RGTA
.pdf. Задачи к главе 2. |
81 |
58.Вычислить векторы повижного ортонормироанного репера для полярных координат в E2.
59.Вычислить векторы повижного ортонормироанного репера для полярно-сферических координат в E3.
61.Вычислить векторы повижного ортонормироанного репера для полярно-цилиндрических координат в E3.
62.Записать уравнение Пфаффа ω = xdx + ydy + zdz = 0 в E3 в полярно-сферических координатах.
63.Найти выражение для 3-формы в E3 ω = dx dy dz в полярносферических координатах.
64.Найти скалярные поля в E3, производная которых в направлении векторного поля v = (−y, x, 0) равна нулю.
65.Пусть v - векторное поле на плоскости. Выбрав полярные координаты, найдите координаты векторного поля.
66.В Ekn с метрикой gij найти производную скалярного поля в направлении его градиента.
67.В E3 в прямоугольных координатах дана 2-форма:
xdy dz + ydz dx + zdx dy ω = (x2 + y2 + z2) 32
Записать ее в полярно-сферических координатах.
68.Найти полярные координаты следующих тезоров, заданных своими прямоугольными координатами:
a.||tji || = |
x2 + y2 |
xy |
; |
б.||tji || = |
x2 + y2 xy |
|
|
xy |
−(x2 + y2) |
xy |
0 |
69. В прямоугольных координатах в евклидовом E3 в точке x =
√
(1, 1, 2) задан вектор v = (0, 1, 1 ). Найти координаты вектора
√
2
v в полярно-сферической системе координат. p
70.Записать 2-форму ω = x2 + y2dx dy в E2 в полярных координатах.
82 |
Глава II. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ |
71. Векторное поле v в E3 имеет полярно-сферические координаты:
v = (− |
2sinθ |
, 0, |
cosθ |
) |
|
|
|||
r3 |
r4 |
Показать, что оно потенциально и найти потенциал.
72.Найти уравнение произвольной конической поверхности с вершиной в начале координат в полярно-сферической системе.
73.Вычислить формы и компоненты связности псевдоевклидова E23 в псевдосферических координатах.
74.Найти выражения для символов Кристоффеля в En в ортогональных координатах, используя коэффициенты Ламе.
75.Доказать свойство ковариантной производной:
w(ui + vi) = wui + wvi
где w, u, v - векторные поля.
76. Доказать свойство ковариантной производной:
w1+w2 ui = w1 ui + w2 ui
где w, u, v - векторные поля.
77. Доказать свойство ковариантной производной:
ϕwui = ϕ wui
где w, u, v - векторные поля, ϕ - гладкая функция. 78. Доказать свойство ковариантной производной:
w(ϕui) = ϕ wui + w(ϕ)ui
где w, u, v - векторные поля, ϕ - гладкая функция.
79.Найти гармонические функции f : f = 0, инвариантные относительно вращений евклидова пространства E3 вокруг начала координат.
80.Пусть v - векторное поле в E2. Найти координаты тензоров
j vj , (j vi), [j vi]
в полярных координатах.
. Задачи к главе 2. |
83 |
81.Показать, что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:
v(t1 + t2) = vt1 + vt2
для любого гладкого векторного поля v, тензорных полей t1, t2.
82.Показать что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:
v1 +v2 t = v1 t + v2 t
для любых гладких векторных полей v1, v2, тензорного поля t
83.Показать что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:
v(ϕt) = ϕ vt + v(φ)t
для любого гладкого векторного поля v, тензорного поля t и функции ϕ
84.Показать что ковариантное дифференцирование тензорных полей обладает свойством:
ϕvt = ϕ vt
для любого гладкого векторного поля v1, v2, тензорного поля t
ифункции ϕ
85.На плоскости E2 заданы полярные координаты (r, ϕ). Перенести
параллельно вектор v0 = (v01, v02) вдоль кривой r = 2 из точки ϕ = 0 в точку ϕ = π2 .
86.Показать, что бесконечно малом параллельном перенесении вектора v его компоненты изменятся следующим образом:
vi = vi − ijkvj dxk + O(|dx|).
87.В Ekn с метрикой gij найти производную скалярного поля в направлении его градиента.
88.Доказать, что если векторное поле потенциально v = gradϕ, то оно не имеет замкнутых интегральных линий.
89.Показать, что ротация градиента тождественно равна нулю. Верно ли обратное: если ротация векторного поля тождественно равна нулю, то это есть поле градиента некоторой функции?
90.Доказать следующие свойства коммутатора:
|
1.[u, v] = −[v, u] 2.[λu, v] = λ[u, v]. |
||||
91. |
Доказать формулы: |
|
|
|
|
|
div(ϕv) = ϕdivv + gradϕ(v) |
||||
|
rot(ϕξ) = ϕrotξ + gradϕ ξ |
||||
92. |
Доказать тождество Якоби: |
|
|
|
|
|
[[u, v], w] + [[w, u], v] + [[v, w], u] = 0 |
||||
93. |
Поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг подвижной |
||||
|
точки, имеет вид: v = ω × x, где ω - вектор мгновенной угловой |
||||
|
скорости. Найти ротацию поля. |
|
|
|
|
94. |
Проверить, что линейная форма ω = |
xdy |
ydx |
замкнута в области |
|
2− |
|
2 |
|||
|
|
x +y |
|
|
U = A2 (без 0, 0). Является ли она точной?
95.На аффинной плоскости дана 1-форма ω = f(x2 +y2)(xdx+ydy). Показать, что она замкнута и найти ее потенциал.
96.В аффинном пространстве дана 1-форма ω = (x2 − y2)dx − 2xydy + dz. Показать, что она замкнута и найти ее потенциал.
97. При каких |
значениях постоянных a, b, c 2-форма ω = xa(y |
− |
||
b |
c |
|
||
z)dy dz + y |
(z − x)dz dx + z |
(x − y)dx dy будет замкнутой? |
98.Пусть ϕ1...ϕm - дифференцируемые функции в An. Вычислить координаты m-формы dϕ1...dϕm в координатной окрестности ϕ An.
99.Пусть ω - линейная дифференциальная форма в U An. Доказать, что dw(u, v) = uw(v) − vw(u) − w([u, v]) для любой пары векторных полей u, v.
100.Для условий предыдущей задачи вычислить dw(u, v), если:
w = xydx − y2dy, u = e1, v = e2
85
Глава III
РИМАНОВА
ГЕОМЕТРИЯ
§1 Определение основных понятий римановой геометрии
Определение 3.1.1. Пусть в некоторой области G En задано поле дважды ковариантного симметрического невырожденного тензора gij . Тензор gij называется невырожденным, если определитель |gij | отличен от нуля.
Замечание. Если тензор gij положительно определен, то мы будем говорить, что в области G задана риманова метрика, а сам тензор будем называть метрическим тензором.
Определение 3.1.2. Тензор gij называется положительно определенным, если порожденная им полилинейная функция (билинейная функция) есть положительно определенная функция, то есть
gij yiyj > 0 при |
|
n |
2 |
|
|
|
i=1 yi |
|
> 0. |
|
|
Примеры метрик. |
|
|
|
||
|
P |
|
|
|
|
1. Евклидова метрика. В евклидовых координатах u1 |
= x, u2 = y |
||||
|
|
1 |
0 |
|
|
имеем gij = δij = 0 |
1 . Метрика является невырожденной поло- |
||||
жительноопределенной, и, следовательно, римановой. |
|
||||
|
|
|
|
1 |
0 |
2. Метрика Минковского. Определим gij = δij = 0 |
−1 . Мат- |
рица gij не выпрождена, но неположительна. Значит данная метрика
86 Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
не является римановой. Такие метрики принято называть псевдори-
мановыми. |
|
1 |
0 |
3. Пусть gij = δij = 0 |
0 . В данном случае нарушается услове |
вырожденности метрики. Поэтому соответствующая метрика не является римановой.
В дальнейшем мы будем предполагать, что компоненты тензора gij суть дважды непрерывно дифференцируемые от координат
(u1, ..., un).
Замечание. Если тензор gij знакопеременен и невырожден, то тогда говорят что задана псевдориманова метрика. Мы ограничимся рассмотрением только римановой метрики (собственно римановой).
С помощью тензора gij можно определить скалярное произведение двух векторов λ : (λi), µ : (µi) формулой
(λ, µ) = gikλiµk,
где
gij = (∂i, ∂j ),
i |
j |
так как ∂i : (0, ..., 1, ..., 0), ∂j : (0, ..., 1, ..., 0).
Определение 3.1.3. Пусть ui = ui(t), a ≤ t ≤ b – уравнения некоторой гладкой кривой γ. Обозначим через r(t) касательный вектор к кривой в точке γ(t)
dui r(t) = dt ∂i.
Длиной l кривой γ(t) назовем число l(γ) определенное формулой
|
Z |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
rgij |
dui duj |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|r(t)|dt = |
|
|
|||||||
l(γ) = |
|
|
|
|
|
|
dt |
||||
a |
a |
|
dt |
dt |
Определение 3.1.4. Пусть D есть некоторая область, лежащая в области G. Объемом V области D называется число V (D), определенное формулой
V (α) = Z √gdu1 · · · dun, где g = |gij |.
D
§2. Абсолютная производная векторных и тензорных |
|
полей.Параллельный перенос и геодезические линии |
87 |
§2 Абсолютная производная векторных и тензорных полей.Параллельный перенос и геодезические линии
Определение 3.2.1. Абсолютной производной векторного поля λ = λi∂i в направлении вектора Z = Zi∂i мы назовем вектор, определенный формулой
Z λ = h dλi + i λj Zki∂i,
duk jk
где ijk – определяются формулами
|
1 |
|
∂gik |
|
∂gjk |
|
∂gij |
|
ij,k = |
|
h |
|
+ |
|
− |
|
i |
2 |
∂uj |
∂ui |
∂uk |
и называются символами Кристоффеля первого рода, а
kij = gkr ij,r
именуются символами Кристоффеля второго рода.
Определение 3.2.2. Абсолютной производной ковекторного поля µ : (µi) в направлении вектора Z мы назовем:
Z µ = h dudµki + rikµr Zki∂i.
Определение 3.2.3. Ковариантные производные векторного и ковекторного полей определяются формулами
λ,ki = |
dλi |
+ jki |
λj |
|
duk |
||||
|
|
|
и
µi,k = dudµki − jikµj
Определение 3.2.4. Ковариантная производная произволь-
ного тензора Aj1 ,...,jq строения (p, q) определяется формулой
i1 ,...,ip
|
|
j1 ,...,jq |
|
|
|
|
|
|
|
j1 ,...,jq |
|
∂Ai1 ,...,ip |
j1 |
α1 ,...,jq |
jk |
j1 ,...,jk−1 |
,αq |
− |
|
Ai1 ,...,ip,k |
= |
|
|
+ α1kAi1 ,...,ip + ... + αq kAi1 ,...,ip |
|
||||
∂uk |
|
|
|||||||
|
|
α1 |
j1 ,...,jq |
αp |
j1 ,...,jq |
|
|
|
|
|
|
− i1kAα1 ,...,ip − |
... − ipkAi1 ,...,ip−1,αp . |
|
|
|
88 |
Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ |
Замечание. Если λ : (λi) есть поле параллельных векторов, то все его ковариантные производные должны обращаться в нуль.
λ,ki = |
∂λi |
+ jki |
λj = 0. |
|
∂uk |
||||
|
|
|
Замечание. В произвольной римановой метрике не существует, как говорят, абсолютного параллелизма. Однако, можно определить параллельное перенесение вдоль некоторой кривой.
Определение 3.2.5. Пусть γ(t) : ui = ui(t), a ≤ t ≤ b, есть дифференцируемая (гладкая) кривая. Будем говорить, что векторное поле λ : (λi) вдоль кривой γ есть поле параллельных векторов, если rλ = 0 в каждой точке γ(t) кривой γ, то есть
rλ = ( |
∂λi duk |
|
i |
j duk |
||||||||
|
|
|
|
+ jkλ |
|
|
)∂k = 0 |
|||||
∂uk |
dt |
dt |
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dλi |
|
i |
j duk |
|
|
|
|||||
|
|
|
+ jkλ |
|
|
|
= 0. |
|
||||
|
|
|
|
dt |
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Система обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях λi(a) = λi0 ввиду сделанных выше предположений о гладкости компонент метрического тензора gij и кривой ui = ui(t) имеет единственное решение λ(t). О векторе λ(b) : (λi(b)) говорят, что он есть результат параллельного переноса вектора λ0 : (λi(a)) вдоль кривой γ.
Замечание. Если взять другую кривую σ(t), соединяющую те же точки γ(a) и γ(b), то результат параллельного перенесения вектора λ0 вдоль σ(t) – вектор λσ (b), вообще говоря не совпадает с результатом параллельного перенесения вдоль γ, то есть λ(b) 6= λσ (b). Именно в этом месте и проявляется существенное отличие римановой метрики от евклидовой метрики.
Определение 3.2.6. Дважды непрерывно дифференцируемую линию γ(t) : ui = ui(t), a ≤ t ≤ b мы назовем геодезической линией, если поле векторов r(t), касательных к кривой γ(t) есть поле параллельных векторов rr = 0:
|
d2ui |
uj uk |
||||
rr = |
|
+ jki |
|
|
|
= 0. |
dt |
dt |
dt |
§2. Абсолютная производная векторных и тензорных |
|
полей.Параллельный перенос и геодезические линии |
89 |
Замечание. Система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеет единственное решение ui = ui(t), если в точке γ(a) заданы начальные условия:
ua = ui |
и |
uj |
(a) = λi |
|
|||
0 |
|
dt |
0 |
|
|
|
Геометрически это означает, что через каждую точку M в направлении произвольного вектора λ0 можно провести единственную геодезическую линию γ(t) : ui = ui(t).
Теорема 3.2.1. Пусть γ(t), a ≤ t ≤ b – геодезическая линия и
γ(t0) – произвольная точка γ(t). Тогда существует такое ε(t0) > 0, что дуга (γ(t0 −ε), γ(t0 +ε)) геодезической γ(t) начинающаяся в точке
γ(t0−ε) и заканчивающаяся в точке γ(t0+ε) есть кратчайшая линия.
Замечание. Напоминаем, что кратчайшей называется линия, которая короче (не длиннее) любой другой кривой, соединяющей те же самые точки (имеющие те же самые концы). Можно также доказать и обратное: каждая кратчайшая есть дуга некоторой геодезической линии.
Теорема 3.2.2. Пусть λ(t) и µ(t) – два параллельных векторных поля вдоль кривой γ(t) : ui = ui(t). Справедливо равенство:
dtd (λ(t), µ(t)) ≡ 0.
Доказательство. Истинность данного утверждения следует из ра-
венства (λ(t), µ(t)) = gij (u1, ..., ur)λi(t)µj (t) и условия параллельности векторных полей λ(t) и µ(t).
Замечание. Равенство можно переписать так: (λ(t), µ(t)) ≡ C.
Замечание. Геометрический смысл заключается в том, что при параллельном переносе вектора вдоль λ(t) сохраняется его длина, а при параллельном переносе двух векторов сохраняется угол между ними. В самом деле, если в положить λ(t) = µ(t) , мы получим, что |λ(t)|2 = C, то есть длина λ(t) постоянна и от t не зависит. Затем, учитывая, что (λ(t), µ(t)) = |λ(t)||µ(t)|cosϕ(t) и уже доказанные свойства |λ(t)| = C1 и |µ(t)| = C2, мы получаем, что ϕ(t) постоянно и от t не зависит.
90 |
Глава III. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ |
Пример. Эти геометрические свойства позволяют описать построение поля параллельных векторов вдоль геодезической линии в двумерном случае. Действительно, так как по определению геодезической, поле касательных к ней векторов есть поле параллельных векторов, и, учитывая доказанные выше свойства параллельного перенесения, для построения параллельного поля вдоль n-геодезической достаточно взять в каждой точке вектор одной и той же длины r, образующий один и тот же угол с касательным вектором к геодезической линии, отсчитываемый от касательного вектора в одну и туже сторону (например, против часовой стрелки). В двумерном случае существует единственный вектор в каждой точке геодезической, с указанными выше свойствами.
Пример. Пусть в области, определенной неравенствами −∞ < u1 <
+∞, 0 < u2 < 2π, задан метрический тензор g11 = g22 = 1/(u2)2, g12 = g22 = 0. Вычисли символы Кристоффеля 1 и 2 рода. Вычисления про-
изведем в следующем порядке.
1) Сначала находим элементы gij :
|
|
1/(u2)2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 1/(u2)2 |
|
|
= 1/(u2)4 |
, g11 = g22 = (u2)2, g12 = g21 = 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Далее находим |
символы Кристоффеля 1 рода: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
11,1 = 0, 21,1 = 12,1 |
= |
|
1 |
|
∂g11 |
= |
|
1 |
|
, 22,1 = 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∂u |
|
(u ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11,2 = |
1 ∂g11 |
= |
|
1 |
|
|
, 12,2 = 21,1 = 0, 22,2 = |
1 ∂g22 |
= 12,1 = − |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 ∂u2 |
(u2)3 |
2 ∂u2 |
(u2)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3) Теперь находим символы Кристоффеля второго рода. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
111 = 0, 121 = 211 = (u2)2, 12,1 = |
1 |
|
, 221 |
= 0, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
112 = |
1 |
, 122 = 212 = 0, 222 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 |
u2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) Напишем уравнения геодезических линий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d2u21 |
|
+ 2 1 du1 du2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
12 |
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2u2 |
|
|
|
|
2 |
du1 2 |
|
|
2 |
du2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
( dt2 |
|
|
+ 2 11( dt |
) + 22( dt ) = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Подставив сюда выражения для 1 |
, 2 |
и 2 получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d2u1 |
− |
2 |
du2 du2 |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
u2 |
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(d |
u2 |
+ |
( du |
)2 |
|
|
|
|
( du )2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
u |
|
dt |
|
− u |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|