RGTA
.pdf. Задачи к главе 1 |
41 |
44.Перемножить тензоры из предыдущей задачи в порядке, противоположном заданному.
45.Дан тензор:
T111 = x1 + (x2)2, T112 = x1 + x2, T121 = x1x2, T122 = 1,
T 11 = x2 + (x1)2, T 12 = x1 − x2, T 21 = x1 , T 22 = 0. 2 2 2 x2 2
1) Свернуть его по нижнему и второму верхнему индексам. 2)Свернуть его по нижнему и первому верхнему индексам.
46.Даны тензоры aij и bklm.Построить из них путем одного умножения и свертывания тензоры первой, третьей и пятой валентности. Сколько их будет?
47.Пусть даны тензор третьей валентности aijk и тензор второй валентности bim. Получить из них путем умножения и свертывания тензор пятой валентности, тензоры третьей валентности, тензоры первой валентности.
48.Показать что тензор второй валентности zij тогда и только тогда есть произведение тензоров первой валентности, когда его координаты удовлетворяют уравнениям
zklzij − zlizkj = 0
49.Построить инвариант путем свертывания индексов у тензора aij , компоненты которого – элементы матрицы:
|
3 |
−5 |
6 |
|
|
2 |
1 |
0 |
|
−7 |
0 |
4 |
50.Даны тензор второй валентности aij , матрица которого в некотором базисе равна
(aij ) = |
2 |
0 |
3 |
|
5 |
1 |
2 |
||
4 |
5 |
7 |
и тензоры первой валентности xi и yi, которые в том же базисе имеют компоненты:
(xi) = (2, 1, 4),
42 |
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
|||||
|
(yi) = (3, 7, −1). |
|
|
|
|
|
|
Найти: |
|
|
|
|
|
|
aij xj , aij xi, aij yj , aij yi, aij xiyj, aij yixj , aij δij , aij |
− |
2 |
δij all, (aij |
− |
|
|
−52 δij all)xi, (aij − 52 δij all)xiyj . |
5 |
|
51. Образовать скаляры путем свертывания тензоров, матрицы ко-
торых имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
6 |
3 |
|
; |
|
3 |
6 |
3 |
|
; |
|
4 |
4 |
4 |
. |
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
4 |
5 |
4 |
|
3 |
2 |
6 |
|
|
||||
|
|
1 |
0 |
5 |
|
|
|
5 |
0 |
1 |
|
|
|
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52. Найти |
вектор, образованный умножением тензора T |
на век- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
тор Ai с последующим свертыванием по индексу вектора и: а. первому индексу тензора, б. второму индексу тензора, если:
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|| |
|
|| |
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
Tik |
|
= |
|
3 |
4 |
1 |
|
; A = i1 + 2i2 + 3i3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53.Найти скаляр, образованный умножением тензора Tik на векторы A и B, с последующим свертыванием по индексу вектора A и первому индексу тензора и по индексу B и второму индексу тензора, если Tik и A заданы условием предыдущей задачи, а
B = 4i1 + 5i2 + 6i3.
54. Доказать, что если (0, 3)-тензор aijk симметричен по i, j , то
a(ijk) = 13 (aijk + akij + ajki)
55.Доказать, что если (0, 3)-тензор aijk кососимметричен по i, j , то
a[ijk] = 13 (aijk + akij + ajki)
56.При каких значениях c возможно соотношение aijk = akji для любых i, j, k 1, n
57.Доказать, что при повторной альтернации внутренние скобки альтернирования можно снять. Например, a[[ij]k] = a[ijk]. i, j, k = 1, n
58.Если тензор ti1 ...ir ...is ...it...ip симметричен по индексам ir, is и кососимметричен по is, it, то он равен нулю. Доказать.
59.Расписать двойное альтернирование a[i[j bk]m]
60.Доказать, что если тензор aij имет вид aij = u[ivj], то aij akl +
aikalj + ailajk = 0
. Задачи к главе 1 |
43 |
61.Найти условие при котором вектор v параллелен 2-мерному направлению, определенному бивектором p.
62.Доказать, что при n = 3 всякий кососимметричный тензор a Λ2V 3 является бивектором.
63.Выписать соотношения, связывающие между собой компоненты 3-вектора в V 5.
64.Доказать, что m векторов v1, ..., vm линейно зависимы в V n тогда и только тогда, когда v1 ... vm = 0.
65.Найти уравнение гиперплоскости в V 4, определяемой 3-вектором.
p123 = −1, p124 = 1, p134 = 1, p234 = 1
.
66.Найти компоненты тензоров: а). a[klij], б). aij[kl], в).a[[ijkl]], где тензор aijkl определен в задаче 40.
67.Тензор aijk задан равенствами:
a111 |
= 2, |
a121 |
= 4, |
a131 |
= 6, |
a112 |
= 4, |
a122 |
= 6, |
a132 |
= 2, |
a113 = 6, |
a123 = 8, a133 = 4, a211 = 6, |
a221 = 2, |
a231 = 8, |
||||||||
a212 = 2, |
a222 |
= 6, |
a232 = 4, |
a213 = 4, |
a223 = 6, |
a233 = 2, |
|||||
a311 |
= 4, |
a321 |
= 6, |
a331 |
= 2, |
a312 |
= 6, |
a322 |
= 2, |
a323 |
= 4, |
a313 = 2, |
a323 = 4, |
|
a333 = 62. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Найти компоненты тензоров: a[ijk], |
|
a(ijk). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
68. Доказать, что a[i1,...,ik] = δi1 ,...,ik aj1 ,...,jk , b[i ,...,i |
] = δj1 ,...,jk bj |
,...,j |
, |
||||||||||||||
|
|
j1 ,...,jk |
|
|
|
|
|
1 |
k |
i1 ,...,ik 1 |
|
k |
|||||
где тензор δj1 ,...,jk определен в задаче 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i1,...,ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69. Метрический тензор gij |
и тензор aij |
заданы матрицами: |
|
|
|||||||||||||
|
3 |
5 |
|
|
|
− |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
, |
|
9 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
.j |
ik |
|
ij |
|
|
|
||||
|
|
|
i |
|
ik |
aij , a |
.i |
|
ajk, a |
. |
|
|
|||||
Найти матрицы тензоров: a.j |
= g |
|
|
= g |
|
|
|
|
70.Верно ли утверждение: если матрица тензора aij симметрична, то симметричны и матрицы тензоров:aij ?
44 |
|
Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА |
||
71. Дан тензор: |
|
|
|
|
T111 = sinx1 + cosx2, T121 = x1, T211 = (x1)2, T221 = x1x2, |
||||
T112 = sinx1 |
− cosx2 |
, T122 = x2, T212 = (x2)2, T222 = |
x1 |
|
|
. |
|||
x2 |
1) Симметрировать его по нижним индексам. 2) Альтернировать его по тем же индексам.
72. Дан четырехвалентный тензор
T1111 = 1, T1112 = x1, T1121 = x2, T1122 = x1 + x2,
T1211 = x1 − x2, T1212 = 2, T1222 = 1, T2ijk = 0,
и симмметричный дважды ковариантный тензор
a11 = 0, a12 = a21 = x1x2, a22 = 1.
Опустить средний индекс у тензора Tqijk, умножив его слева(справа) на тензор apj . Зависит ли результат от порядка сомножителей?
73. Дан трехвалентный тензор:
T111 = 0, T121 = x1x2, T211 = x1 + x2, T221 = 1,
T112 = 1, T122 = x1 − x2, T212 = x1 + x2, T222 = 0,
и симметричный дважды контравариантный тензор
a11 = x1, a12 = a21 = x1 + x2, a22 = x2.
Поднять первый нижний индекс у тензора Tijk , умножив его слева(справа) на тензор aiq. Зависит ли результат от порядка сомножителей?
74.Показать, что если трехвалентный ковариантный тензор удовлетворяет условиям:
Tijk = Tjik, Tijkuiuj uk = 0
при любом выборе контравариантного вектора ul, то компоненты этого тензора удовлетворяют условию:
Tijk = Tjki = Tkij .
. Задачи к главе 1 |
45 |
75. Доказать, что если тензор Tijkl удовлетворяет соотношению |
|
Tijkluivj ukvl = 0 |
|
при любом выборе векторов ui и vi, то |
|
Tijkl = Tkjil = Tilkj = Tklij |
|
при дополнительных условиях |
|
Tijkl + Tjikl = 0, Tijkl + Tijlk = 0, Tijkl + Tjkil + Tkijl = 0,
тензор равен нулю. 76. Доказать, что:
1
a[α[βbγ]δ] = 4 (aαβ bγδ − aαγ bβδ − aδβ bγα + aδγ bβα)
77.Доказать, что если aij uiuj есть инвариант преобразования xi′ = λii′ xi, при котором ui = λii′ ui а aij – симметричный объект относитель-
но этого же преобразования, то aij есть тензор, т.е.
ai′ j′ = λii′ λjj |
′ aij , λii′ λjj |
′ |
′ |
|
= δij′ |
78.Доказать, что если aij = aji - невырожденный дважды ковариантный тензор (|aij | 6= 0), то объект, определяемый системой уравнений
aij aik = δjk
есть симметричный дважды контравариантный тензор.
79.Если aij - компоненты тензора, а a и b инварианты и baij + caij = 0 то либо b = −c и aij симметричный тензор, либо b = c а aij кососимметричный тензор. Доказать это.
80.Доказать, что ранг тензора aij = aibj равен 1, а ранг тензора aibj + aj bi равен 2.
(Рангом двухвалентного тензора называют ранг определителя, составленного из компонент этого тензора.)
81.Доказать, что если тензор Tijk симметричен относительлно ин-
дексов i, j, то
1
T(ijk) = 3 (Tijk + Tjki + Tkij )
82.Доказать, что если тензор Tijk кососимметричен относительно индексов i, j, то
1
T[ijk] = 3 (Tijk + Tjki + Tkij )
83.Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам и кососимметричен по второму и третьему, то он равен нулю.
84.Пусть тензор Thijk обладает свойствами:
Thijk + Thikj = 0, Thijk + Thjki + Thkij = 0
1)Если Thijk − Thjki = 0, то тензор Thijk = 0.
2)Если Thijk + Thjki = 0, то тензор Thijk = 0.
85.Доказать, что если aij - симметрический, а bij - кососимметрический, то aij bij = 0.
86.Разложить тензор aij , матрица которого
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
4 |
−4 |
0 |
||
(aij ) = |
|
5 |
7 |
−2 |
|
на симметричный и кососимметричный тензоры. Найти:
aij cij , bij cij , cij δij , cij xi (xi = (2, 3, −4)), cij xixj , bij δij , blj xi, bij xixj .
47
Глава II
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
§1 Криволинейные координаты
2.1.1. Определение Пусть En- n-мерное евклидово пространство. Областью (открытым множеством) в евклидовом пространстве называется такое множество его точек, что вместе с каждой своей точкой x = (x1, ..., xn) оно содержит и любую точку y = (y1, .., yn), для которой
|yi − xi| < δ(i = 1, ..., n),
где δ – некоторое положительное число (выбор которого зависит от точки x)
2.1.2. Криволинейные координаты.
Пусть в En зафиксирована некоторая декартова прямоугольная система координат (x1, x2, ..., xn), а (e1, e2, ..., en) – ортонормированный базис, порождающий эту координатную систему . Возьмем вспомогательное евклидово пространство En, в котором также зафиксирована некоторая декартова прямоугольная система координат (u1, u2, ..., un). Пусть G – некоторая открытая область пространства En, G En а f
– взаимнооднозначное непрерывное в обе стороны отображение области G в En; f : G → En. Образ области G мы обозначим через G, так как f взаимнооднозначно, то определено обратное отображение f−1 области G на G; f−1(G) = G.
Мы будем говорить, что в области G задана криволинейная система координат (u1, u2, ..., un), если отображение f дифференцируемо и его
48 |
Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
якобиан J(f) в каждой точке области G отличен от нуля. Последнее условие гарантирует нам, что обратное отображение f−1 : G → G также является дифференцируемым отображением и J(f−1) 6= 0 в каждой точке области G En. Запишем отображения f и f−1 в координатной форме:
|
|
x1 |
= |
x1 |
(u1 |
, u2 |
, ..., un), |
|
|
f : |
x2 |
= |
x2 |
(u1 |
, u2 |
, ..., un), |
(1.1) |
||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
= |
); |
|
|||||
|
x |
x |
(u |
, u |
, ..., u |
|
u1 = u1(x1, x2, ..., xn),
f−1 : u2 = u2(x1, x2, ..., xn), (1.2)
...
un = un(x1, x2, ..., xn);
Из (1.2) видно, что каждой точке M области G сопоставляется упорядоченный набор чисел (u1, u2, ..., un), причем разным точкам области G соответствуют разные наборы чисел (u1, u2, ..., un) и наоборот, разным наборам чисел (u1, u2, ..., un) соответствуют разные точки области G. Таким образом, зная набор чисел (u1, u2, ..., un) , мы можем найти числа (x1, x2, ..., xn), которые определяют некоторую точку M области G. Поэтому набор чисел (u1, u2, ..., un) называют криволинейными координатами точки M, M : (u1, u2, ..., un).
2.1.3. Замечание. Формулы (1.1) и (1.2) часто записывают в краткой форме: xi = xi(uk), i, k = 1, ..., n и uk = uk(xi), i, k = 1, ..., n .
Пример 1. Полярная система координат на плоскости.
В этом случае область G определим неравенствами u1 > 0, 0 < u2 < 2π, а отображение f : G → G зададим формулами
x1 = u1cosu2, f : x2 = u1sinu2.
Область G = f(G) совпадает с плоскостью E2, из которой удалена положительная полуось x1. Обратное отображение f−1 задается формулами
|
|
u1 = |
(x1)2 + (x2)2 |
= ρ, |
|
|
|
f−1 : |
u2 |
= p arccos(x1/ρ), |
при x2 |
> 0, |
|||
|
|
|
|
− |
при x2 |
< 0. |
|
|
|
|
arccos( x1/ρ) + π, |
§2. Координатные линии. Локальный базис. |
49 |
Геометрический смысл координат u1 и u2 достаточно прост: u1 – расстояние от точки до начала координат, обычно обозначаемое через ρ, а u2 – угол, образованный прямой OM с осью x, отсчитываемый от оси x против часовой стрелки от 0 до 2π и обычно обозначаемый через σ. На практике иногда удобно к области G присоединять ее границу или часть границы. В нашем случае область G обычно задают неравенствами u1 > 0, 0 ≤ u2 ≤ 2π. Тогда область G в E2 определяется неравенством (x12 + x22) > 0. Необходимо только помнить, что тогда взаимная однозначность нарушается.
Пример 2. Цилиндрическая система координат в пространстве.
В этом случае область G определяется неравенствами u1 > 0, 0 < u2 < 2π,
−∞ |
< u3 |
< |
∞ |
, а отображения f и f−1 задаются формулами: |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
= u1cosu2, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f : x2 |
= u1sinu2, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
= u3. |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
= |
|
1 2 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ) + (x ) , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= p(arccos(x1/ρ), |
|
|||||
|
|
f−1 : |
u2 |
при x2 > 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos( |
|
x1/ρ) + π, |
при x2 < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3 = x3.
Ив этом случае обычно полагают u1 = ρ, u2 = ϕ, u3 = z, M(ρ, ϕ, z).
§2 Координатные линии. Локальный базис.
2.2.1. Определение. Кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат xi, а остальные остаются постоянными будем называть координатными линиями.
Пример. Если зафиксировать в G все криволинейные координаты кроме одной, то мы получим векторную функцию одного аргумента x(ui) = x(u10, ..., ui, ..., un0 ), задающую в G i-координатную линию. В области G координатными линиями являются прямые линии uk = ck, k 6= i, ui = t, где ck - некоторые постоянные, t – параметр. При отображении f : G → G они переходят в кривые линии γi, уравнения которых записываются так:
xr = xr(c1, ..., ci−1, t, ..., cn), r = 1, ..., n, i = 1, ..., n.
50 Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Эти линии называются координатными линиями области G в криволинейных координатах (u1, ..., un).
Рассмотрим, например, координатную линию x1. Это значит, что x2, ..., xn закреплены на постоянных значениях, так что радиус -вектор x остается функцией одного лишь x1; мы получаем кривую, отнесенную к параметру x1.
2.2.2. Замечание. Через каждую точку M(u1, ..., un) проходит n координатных линий γi(t), i = 1, ..., n.
Рис.1. Координатные линии и координатные поверхности.
2.2.3. Определение. Обозначим через ∂i(M) вектор, касательный к γi(t) в точке M. Введение криволинейной системы координат в области G индуцирует в каждой точке M базис
{∂1(M), ∂2(M), ..., ∂n(M)}, который называется локальным базисом в точке M. Касательные векторы ∂k = (∂kxi)ei координатных линий образуют вместе с точкой натуральный репер {x, ∂k}.
2.2.4. Замечание. Говорить о существовании локального базиса мы можем исходя из следующих соображений. Координаты вектора ∂i(M) относительно основного фиксированного базиса {e1, e2, ..., en} выражаются по формулам:
∂i(M) = ∂xk ek ∂ui
где производные ∂x∂uki , i, k = 1, ..., n вычисляются в точке f−1(M). Так
как якобиан J(f) отображения f равен определителю | ∂x∂uki |, i, k = 1, ..., n, и отличен от нуля, то система векторов (∂1, ∂2, ..., ∂n) образует базис.