- •Основы теории надежности
- •190600 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и
- •Брянск 2013
- •Основы теории надежности
- •190600 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и
- •Брянск 2013
- •Введение
- •Программа дисциплины «Основы теории надежности»
- •Методические указания по выполнению контрольной работы
- •Перечень вопросов
- •Задача №1
- •Задача №2
- •Рекомендуемая литература
- •190600 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и
- •241037. Г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно-издательский
Задача №1
Определить вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов, распределение ресурсов которых подчиняется одному из трёх законов: нормальному, экспоненциальному или Вейбулла. Построить график функции Pi (t) для каждого элемента и для системы Рсис (t).
Перед выполнением задачи необходимо изучить следующие темы:
- понятие сложной системы, элементы системы, методы построения структурных схем [2, 3];
- показатели надёжности, методика определения, основные соотношения [1, 2, 3];
- случайные величины и их характеристики, законы распределения случайных величин [2, 3].
По варианту студента определяется формула структурной схемы системы (таблица 2), содержащая номера элементов. Исходные данные для расчета надежности элементов приведены в таблице 3.
Таблица 2 – Формулы структурных схем системы
Варианты Задания |
Формулы структурных схем |
Варианты Задания |
Формулы структурных схем |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
1-6-16-23-30 2-12-15-29-40 3-13-37-11-22 4-9-15-20-36 5-7-17-38-33 8-15-24-26-31 10-18-19-33-27 13-21-28-34-38 25-13-7-15-29 12-11-33-15-28 17-26-30-14-38 15-29-3-6-14 29-26-2-16-33 |
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 |
14-20-12-33-37 40-21-38-29-6 9-18-15-17-10 31-9-23-31-8 36-26-11-21-2 7-24-12-25-17 26-1-14-5-37 20-40-8-16-27 30-13-26-15-7 24-12-4-33-18 11-29-12-33-30 9-7-15-20-33 6-16-26-36-6 |
Таблица 3 - Исходные данные для расчёта надёжности
№ элемента |
Закон распределения |
Тр |
S |
a |
b |
1 |
Э |
800 |
- |
- |
- |
2 |
Н |
1200 |
400 |
- |
- |
3 |
В |
- |
- |
700 |
2,5 |
4 |
Э |
400 |
- |
- |
- |
5 |
В |
- |
- |
500 |
1,5 |
6 |
Н |
1000 |
350 |
- |
- |
7 |
Н |
2000 |
400 |
- |
- |
8 |
Э |
1100 |
- |
- |
- |
9 |
В |
- |
- |
680 |
2,0 |
10 |
Э |
700 |
- |
- |
- |
11 |
Н |
1200 |
300 |
- |
- |
12 |
В |
- |
- |
300 |
1,5 |
13 |
Э |
440 |
- |
- |
- |
14 |
Э |
500 |
- |
- |
- |
15 |
Н |
600 |
200 |
- |
- |
16 |
В |
- |
- |
550 |
1,5 |
17 |
Э |
750 |
- |
- |
- |
18 |
Н |
1400 |
350 |
- |
- |
19 |
В |
- |
- |
1000 |
3,0 |
20 |
Н |
1500 |
440 |
- |
- |
21 |
В |
- |
- |
800 |
2,0 |
22 |
Э |
600 |
- |
- |
- |
23 |
Э |
850 |
- |
- |
- |
24 |
Н |
1800 |
200 |
- |
- |
25 |
В |
- |
- |
780 |
1,8 |
26 |
В |
- |
- |
640 |
2,0 |
27 |
Н |
1700 |
400 |
- |
- |
28 |
Э |
900 |
- |
- |
- |
29 |
Э |
650 |
- |
- |
- |
30 |
Н |
900 |
200 |
- |
- |
31 |
Н |
1100 |
2500 |
- |
- |
32 |
В |
- |
- |
550 |
2,0 |
33 |
Э |
950 |
- |
- |
- |
34 |
Н |
800 |
240 |
- |
- |
35 |
В |
- |
- |
750 |
1,7 |
36 |
Э |
1000 |
- |
- |
- |
37 |
Н |
2200 |
350 |
- |
- |
38 |
Н |
2000 |
300 |
- |
- |
39 |
В |
- |
- |
400 |
1,6 |
40 |
Э |
540 |
- |
- |
- |
Примечание: Tp - средний ресурс, S - среднее квадратическое отклонение, а - параметр масштаба, b - параметр формы, Э - экспоненциальный закон распределения, Н - нормальный закон распределения, В - закон Вейбулла.
|
Вероятность безотказной работы группы элементов с последовательным соединением элементов:
Вероятность безотказной работы i элемента определяется одним из трёх законов распределения: экспоненциальным, нормальным, Вейбулла.
Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением некоторых обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность во времени t:
где Тр - средний ресурс.
Вероятность безотказной работы:
Нормальный закон распределения достаточно хорошо описывает распределение ресурсов элементов при постепенных (износовых) отказах. Плотность вероятности нормального распределения описывается уравнением:
Вероятность безотказной работы Р(t) для нормального закона распределения определяется из выражения:
где Ф - функция Лапласа;
Up - квантиль нормального распределения.
По квантилю при помощи таблицы 8 (приложение А) находят вероятность безотказной работы. При значениях Up>0 используют выражение
Распределение Вейбулла довольно универсально и охватывает путём варьирования параметров масштаба А и формы В широкий диапазон случаев распределения ресурсов элементов. Вероятность безотказной работы при распределении Вейбулла
С достаточной для практических расчётов точностью можно считать, что В находится в диапазоне от 1 до 3, а параметр А определяется из соотношения:
Выполнять расчёт надёжности сложной системы необходимо в следующей последовательности:
1) В соответствии с индивидуальным заданием определяют исходные данные для расчёта, законы распределения и параметры законов. Для этого заполняют таблицу 4.
Таблица 4.
№ элемента |
Законы распределения |
Параметры законов распределения | ||||||
Экспоненциальный |
Нормальный |
Вейбулла |
Тр |
S |
А |
В | ||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Задаются периодом времени t, на котором рассматривается надёжность системы (как правило, по наименьшему значению Тр или А). Принимают временной интервал (шаг) приблизительно t/10 для получения не менее 10 значений Pi(t).
3) Рассчитывают вероятность безотказной работы по каждому элементу в функции времени Pi(t) с шагом . Для этого используют формулы для различных законов распределения.
4) Рассчитывают вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением как произведение вероятностей элементов для каждого временного интервала. Результаты расчёта сводят в таблицу 5.
Таблица 5
Наработка t, час |
Вероятность безотказной работы | |||||
Элементов Pi(t) |
Системы Рсис(t) | |||||
i1 |
i2 |
i3 |
i4 |
i5 | ||
0 t1 t2 … tmax |
|
|
|
|
|
|
5) Графически построить функции Pi(t) для каждого элемента и для системы в целом Рсис(t).