6. Многочлены над полем комплексных чисел .

Теорема 14. 2.(Основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочленимеет корень в поле.

Следствия. 1) Многочленимеет вровнокорней с учётом их кратности. 2) Над полемнеприводимы только многочлены первой степени. 3) Есливсе корни многочлена, то.

Теорема 15.2.(Формулы Виета). Пустьи- все его корни с учётом их кратности. Тогда справедливы равенства:

7. Многочлены над полем действительных чисел.

Напомним, что если комплексное число имеет вид , то сопряжённое имеет вид. При этом выполняются следующие свойства:;;;;.

Теорема 16.2.(О комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами). 1) Еслии- корень, тотоже корень, т.е.. 2) Если, тоимеет чётное количество комплексных недействительных корней.

Следствие. Любой многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень, а значит, приводим над полемдействительных чисел.

_{Теорема 17.2.}(О неприводимых многочленах над полем). Над полем действительных чиселнеприводимы только многочлены первой степени или многочленывторой степени, для которых существуюти такие, что.

Следствие.Легко получить, что многочлен второй степени с действительными коэффициентами неприводим над полем действительных чиселтогда и только тогда, когда его дискриминант отрицателен ().

8. Многочлены над полем рациональных чисел .

Неприводимые многочлены над .

Теорема 18.2.(Критерий Эйзенштейна). Если для многочленас целыми коэффициентами () такими, чтосуществует простое числос условиями: 1)не делится на; 2)⋮и 3)не делится на, тонеприводим над полем рациональных чисел.

Замечание. Критерий Эйзенштейна не является критерием в полном смысле этого слова, так как теорема обратной силы не имеет.

Следствие.Над полем рациональных чиселсуществуют неприводимые многочлены любой степени.

В качестве примеров таких многочленов можно взять многочлены вида , которые удовлетворяют всем требованиям критерия Эйзенштейна ().

Заметим, что критерий Эйзенштейна применим не ко всем неприводимым над полем многочленам. В некоторых случаях помогает

Теорема 19.2.Еслимногочлен с рациональными коэффициентами и, где, тонеприводим надтогда и только тогда, когда многочленнеприводим над.

Пример 20. 1) К многочленукритерий Эйзенштейна применим напрямую (достаточно взять). Значит,неприводим.

2. Пусть . К этому многочлену критерий Эйзенштейна напрямую применить невозможно. Разложимпо степеням, подбирая многочлен, к которому можно применить критерий Эйзенштейна. Вообще говоря, нужно последовательно перебирать значения, пока не натолкнёмся на подходящее. Мы же сразу возьмёми разложимпо степенямс применением алгоритма, следующего из схемы Горнера.

	3	-14	12	9	28
2	3	-8	-4	1	30
2	3	-2	-8	-15
2	3	4	0
2	3	10
2	3

Таким образом, , гденеприводим над полем(достаточно для применения критерия Эйзенштейна взять). Значит, по теореме 19.2 и многочленнеприводим над полем.