7. Целые систематические числа.

Для записи натуральных чисел применяются различные способы, среди которых выделяются две основные группы: непозиционныеипозиционныесистемы счисления.

В настоящее время из непозиционных систем счисления некоторое значение сохранила только римская нумерация.

В позиционных системах счисления, в отличие от непозиционных, значения применяемых символов зависят от места, которое этот символ занимает в записи числа. Чаще всего применяются системы счисления с фиксированным основанием.

Определение.Систематической записьюнатурального числапо основанию(-натуральное и большее 1) называют представление этого числа в виде суммы, где- числа, принимающие одно из значений;,- целое неотрицательное. При этом, если числаобозначены специальными символами, то эти символы называютсяцифрами –ичной системы счисленияи числозаписывается в виде.

Пример 7.

1. =2345=(2345)₁₀=2∙10³+3∙10²+4∙10+5.

2. =(1021)₃=1∙3³+0∙3²+2∙3+1=27+0+6+1=34.

_{Теорема 13.1.}Всякое натуральное числоможет быть единственным образом представлено в виде систематической записи по любому основанию.

Если то цифры–ичной системы счисления обозначают обычно так же, как и в десятичной: 0, 1, …,. Если, то к первым десяти цифрам добавляют недостающие, обозначив их какими-либо значками.

Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления (деления с остатком) осуществляются по тем же алгоритмам, что и в десятичной системе счисления: столбиком. Требуется только составить соответствующие таблицы сложения и умножения. Например, для таблицы сложения и умножения имеют следующий вид:

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	10
2	2	3	10	11
3	3	10	11	12

∙	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	10	12
3	0	3	12	21

Заметим, что в первой таблице можно исключить первую строку и первый столбец, а во второй – первые две строки и первые два столбца.

Пример 8.

Для перевода натурального числа из- ичной системы счисления в- ичную достаточно научиться переводить числа из- ичной системы счисления в десятичную и обратно. Алгоритм перевода состоит из двух этапов.

Пусть . Для перевода этого числа в десятичную систему счисления достаточно записать его в виде; записать цифры числав десятичной системе счисления (т.е. числа) и выполнить указанные действия.

1. Пусть . Переведём это число в- ичную систему счисления, т.е. представим его в виде.

Для этого необходимо найти коэффициенты , каждый из которых является цифрой отдо.

Разделим нас остатком:, где- целые числа и. Тогда, ибоделится на. Далее делимс остатком на:. Тогда. Ясно, что. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим неполное частное, которое будет нулевым. Таким образом, мы найдём все цифрызаписи числав- ичной системе счисления.

Пример 9.1)представить в десятичной системе счисления.

2) Перевести число в семеричную систему счисления.

Имеем:

2975=7∙425+0,

425=7∙60+5,

60=7∙8+4,

8=7∙1+1,

1=7∙0+1,Так как, то процесс закончен и 2975=