующих тензоров:
|
kAij k = |
1 |
0 |
, {Xk} |
2 |
. |
||||||
|
3 4 |
= 1 |
||||||||||
Решение: По определению Ck |
|
= Aij Xk, где Ck |
- координаты иско- |
|||||||||
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
ij |
|
|
мого тензора C = A X, например, C221 |
= A22X1 = 4 · 2 = 8. В |
|||||||||||
итоге: |
|
|
|
= |
2 |
0 |
|
, Cij2 |
|
|
1 |
0 |
|
|
Cij1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
6 8 |
|
|
= 3 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тензорные алгебры. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1.4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Операции сложения тензоров строения (p, q) и умножения тензо- |
ра на число превращают их совокупность в линейное пространство
Tpq(X). Причем T01(X) = X, T10(X) = X , T00(X) = R.
Если e1, ..., en – базис X, а e1, ..., en - кобазис в X , то ei1 ...
eip ej1 |
q... ejq образуют базис пространства Tpq(X), а всякий |
||
тензор A Tp (X) имеет вид |
|||
|
|
j1 ...jq |
|
|
A = Ai1 ...ip ei1 ... eip ej1 ... ejq , |
||
j1 ...jq |
- координаты тензора A Tpq(X). |
||
где Ai1 ...ip |
|||
Операция тензорного умножения превращает пространство |
|||
T (X) = |
T q(X) в некоммутативную ассоциативную тензорную ал- |
||
p,q |
p |
|
|
|
P |
||
гебру пространстваP |
|||
X, которая содержит подалгебру T (X) = Tp0(X) |
p