Вариант 14

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=1247,b=1333.

3. Докажите, что для любых целых чисел , еслиделится на 13, то иделится на 13.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=24,а=72244248?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 20.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 11 и

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в восьмеричную.

_{12. Найдите остаток от деления} наи выполните действия в указанной системе счисления

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(53); б) 0,74(47).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел aиb, еслиa=4723,b=97997.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь.

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь

17. Решите уравнения в целых числах а) ; б)

18. Найдётся ли на прямой 6х-21у=14 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётn при делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа pиq такие, чтоp²-2q²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условииделится на

29.Разделите напри а) и б)

30. Вычислите , еслии.

31. Многочлен разложите по степеням .

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен

33. Для каких значений параметра сумма квадратов корней уравненияравна 1?

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Решите уравнение

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 15

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=1769,b=2867.

3. Докажите, что для любых целых чисел, еслиделится на 17, то иделится на 17.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=15,а=877351535?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 99.

9. Докажите иррациональность действительного числа, если

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 14 и

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в четверичную.

_{12. Найдите остаток от деления} наи выполните действия в указанной системе счисления

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(67); б) 0,321(15).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел aиb, еслиa=5711,b=70649.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь.

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь .

17. Решите уравнения в целых числах а) ; б)

18. Найдётся ли на прямой 25х+15у=28 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоn делится на 4 (n– целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p иqтакие, что.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на

_{29.Разделите} напри а) и б)

30. Вычислите , еслии.

31. Многочлен разложите по степеням.

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен

33. Найдите все значения параметра , при которых уравнениеимеет два отрицательных корня.

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Решите уравнение

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами

_{40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена} , если