Математика РГР
.pdf
|
|
Пусть х(t) X ( p), |
y(t) Y ( p) . По теореме о дифференцировании ори- |
|
|
гинала получим |
|
х (t) pX ( p) x(0) pX ( p) 1,
y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 1.
Следовательно, операторная (изображающая) система имеет вид:
pX ( p) 1 3X ( p) 4Y ( p) 0,pY ( p) 1 4X ( p) 3Y ( p) 0.
Из первого уравнения определяем |
Y ( p) |
pX ( p) 3X ( p) 1 |
и подставляем |
||||||||||
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
во второе уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p pX ( p) 3X ( p) 1 |
1 4X ( p) |
3 pX ( p) 3X ( p) 1 |
0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
p2 X ( p) 25X ( p) p 7 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X ( p) |
p 7 |
, |
X ( p) |
|
p 7 |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
5)( p |
|
|
|
|
||||||
|
|
p2 25 |
|
|
( p |
5) |
|
|
|
|
Представим дробь в виде суммы простых дробей:
p 7 |
|
|
A |
|
B |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( p 5)( p 5) |
p 5 |
p 5 |
|
|
|
|||||
p 7 A( p 5) B( p 5), |
|
|
|
|
|
|||||
p 5 : 12 10 A, |
|
A |
6 |
, |
|
|
||||
|
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p 5 : |
2 10B, |
|
B |
1 |
. |
|||||
|
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
X ( p) |
6 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
||||||||
5 |
p 5 |
5 |
p 5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По таблице изображений находим |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x(t) |
6 |
e |
5t |
|
1 |
|
e |
5t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ( p) |
|
|
p 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
p2 25 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y ( p) |
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
p 5 |
5 |
p 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
y(t) 53 e5t 52 e5t .
Частное решение системы
|
6 |
|
|
5t |
|
1 |
|
|
5t |
|
|
x(t) |
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
, |
|
5 |
|
5 |
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
5t |
|
|
|
5t |
|
||||
y(t) |
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
13. Найти область сходимости степенного ряда
Ґ |
x 5 n |
|
|
е |
|
. |
|
(2n 1)3n |
|||
n1 |
|
|
Решение. |
Введем |
новое |
переменное |
t x 5 |
и получим |
ряд |
|||||||||||||||||||||||
Ґ |
t n |
|
|
|
где an |
|
1 |
|
|
an1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
е |
|
|
|
|
, |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
(2n 1)3n |
(2n 1)3n |
(2(n 1) 1)3n1 |
(2n |
1)3n1 |
||||||||||||||||||||||||||
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найдем радиус сходимости степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
1 (2n 1) 3n 3 |
|
|
2n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R lim |
|
|
|
|
|
lim |
3 lim |
3 lim |
|
|
|
|
n |
|
3 |
1 3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n Ґ |
an1 |
|
|
|
n Ґ (2n 1) 3n 1 |
n Ґ 2n 1 |
|
n Ґ |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
t n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, интервал |
сходимости |
ряда е |
|
|
(–3; 3), |
то |
есть |
||||||||||||||||||||||
(2n 1)3n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ( 3;3) .
Выясним вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала.
При t 3 ряд принимает вид
92
Ґ |
( 3)n |
Ґ |
( 1)n 3n |
Ґ |
( 1)n |
|
е |
|
е |
|
е |
|
. |
(2n 1)3n |
(2n 1)3n |
|
||||
n1 |
n1 |
n1 |
2n 1 |
Получили числовой знакочередующийся ряд, применим к нему признак Лей-
бница:
1) lim a |
|
|
|
lim |
1 |
|
|
1 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
nҐ |
|
|
|
|
nҐ 2n 1 |
|
|
Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) a |
|
a |
|
|
a |
|
|
..., в самом деле, 1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Значит, ряд сходится и t 3 – точка сходимости ряда. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
получаем ряд |
|
|
|
|
|
(u) . Сравним его с гармоническим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
е 2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ґ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рядом (v) |
|
|
е |
|
|
|
, который расходится. Применим предельный признак срав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
un |
|
lim |
|
|
|
1 n |
|
lim |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
nҐ v |
n |
|
|
|
|
|
nҐ (2n 1) |
1 |
nҐ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
1 |
|
|
|
|
Значит, оба ряда ведут себя одинаково, то есть ряд (u) |
е |
|
|
|
расходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и t 3 – точка расходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
t n |
|
|
|
|
|||
Таким образом, область сходимости для ряда е |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 (2n 1)3n |
|
|||||||
3 t 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Перейдем к переменному х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 x 5 3 или 5 3 x 5 3; |
2 x 8 . |
|
|
|
|
|
|
Ответ: Область сходимости x 2;8 .
93
14. а) Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диф-
ференциального уравнения |
y |
|
xy |
|
|
|
|
x |
, y(0) |
|
0 (записать три |
|||||
|
|
y e |
1, y (0) |
|||||||||||||
первых, отличных от нуля, члена этого разложения). |
|
|||||||||||||||
Решение. Так как по условию x0 0 , то искомое частное решение y(x) |
||||||||||||||||
можно записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
y(x) y(0) |
y (0) |
x |
y (0) |
x2 |
|
(0) |
x3 ... |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
Из начальных условий уже известны y(0) и y (0) . Подставив эти значения в
заданное уравнение, вычислим y (0) :
y (0) 0 0 1 e0 0.
Последовательно дифференцируя данное уравнение, будем иметь:
y (x) y xy y e x xy e x ; y(IV ) (x) y xy e x .
Теперь вычислим значения производных при x 0 :
y (0) 1; y(IV ) 1.
Следовательно, y(x) 1 10! x 20! x2 31! x3 41! x4 ... или
y(x) 1 16 x3 241 x4 ...
есть искомое частное решение.
14. б) Используя разложение подынтегральной функции в степенной
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
||
ряд, вычислить интеграл |
|
|
|
с точностью до 0,001. |
||||
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|||||
1 x 2 |
||||||||
0 |
|
|
|
94
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
2 |
|
|
dx |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
1 x2 |
3 dx . |
||||||
|
|
|
|||||||||
3 1 x2 |
|||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого ис-
пользуем ряд
1 x m 1 |
m |
|
x |
m(m 1) |
x2 |
m(m 1)(m 2) |
x3 |
..., |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
||||||
где 1 x 1. Положим m |
1 |
|
и заменим х на x2 : |
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 x2 3 1 |
x2 |
|
x4 |
x6 |
... |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
9 |
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так как отрезок интегрирования |
|
1 |
принадлежит области сходимо- |
|||||||||||||||||||
0; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
сти полученного ряда ( 1;1) , то будем интегрировать почленно в указанных пределах:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
14 |
|
|
|
|
x3 |
2x5 |
|
14x7 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
x6 |
... dx x |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
3 1 x2 |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
81 |
|
|
|
9 |
|
45 |
|
567 |
|
0 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
72 |
|
|
|
720 |
|
36288 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолют-
ному значению меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
39 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0,4875. |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
72 |
720 |
80 |
||||||||||
3 1 x2 |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. |
Дана |
|
функция |
двух |
переменных z x2 xy y2 9x 6 y 20. |
Найти:
1) экстремум функции z(x; y) ;
95
2)gradz в точке А(1; –2);
3)наибольшую скорость возрастания z(x; y) точке А(1; –2).
Решение. 1) Для отыскания экстремума функции z(x; y) предваритель-
но найдем частные производные первого и второго порядка:
z |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
xy y |
|
9x 6 y 20 x 2x y 9, |
|
x |
zx x |
|
|
||
z y x2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
z |
xy y 2 |
9x 6 y 20 y x 2 y 6. |
|||
y |
|
|
|
|
|
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
2x y 9 0, |
2x 9 y, |
|
|
|
y 2x 9, |
|
|
|
|
0, |
|
9) |
6 |
0, |
|
6 |
0, |
x 2 y 6 |
x 2(2x |
x 4x 18 |
||||||
y 2x 9, |
y 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 12 0, |
x 4. |
|
|
|
|
|
|
Решением системы является точка М(–4; 1). Точка М(–4; 1) называется подо-
зрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М:
2 z |
|
|
x2 |
z xx |
|
|
|
|
2 z |
|
|
y 2 |
z yy |
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
z xy |
x y |
z x 2x y 9 x 2,
x
z y y x 2 y 6 y 2,
|
|
|
|
2x y 9 y 1. |
|
z x y |
Из них составим определитель второго порядка
|
2 z |
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x y |
|
|
2 |
1 |
|
4 1 3. |
|
2 z |
|
2 z |
|
1 |
2 |
|
|||
|
x y |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
96
Так как 3 0 , то в точке М(–4; 1) есть экстремум. Производная
2 z 2 0 , а, значит, это точка минимума функции.
x2
zmin ( 4)2 ( 4) 1 12 9 ( 4) 6 1 20 1.
2) Градиент функции z найдем по формуле:
|
|
gradz |
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
x |
i |
y |
j , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
и |
z были найдены в пункте 1. |
|
|
|
|||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gradz (2x y 9)i ( x 2y |
6) j . |
|
|
|||||
Градиент функции z в точке А(1; –2): |
|
|
|
|||||||
|
|
gradz( A) |
(2 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
( 2) 9)i ( 1 |
2 ( 2) 6) j |
13i |
11 j . |
3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиен-
та:
gradz( A) 132 ( 11)2 290 .
16. а) |
Найти |
объем |
тела, |
ограниченного |
параболоидом |
x2 y 2 2(z 4) , цилиндром x2 |
y 2 4 |
и плоскостью z 0 (z 0) , через |
|||
тройной интеграл, применяя цилиндрическую систему координат. |
|||||
Решение. |
Сделаем |
чертеж, |
учитывая, что вершина |
параболоида |
x2 y 2 2(z 4) находится в точке В(0; 0; 4), радиус окружности в плоско-
сти хОу равен 22 , осью цилиндра x2 y 2 4 является ось Оz, радиус по-
перечного сечения равен 2, а уравнение z 0 описывает координатную плос-
кость хОу.
97
Рисунок 11 – Построение данного тела
Объем полученного тела найдем через тройной интеграл по формуле
V dv .
V
С учетом характера области интегрирования V вычисления удобно вести в цилиндрических координатах ; ; z .
Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеет вид:
x cos , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y sin , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z, |
|
|
|
|
|
|
|
где угол равен углу между осью Ох (х>0) и OM |
|
, |
OM |
|
и |
|
и |
|
|
z M M |
0 2 , 0 Ґ, Ґ z Ґ.
98
Рисунок 12 – Декартова и цилиндрическая система координат точки М
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим координатам
I .
Для вычисления объема тела в цилиндрической системе координат справедлива следующая формула:
V d d dz
V
или
|
2 |
z2 |
V d d dz . |
||
|
1 |
z1 |
В нашем случае (см. рис. 11) 0 2 , 0 2, а z находим из уравнения параболоида, учитывая цилиндрические координаты:
2 |
2(z 4), |
z 4 |
2 |
, z 4 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
и, таким образом, |
|
0 z |
4 |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
С учетом вышесказанного имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|||
V d d |
dz d d (z) |
|
0 |
|
|
|
|
|
d d |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (2 4 2) |
6 d |
|||||||
d 4 |
2 |
|
|
d |
d |
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
6 |
|
2 |
12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ответ: V 12 ед3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
16. б) Найти объем тела, ограниченного сферой x2 y 2 z 2 9 и ко-
нусом x2 y 2 z 2 0 z 0 , через тройной интеграл, применяя сфериче-
скую систему координат.
Решение. Сделаем чертеж, учитывая, что центр сферы находится в начале координат (0; 0; 0), радиус равен 3; осью вращения конуса является
ось Оz, а угол между осью Оz и образующей конуса равен |
|
(так как кано- |
|
|
|
4 |
|
ническое уравнение конуса вращения x2 y 2 tg 2 z 2 |
0, |
где – угол |
|
между образующей конуса и осью вращения Оz). |
|
|
|
Рисунок 13 – Построение данного тела
С учетом характера области интегрирования V вычисления удобно вести в цилиндрических координатах ; ; r .
Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеет вид:
x r cos sin ,y r sin sin ,
z r cos ,
100