1.14. Заданы комплексные действующие значения токов и напряжений:

I1 = 25,

U1 = −20 + j15 ,

I2 = 4 + j3,

U2 = 200e− j90° .

Построить векторы токов и напряжений на комплексной плоскости. Записать мгновенные значения i(t) и u(t) .

2.8.2. Расчет линейных цепей с гармоническими источниками электриче- ской энергии

2.8.2.1. Закон Ома в комплексной форме

Связь между ком-

Связь между мгно-

плексными дейст-

Векторная диа-

Элемент

венными значениями

вующими значе-

напряжения и тока

ниями напряжения

грамма

и тока

R

и = r i

U = r I

+j

U

I

+1

L

di

U = jxL I

+j

и = L

U

I

dt

+1

C

+j

1

t

I

и = и(t1 ) +

∫ idt

U = − jxC I

С t1

U

+1

2.8.2.2. Комплексное сопротивление двухполюсника

r – активное сопротивление резистора R, [Ом];

xL = ω L – реактивное сопротивление катушки, [Ом];

L – индуктивность катушки, [Гн];

ω = 2πf

– угловая частота, [с-1];

x =

1

– реактивное сопротивление конденсатора, [Ом];

C

ωC

C – емкость конденсатора, [Ф];

ZR = r – комплексное сопротивление резистора;

ZL = jxL – комплексное сопротивление катушки;

ZC = − jxC – комплексное сопротивление конденсатора.

Таблица 2.1.

Применение

Напряжение совпадает по фазе с током.

Напряжение

опережает ток на 90° .

Напряжение отстает от тока на 90° .

21

i R	L
и	C

Рис. 1.

Для цепи (рис. 1) комплексное сопротивление:

Z = r + jx L − jxC = r + j(x L − xC ) = ze jϕ ,

где z = r2 + (x L − xC )2 – модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление;

	ϕ = arctg	x L − xC	– угол сдвига фаз между напряжением и током.
		r

2.8.2.3. Комплексная проводимость двухполюсника

Величина обратная комплексному сопротивлению называется комплексной проводимостью:

Y = Z1 = g − jb = ye − jϕ ,

где g – активная проводимость; b – реактивная проводимость;

I

U g bL bC

Рис. 2.

y = g 2 + b2 – полная проводимость;

ϕ = arctg bg .

Для схемы (рис. 2):

			Y = g − j(b − b			) =	1	+	1	− jωC ,
					L C		r		jωL
где g =	1		– активная проводимость;
		r

bL = ω1L – индуктивная (реактивная) проводимость;

bC = ωC – емкостная (реактивная) проводимость.

Переход от последовательной схемы замещения (рис. 1) к параллельной схеме (рис. 2) осуществляется по формулам:

22

g =		r		;	b =		x	;
		r2 + x 2					r2 + x 2
обратный переход:
r =		g	;		x =		b		.
	g2 + b2					g2 + b2

2.8.2.4. Комплексная мощность двухполюсника

*

S = U I = P + jQ = Se jϕ ,

*

где I – сопряженный комплекс тока;

S = P2 + Q2 – полная мощность, [ВА]; P = UI cosϕ – активная мощность, [Вт]; Q = UI sinϕ – реактивная мощность, [ВАР];

ϕ = arctg QP .

2.8.2.5. Треугольник сопротивлений, треугольник проводимостей и треугольник мощно- стей

Модуль комплексного сопротивления:

z = r2 + (x L − xC )2 = r2 + x 2 .

Следовательно, z можно представить, как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 3а) - треугольника сопротивлений, один катет которого равен r а другой х. При этом

tgϕ = xr .

Аналогичным образом модуль комплексной проводимости

y = g 2 + (bC − bL )2 = g 2 + b2 .

Следовательно, у – гипотенуза прямоугольного треугольника (рис. 3б), катетами которого являются активная g и реактивная b проводимости,

tgϕ = bg .

Модуль полной мощности

S = P2 + Q2

является гипотенузой треугольника мощностей (рис. 3в), а активная Р и реактивная Q мощности его катетами,

tgϕ = QP .

23

			g
			ϕ
z		x	b	S	Q
			y
ϕ				ϕ
	r			P
	(а)		(б)	(в)

Рис. 3.

2.8.2.6. Расчет цепей синусоидального тока при последовательном соединении элементов

цепи

Примеры

2.1. r = 3 Ом,

L = 8 мГн,

C = 15 мкФ,

U = 20 В,

f = 500 Гц.

Определить: I, UR , UL , UC , P.

Решение:

Находим комплексное сопротивление цепи.

i	R
u	C	L

xL = ω L = 2π fL =

= 2 3,14 500 8 10−3 = 25,2 Ом;

x	=	1	=			1	=	1		= 21,2 Ом;
		ωC		2π fC					2 3,14 500 15 10−6
С
Z = r + jx					L	− jx		= 3 + j (25,2 − 21,2) = 5e j53°10′ ;
							C

z = 32 + 42 = 5 ;

ϕ = arctg 43 = 53°10′ .

Определяем ток в цепи по закону Ома:

I =		U		=	20	= 4e− j53°10′ .
		Z			5e j53°10′

Ток отстает от напряжения на угол ϕ = 53°10'.

Вычислим напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе:

UR = rI = 3 4 = 12 B,

UL = xLI = 25,2 4 ≈ 101 B,

24

UC = xC I = 21,2 4 ≈ 85 B,

U R = rI = 3 4e− j53°10′ = 12e− j53°10′ ;

U L = jxL I = j25,2 4e− j53°10′ =101e j36°50′ ;

U	C	= − jx I = − j21,2 4e− j53°10′ = 85e− j143°10′.
		C
+j		UL
U		UC
UR		+1

I

Рис. 4

В цепи расходуется мощность:

P= UI cosϕ =

=20 4 cos53°10′ = 48 Вт.

Построим векторную диаграмму напряжений и тока

2.2. Напряжение источника

U = 220 В, f = 50 Гц.

Осветительная лампа рассчитана на

U1ном = 80 В,

Iном = 0,5 А.

Найти L, необходимую для получения номинального режима. Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение:

Модуль полного сопротивления цепи

(рис. 4):

R

U U1 L

		z = U			=		220		= 440 Ом.
				I			0,5
Активное сопротивление лампы накаливания
		r =		U1		=		80	= 160 Ом.
				I			0,5
Следовательно,
xL = z2 − r2 =							4402 − 1602 = 410				Ом.
Определяем индуктивность
L =	xL	=	xL		=				410	= 1,31	Гн.
	ω		2π f					2 3,14 50

25

2.3. Мгновенные значения тока и напряжения на входе приемника определяются уравнениями:

i = 25sin		ωt +	π	;	u = 500sin		ωt −	π
								.
			4					6

Определить характер и величину сопротивления приемника. Решение:

			I m = 25e j45° ; U m = 500e− j30° ;
Z =	U m	=	500e− j30°	= 20e− j75° = 5,17 − j19,3 = r − jx .
	I m		25e j45°	C

Характер сопротивления приёмника активно-емкостной.

2.4. С помощью трех вольтметров, при		V1
известном активном сопротивлении
		R1
R1 = 50 Ом, выполнены измерения на-
пряжений: U = 150 В, U1 = 50 В,
		LK
U2 = 120 В. Частота синусоидального	V						V	2
напряжения f = 50 Гц.		rK
Вычислить параметры катушки rK ,

LK

Решение:

Построим векторную диаграмму (рис. 5) и с её помощью составим уравнения:

U 2 = (U1 + UrK )2 + UL2 ;

U22 = Ur2K + UL2 .

U

U2 UL

U1

Urк

I

Рис. 5.

Решая уравнения совместно находим параметры катушки.

1502 = (50 + UrK )2 + UL2 1202 = UR2K + UL2

7500 = 2500 + 100 UrK

26

Ur

= 50 B;

K

UL =

1202 − 502 = 110 B;

I = U1

=

50

=10 A;

R

5

1

r =

Ur

=

50

= 5 Ом; ω L

=

U

L

=

110

= 11Ом;

L =

11

= 35

10−3 Гн.

K

K

I

10

I

10

314

Задачи

2.1. Определить напряжение, приложенное

к цепи, если действующее значение сину-

соидального напряжения UC = 20 В,

U

r

C

UC

Ur = 20 В.

Построить векторную диаграмму напря-

Ur

жений и тока.

	2.2. Определить напряжение UL , если			L
	действующее значение синусоидального			UL
	напряжения U = 10 В, UC =13 В.		U		C	UC
	Построить векторную диаграмму напря-
	жений и тока.
	2.3. Определить мгновенное напряжение,			r
	приложенное к цепи, если действующие
	значения напряжений UL =13 В,		u	UR		UC
	UC = 77 В, Ur = 36	В.		L C
	Построить векторную диаграмму напря-			UL
	жений и тока
	2.4. rK = 3 Ом,			r1
	LK = 25 мГн,		u		UK	rK
	R =10 Ом,
	1
	u = 120 3sin(314t) .			LK

Определить I , i(t) , UK , PK . Построить векторную диаграмму напряжений и тока.

27

2.5. r1 = 7 Ом,				r1
r2 = 8 Ом,			u
					C
C = 125 мкФ,
U = 120 В,				r2
ω = 1000e−1 .
Определить i(t) ,	I	, Pr2 . Построить век-
торную диаграмму напряжений и тока

2.6. L1 =10 мГн,

r1 = 40 Ом, L2 =125 мГн, r2 = 50 Ом, U = 120 В,

f =1000 Гц.

Определить u1(t) , u2 (t) , U1 , U2 . Построить векторную диаграмму напряжений и тока.

r1	L1
u r2	u1 L2
	u2

2.7. I = 0,8 А,		r1	C1
r1 =12 Ом,
xC1 =12 Ом,	u	r2	C2		i
r2 = 13,2 Ом,
xC 2 = 12 Ом.
Определить напряжение u(t) . Построить
векторную диаграмму напряжений и тока.

2.8. r1 =10 Ом, r2 = 7 Ом,	r1		C1
xC1 = 120 Ом, xC 2 = 24 Ом, U2 = 40 В.	u	u1
Определить u(t) , P . Построить вектор-			C2
ную диаграмму напряжений и тока.	r2

u2

28

2.9. r1 = 4 Ом, L1 =10 мГн, r2 = 3 Ом,

i

r1

L1

L2 =1,4 мГн, r3 = 2 Ом, U = 120 В,

u1

f =1000 Гц.

u

u2

L2

r3

Определить u1(t) , u2 (t)

и мощность,

r2

расходуемую в цепи. Построить вектор-

ную диаграмму напряжений и тока.

2.10. r1 = 30 Ом, C1 = 5 МкФ,

u

C

r2 = r3 = 20 Ом, C2 = 1

мкФ,

r

ω = 500e−1 , U = 24 В.

1

Определить u(t) . Построить векторную

диаграмму напряжений и тока.

2.11. u = 400 sin(500t) ,

u

C

i = 0,5sin(5000t + π / 6) .

r

Определить емкость конденсатора С.

2.12. При разомкнутом ключе S сдвиг фаз между I и U

ϕ = 60° .

Определить сдвиг фаз при замкнутом ключе S.

r i

L

u

L S

2.13. U = 149 В,

r1

f = 50 Гц,

U Ur U2

Ur = 50 В,

r2

U2 =121 В.

L2

Вычислить, пользуясь векторной диа-

граммой r2 и L2 .

2.14. u = 100 sin(ωt + 45°) ,

r

r = 20 Ом,

x = 20 Ом.

u

L

i

Определить I , а также P, Q и S.

Найти проводимость Y .

29

2.15. При f = 50 Гц,		i
U = 60 В,	u	LK	rK
I = 10 А,
а при f = 100 Гц,
U = 60 В,
I = 6 А.
Вычислить RK , LK .
2.8.2.7. Расчет цепей синусоидального тока при параллельном и смешанном соединении
элементов
Примеры
2.5. По известным показаниям измери-		A1	A2
тельных приборов U = 120 В, I1 = 3 А,				A3
	V	R	L	С
I2 = 6 А, I3 = 2 А определить 1) ток I в
неразветвленной части цепи и сопротив-
ления R, xL , xC , z ; 2) параметры эквива-
лентной цепи. Построить векторную диа-
грамму.
Решение:
I1	U
I
	I3
	I2
Построим векторную диаграмму и найдем по ней общий ток.

I = I12 + (I2 − I3 )2 = 32 + 42 = 5 A.

Найдём сопротивления ветвей и модуль полного сопротивления цепи:

		R = U		= 120	= 40	Ом;
			I	3
			1
		xL	= U = 120 = 20 Ом;
			I2	6
x = U		= 120 = 60 Ом;			z = U = 120 = 24 Ом.
C	I3	2			I	5

Рассчитываем проводимости ветвей:

30

g = 1 = 1 ; b

= 1 = 1 ; b

= 1

= 1 .

R

40

L

xL

20

C

xC

60

Эквивалентные активная, реактивная и полная проводимости:

g

= g =

1

;

b = b − b = 1

;

y

= g2 + b2

=

1 .

Э

40

Э

L

C

30

Э

Э

Э

24

Эквивалентные сопротивления последовательной цепи:

z

=

1

= 24 Ом;

R

= gЭ = 14,4 Ом;

x

= bЭ

= 19,2 Ом.

Э

yЭ

Э

yЭ2

Э

yЭ2

2.6. В электрической цепи включены два

g

R1

xL1

a

R2

xС2

m

источника синусоидально изменяющихся

ЭДС: e1 = 141 sin(ωt) ,

n

R3

d

e2 = 113 sin (ωt − 30°).

c

e2

e1

Определить токи во всех ветвях и постро-

xL3

ить топографическую диаграмму комплек-

сов потенциалов, если:

R1 = 5 Ом;

b

xL1 = 8 Ом; R2 = 4 Ом; xC 2 = 4 Ом;

R3 = 6 Ом; xL3 = 4 Ом.

Решение:

Задачу решаем методом узлового напряжения:

U ab

=

E1Y1 + E2Y 2 ;

E1

= 100;

E2 = 80e− j30° = 69,3 − j40;

Y1 + Y 2 + Y 3

Y1 =

1

=

R1

1

=

1

=

1

= 0,106e− j58° = 0,0562 − j0,09;

Z1

+ jxL1

5 + j8

9,43e j58°

Y 2 =

1

=

R2

1

=

1

=

1

= 0,177e j45° ;

Z 2

− jxC 2

4 − j4

5,66e− j45°

Y 3 =

1

=

R3

1

=

6

1

=

1

= 0,139e− j33°42′ =

Z 3

+ jxL3

+ j4

7,215e j33°42′

= 0,115 − j0,077;

U ab

=

10,6e− j58° + 19,73e− j73°25′

=

19,9e− j15°15′

=

0,298e− j8°05′

0,298e− j8°05′

= 66,8e− j7°10′ = 66,2 − j8,22;

I1 =

E1 − U ab

= 100 − 66,2 + j8,22

= 33,8e j14°05′

= 3,58e− j43°55′ ;

Z1

9,43e j58°

9,43e j58°

I 2 =

E2 − U ab

= 69,3 − j40 − 66,2 + j8,22 =

31,78e− j84°54′

= 5,62e− j39°54′ ;

Z 2

5,66e− j45°

5,66e− j45°

31

I 3	=	U ab	=	66,8e− j7°10′	= 9,27e− j40°52′.
				7,215e j33°42′
		Z 3
Мгновенные значения токов:
					i1 = 3,58		′
						2 sin (ωt − 45°55 );
					i2 = 5,62		′
						2 sin (ωt − 39°54 );
					i3 = 9,27	2 sin (ωt −	′
							j40°52 ).

Для построения топографической диаграммы рассчитываем потенциалы точек схемы, при-

няв ϕ b = 0.

+j

b

ϕg = ϕ b + E1 = 100;

ϕn = ϕ g − R1 I1 = 100 − 13 + j12,5 = 87 + j12,5;

ϕ a = ϕ n − jxL1 I1 = 87 + j12,5 − j20,8 − 20 = 67 − j7,3;

ϕ d = ϕ a + R2 I 2 = 67 − j7,3 + 17,2 − j14,4 = 84,2 − j21,7;

ϕ m = ϕ d − jxC 2 I 2 = ϕ b + E2 = 69,3 − j40; ϕ c = ϕ b + jxL3 I 3 = j4(7 − j6,08) = 24,4 + j28.

mI=1 A/см

mU=10 B/см

c

n

E1

g +1

a

I1

I2

d

I3 m

32

Задачи

2.16. r1 = 6 Ом,

i

i1

r2 = 3 Ом,

r

L

L = 1,4 мГн,

u

f = 500 Гц.

C

i2

r2

При каком значении емкости ток в ветви с

катушкой будет в три раза больше тока в

ветви с конденсатором.

Определить Z цепи.

2.17. r1 = 6 Ом, x1 = 22 Ом, r2 = 10 Ом,

x2 = 20 Ом, r3 = 30 Ом, x3 = 10 Ом,

х1 r2

r3

U = 200 В.

u

х3

х2

Определить токи в ветвях и написать их

мгновенные значения. Определить P и Q.

r1

Построить векторную диаграмму напря-

жений и токов.

2.18. Z1 = Z2 = 3 + j4 , Z3 = 12 + j6,

E1

E2

E1 = 400 , E2 = 400e

j53°

.

Определить токи в ветвях методом узло-

Z1

Z2

Z3

вых потенциалов.

2.19. e1 = 141 sin(ωt) ,

Z2

e = 70,5 sin(ωt + 20°) ,

Z1

2

E1

Z1 = 15 + j20 Ом,

E2

Z2 = Z3 = Z4 = 9 − j12 Ом.

Z3

Z4

Найти мгновенное значение тока через Z1

методом эквивалентного генератора.

2.20. I1 = 5,56 А, I3 = 5 А, I5 = 3 А.

А1

А3

Определить показания амперметров А2, А4.

А2

А4

А5

С

r

L

33

2.21. r1 = 5 Ом, r2 = 4 Ом, xL2 = 3 Ом,		r1		i3
xL3 = 8 Ом, r3 = 6 Ом. К зажимам цепи
			r2
включено синусоидальное напряжение,
U = 100 В.	u			r3
Найти токи в ветвях схемы. Построить			L2
				L3
векторную диаграмму.
		i1

2.22. r1 = 26,7 Ом,			i3
x1 = 43,3 Ом,	r1	x1	r2	r3
r2 = 40 Ом,
	u
x2 = 40 Ом,		x2	x3
r3 = 20 Ом,		i1
x3 = 20 Ом. К зажимам цепи включено
синусоидальное напряжение, U = 100 В.
Найти токи в ветвях системы. Построить
векторную диаграмму.

2.23. i2 =12 2 sin(ωt) ,		L1	i3
xL2 =100 Ом,		r2
xC = 20 Ом,
xL1 = 22,5 Ом,	u	L2	C3
r2 = 40 Ом.
Определить токи в ветвях системы, на-		i1
пряжение U и u(t) . Построить вектор-
ную диаграмму.
2.24. U = 260 В,		х1
r1 =10 Ом,
r2 = 200 Ом,	u	r2	i3
x1 = 200 Ом,
			x3
x =100 Ом.		i2
3		r1
Определить токи в ветвях схемы. Постро-
ить векторную диаграмму.

34