2.8.4. Расчет цепей со взаимоиндукцией. Индуктивно связанные элементы

Если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению э.д.с. в другом элементе, то эти два элемента индуктивно связаны, а возникающая э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции.

Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи

K =	M		,
	L L
	1	2

где М – взаимная индуктивность элементов цепи, L1 и L2 – индуктивности элементов.

При расчете цепей с взаимной индуктивностью следует на схеме отметить стрелками выбираемые положительные направления токов в ветвях (или контурных токов). Кроме того, одинаковыми условными значками (звездочками, точками, буквами и т.п.) обозначить одноименные зажимы каждой пары индуктивно связанных катушек.

Одноименными называются такие зажимы, при одинаковом положительном направлении токов относительно которых, магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются.

Пример 4.1

При направлении тока i1 от зажима a к зажиму b и тока i2 от зажима c к зажиму d магнитные потоки самоиндукции Ф11 и Ф22 и взаимной индукции Ф12 и Ф21 суммируются. Поэтому зажимы а и с одноименные.

Для катушек, показанных на Рис. 9б, одноименными будут зажимы a и d.

	Ф11		Ф21		Ф11	Ф21
	1		2		1	2
a *	b	c *	d	a *	b c	d *
	Ф12		Ф22		Ф12	Ф22

Рис. 9.а. Рис. 9.б.

Комплексное сопротивление взаимной индукции: ZM = jωM = jxM .

При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек эквивалентное комплексное число сопротивления определяется по формуле:

Z = Z1 + Z2 ± 2 Z12 , где Z12 = jωM12.

Знак (+) соответствует согласному включению катушек, а знак (-) – встречному

(Рис. 10а, 10б).

M12

	*		*
R1	L1	L2	R2
e

Рис. 10.а.

	*	M12	*
R1	L1	R2	L2
e
	Рис. 10.б.

43

При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек эквивалентное комплексное сопротивление:

	Z Z		2		− Z 2
Z =		1			12	.
	Z	+ Z		2	2Z
1					12

Знак (-) ставится при согласном включении, знак (+) – при встречном.

Расчеты разветвленных индуктивно связанных цепей можно вести по законам Кирхгофа или методом контурных токов. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, э.д.с. взаимной индукции учитывают, как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряже-

ния ± jωM KS I S на элементе определяется так: если направление обхода элемента К и на-

правление тока в элементе S одинаковы относительно одноименных зажимов, то берется знак (+), если не одинаковы, то берется знак (-).

Пример 4.2 Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи рис. 11:

I1 + I 2 + I 3 = 0;

I1 (R1 + jxL1 ) − I 2 jxM12 − I 3 jxM13 − I 2 jxL2 + I1 jxM 21 − I 3 jxM 23 =

= E1 − E2;

I 2 jxL2 − I1 jxM 21 + I 3 jxM 23 + I3 ( jxL3 − jxC ) − I1 jxV 31 + I 2 jxM 32 = E2.

R	*	хL1	M13
		M12 * M23	xL3
		хL2	*
E1			хC
		E2

Рис. 10.

При составлении уравнений методом контурных токов необходимо учитывать направление контурных токов по отношению к одноименным зажимам.

Для схемы (Рис. 11) система уравнений имеет вид:

I11Z11 + I 22 Z12 = E11,

I11Z 21 + I 22 Z 22 = E11;

где Z11 = R1 + jxL1 + 2 jxM12 + jxL2;

Z 22 = jxL2 + j (xL − xC ) + 2 jxM 23;

Z12 = Z 21 = − ( jxL2 + jxM12 + jxM 23 ) − jx13.

Катушки 1 и 2, 2 и 3 включены согласно, но токи I11 и I22 протекают по смежной ветке в разных направлениях, катушки 1 и 3 включены встречно.

Задачи

4.1. U = 130 В, r1 = r2 = 3 Ом, x1 = 4 Ом, x2 = 10 Ом, xC = 10 Ом, xM = 1 Ом.

44

Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и ток.

			r1	x1
				*
		U	M		xC
			r2	x2
					*
4.2. r1 = 2 Ом,	r2 = 4 Ом,	x1 = 6 Ом, x2 = 4 Ом, xM = 1 Ом, U =100 В.
Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и тока.
			r1	x1
				*
		U	M	x2
			r2
				*
4.3. r1 = 2 Ом,	r2 = 4 Ом,	x1 = 3 Ом, x2 = 7 Ом, xM =1 Ом, U =130 В.
Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и тока.
			r1	x1	*
		U	M	x2
			r2
				*
4.4. r1 = r2 = r3 = 2 Ом, x1 =10 Ом, x2 =1 Ом,					xM = 2 Ом, U = 100 В.
Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и тока.
			r1	x1	*
		U	M		r3
			r2	x2
					*
4.5. r1 = 2 Ом,	r2 = 3 Ом,	xC = 5 Ом, x1 = 8 Ом, x2 = 7 Ом, xM =1 Ом, U =100 В.

45

Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и тока.

r1	x1
	*
U M	xC
r2	x2

*

4.6. r1 = 2 Ом, r2 = 3 Ом, xC = 2 Ом, x1 =10 Ом, x2 = 6 Ом, xM = 1 Ом, U =130 В. Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и тока.

r1	x1
	*
U M	xC
r2	x2
	*
4.7. r1 = r2 = 2 Ом, r = 1 Ом, x1 = 6 Ом,	x2 = 5 Ом, xC = 2 Ом, xM = 2 Ом, U = 100 В.

Определить I , построить векторную диаграмму напряжений и тока.

r1 x1 *

U	M	r
C	r2	x2
		*

4.8. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

L1 L2 L3

а

б в

г д

е

4.9. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

46

L1 L2 L3

а

б в

г д

е

4.10. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

L1 L2 L3

а

б в

г д

е

4.11. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

L1 L2 L3

а

б в

г д

е

4.12. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

L1

L2

L3

а

б в

г д

е

4.13. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

47

L1

L2

L3

а

б в

г д

е

4.14. Определить одноименные зажимы катушки. Составить эквивалентную схему соединения катушек.

а

б в

г L3

L1	L2	д	е

4.15. Составить уравнения для расчета токов:

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

	*
	L1 *	C	L3
r1	М12	L2
			*
	e1	М23
		e2	r2
	i1	i2	i3

4.16. Составить уравнения для расчета токов:

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

*	L1		М13	*
C			L2	L3
М12
		*
			М23
				r2
e1		r1
			e2
i1				i3
			i2

4.17. Составить уравнения для расчета токов:

48

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

	L1	*	r3
r1		*	L2	L3
	М12
				*
			М23
	e1	r2		C
			e2
	i1			i3
			i2

4.18. Составить уравнения для расчета токов:

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

	* L1	М13		*
r1	М12	L2		L3
		*
			М23	C
	e1	r2
	i1	i2		i3

4.19. Составить уравнения для расчета токов:

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

	L1	*	М13	*
			*
r1	М12		L2	L3
			М23	C
	e1	r2
			e2
	i1			i3
			i2

4.20. Составить уравнения для расчета токов:

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

49

		L1 *	*	r3	L3
r1	М12		L2
					*
				М23
	e1	r2		e2
	i1	C	i2		i3

4.21. Составить уравнения для расчета токов:

1)по законам Кирхгофа;

2)методом контурных токов.

L4

*

L1

M14

M24

L2

M23

L3

*

M12

*

*

r1

r2

r3

i1

e1

i

2

e2

i3

4.22. r1 = r2 = 30 Ом, U = 60 В, x1 = x2 = 30 Ом,

K = 0,5. Определить показания ампер-

метра.

4.23. r1 = r2 = 1 Ом, xM = 2 Ом, xL1 = 10 Ом,

xL2 = 5 Ом, xC1 = 5 Ом, xС2 = 10 Ом,

E = 30 , E = 30e90° . Определить токи в цепи и потребляемую мощность.

1

2

r1

M12

r2

e1

xL1

xL2

e2

*

*

xC1

xC2

4.24. Z = 20 + j20, U

L

= 220 В, U

ab

= 220e j30°

,

x

L

= 10 Ом, x = 5 Ом. Определить

M

линейные и фазные токи, фазное напряжение.

50