Математика РГР
.pdfгде угол равен углу между осью Ох (х>0) и OM , угол равен углу между
осью Оz (z>0) и OM , r OM и 0 2 ,
0 , 0 r Ґ.
Якобиан перехода от декартовых координат к
цилиндрическим координатам |
I r 2 sin |
. |
|
Для вычисления объема тела в сфериче-
ской системе координат справедлива следую-
щая формула:
|
|
2 |
r2 |
V r 2 sin d d dr d sin d r 2 dr . |
|||
V |
|
1 |
r1 |
Рисунок 14 – Декартова и сфери-
ческая система координат точки
М
В нашем случае (см. рис. 14) 0 2 , 0 4 , 0 r 3 и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
4 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
V d sin d r 2 dr d sin d |
|
|
|
|
|
d sin d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9 d ( cos ) |
|
0 |
9 d |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
9 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: V 9 2 2 ед3.
17. а) С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра
тяжести фигуры (меньшей по площади), ограниченной эллипсом |
х2 |
|
у 2 |
1 |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
25 |
|
9 |
|
||
и прямой |
х |
|
у |
1 (поверхностную плотность считать равной единице). |
|
|||
|
|
|
||||||
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Решение. В случае однородной пластины, занимающей область |
D |
|||||||
плоскости хОу, координаты центра тяжести x, y находят по формулам: |
|
|
101
|
x |
1 |
xdxdy, |
y |
1 |
ydxdy, |
|
|
|
||
|
|
S |
|
|
|
||||||
|
|
S |
D |
|
D |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где S – площадь области D , |
|
|
|
||||||||
|
S dxdy . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
||||||||
|
В рассматриваемом случае фигура ограничена кривыми y |
25 x2 |
|||||||||
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x 5. |
|
|
|
|
||
и |
y 3 1 |
|
|
при 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 15 – Эллипс и прямая
Поэтому
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
|
25x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
S dxdy dx |
|
|
|
dy |
|
25 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
0 |
|
|
|
|
x |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
5 |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
25 x |
|
dx |
|
3x |
10 |
|
|
|
|
|
5 |
25 x |
|
dx . |
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный интеграл вычислим заменой переменной.
102
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 5costdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
25 x2 dx |
t1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 25sin 2 t 5costdt 15 cos2 tdt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
1 cos2t |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
sin 2t |
2 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
15 |
|
( 2) . Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
25x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
xdxdy |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
15( 2) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 25 x 2 |
3x 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
15( 2) |
5 |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 25 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
25( 2) |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5( 2) |
0 |
|
|
Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены пере-
менной:
|
|
|
|
|
|
|
z 25 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dz 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
z 2 |
|
|
|
125 |
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
25 x 2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dz xdx |
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
z1 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
125 |
|
|
4 |
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
5 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
25( 2) |
|
3 |
|
|
|
|
5( 2) |
|
|
2 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
3( 2) |
|
3( 2) |
|
|
3( 2) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Наконец, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
25x2 |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
ydxdy |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
ydy |
|
||||||||||||||||
S |
15( 2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
5 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 x2 9 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15( 2) |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
12 |
|
|
|
5x |
2 |
|
|
x3 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
125( 2) |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. б) С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра |
||||||||||||||||||||||||||
тяжести фигуры, |
ограниченной линиями y2 x 9, |
y2 3x 9 (поверх- |
|||||||||||||||||||||||||||
ностную плотность считать равной единице). |
|
Решение.
Рисунок 16 – Две параболы
Поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то у 0 . Вычислим
x |
1 |
|
xdxdy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S |
|
|
dxdy 2 |
|
dу |
|
dх 2 |
|
|
|
|
9 у 2 |
у 2 |
9 |
dу 48; |
|
|
D |
|
0 |
|
|
у2 9 |
0 |
3 |
|
|
|
|
104
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 у2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
9 у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
х 2 |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
х |
|
|
|
2 dу |
|
хdх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dу |
|
|
|
|
|
9 у 2 |
у 2 9 |
|
dу |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
48 |
|
0 |
|
|
у2 9 |
24 |
0 |
2 |
|
|
|
у2 9 |
|
|
|
48 |
0 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
у 4 16 у 2 72 dу |
|
|
|
|
|
|
у5 |
16 |
|
72 у |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
48 |
0 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, х 2,4; у 0 .
|
18. |
Вычислить |
|
работу, |
совершаемую |
переменной |
силой |
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
x2 3xy i |
|
|
x2 |
y j |
по контуру, связывающему точки М(1; 1) и N(2; |
||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3), и установить независимость от пути интегрирования.
Решение. Для того, чтобы найти работу, совершаемую переменной си-
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
лой F |
x2 |
3xy i |
|
|
x2 |
y |
j |
, вычислим криволинейный интеграл |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
А |
x2 3xy dx |
|
x2 |
y dy |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
по контуру, соединяющему точки М(1; 1) и N(2; 3).
Выберем в качестве контура интегрирования наиболее простой контур,
связывающий точки М и N, например, ломаную, звенья которой параллель-
ны осям координат.
105
Рисунок 17
Имеем |
на |
первом |
участке |
у 1, dy 0, 1 x 2 , |
на |
|
|
втором участке |
|||||||||||||||||||
x 2, dx 0, 1 y 3. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
x2 3x dx |
3 |
|
|
3 |
|
3x |
2 |
|
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
А |
|
|
(6 y)dy |
x |
|
|
|
|
|
6 y |
|
|
|
|
22 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В данном случае выполнено условие независимости криволинейного |
|||||||||||||||||||||||||||
интеграла от пути интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P |
|
|
Q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где P x2 3xy , Q |
3 |
x2 y . Действительно, |
|
P |
3х, |
Q |
3х . |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
y |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. Найти циркуляцию векторного поля |
F (x 2y |
5z) j |
вдоль линии |
пересечения L плоскости S4 : 2x y 2z 6 0 с координатными плоско-
стями непосредственно и по формуле Стокса (точка пробегает полученную линию против часовой стрелки, если смотреть от начала координат).
Решение. 1) Вычислим циркуляцию |
|
по контуру L непосредственно |
|||
F |
|||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц Fdr Fdr |
Fdr |
Fdr , |
|
|
|
L |
AB |
BC |
CA |
|
|
Fdr |
Pdx Qdy Rdz. |
|
|
|
|
AB |
AB |
|
|
|
|
106
Рисунок 18 – Построение направленной линии L
В нашем случае P R 0, Q x 2y 5z и уравнение АВ: z 0,
2x y 6 , откуда y 6 2x и dz 0, dy 2dx , причем x 3;0 . Поэтому
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
(x 12 4x)2dx 2 ( 3x 12)dx 6 (x 4)dx |
||||||||||||||||||||||
Fdr |
|
||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
15 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
6 |
0 |
|
|
12 |
6 |
|
|
45. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ВС: x 0 , y 2z 6 , |
y 6 2z и dx 0, dy 2dz , и z 0;3 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
(x 2 y 5z)dy ( 12 4z 5z)( 2)dz 6 (3z 4)dz |
||||||||||||||||||||||
Fdr |
|
||||||||||||||||||||||||
BC |
|
|
|
DC |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3z |
2 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4z |
|
6 |
|
|
|
12 |
6 |
|
|
9. |
||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СА: y 0, dy 0 .
Fdr (x 2 y 5z)dy 0 .
CA CA
Окончательно Ц 45 9 54 .
2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса.
|
|
|
|
ds , где S S1 S2 |
S3 |
|
|
|
||||
Ц rotF |
n |
0 |
|
|
|
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
S : z 0, n0 |
k ; S |
2 |
: y 0, n |
0 |
j; S |
3 |
: x 0, n |
0 |
i |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предварительно найдем ротор вектора F |
|
(x 2y 5z) j : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
rotF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
y |
|
z |
|
j |
x |
|
z |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 5z |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x 2 y |
5z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
5i k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 x 2 y 5z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
За поверхность, натянутую на контур, берем поверхность |
S S1 S2 S3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ц rotF ( k )ds rotF |
( j )ds |
rotF |
i ds ( 5i |
k ) ( k )ds |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( 5i |
k ) |
( j )ds ( 5i k ) i ds ds 0 5 ds S1 |
5 S3 ( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
S3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
6 3 5 |
|
1 |
6 3 9 45 54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S |
|
– площадь OAB , |
S |
|
|
|
– площадь OBC ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Найти поток векторного поля |
|
|
(x 2y |
|
|
через треугольник, кото- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
|
5z) j |
рый получается в сечении плоскости S4 : 2x y 2z 6 0 координатными плоскостями в направлении вектора нормали, образующего с положитель-
ным направлением оси 0Z острый угол. Найти поток векторного поля |
|
че- |
||||
F |
||||||
рез замкнутую поверхность, образованную плоскостью S4 и координатными |
||||||
плоскостями в направлении внешней нормали. |
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
1) ABC на рисунке является сечением плоскости S4 координатными |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскостями. |
Поток поля F через этот треугольник можно вычислить по |
|||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
P x, y, z 'x Q x, y, z 'y |
R x, y, z 'z |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
||||
' |
|
|
|
|
||
ABO |
z |
|
|
z f x, y |
|
|
|
|
|
|
|
108
|
В этой формуле P,Q, R - коорди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
наты векторного поля. По условию за- |
z |
||||||||
дачи |
P x, y, z R x, y, z 0 , |
а |
|
|
|
|
|
|
|
Q x, y, z x 2y 5z . |
|
C |
|||||||
|
x, y, z 0 - уравнение поверхно- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сти, через которую вычисляется поток. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
В нашем случае это плоскость |
S4 , по- |
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
||||||
этому |
x, y, z 2x y 2z 6 . Отсюда |
O |
|
|
|
|
|||
|
|
||||||||
' 1, а ' 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
x |
||||||
|
Перед формулой следует |
брать |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
знак «+», так как по условию задачи направление вектора нормали образует острый угол с осью 0Z. После подстановки найденных выражений в формулу, получим
B y
y
B
|
x 2 y 5z |
|
2 |
||
ABO |
||
|
dxdy
z f x, y
Далее |
z f x, y получается из уравнения |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
нашей поверхности, если из него выразить перемен- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
ную z . Таким образом, z |
6 2x y |
. Необходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
подставить это выражение на место переменной z в |
A |
|
O |
||||||
формулу для потока. После простых преобразова- |
|
|
|
|
|
|
|||
ний получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, 75 3x 2, 25y dxdy |
|
|
|
|
|
|
||
ABO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, задача свелась к вычислению двойного интеграла. Область интегрирования - ABO . Этот треугольник получается проецированием
на плоскость 0xy.
Изобразим ABO на координатной плоскости 0xy на отдельном рисунке. Из рисунка видно, что для области интегрирования 3 x 0 . Снизу область ограничена графиком y 0 , а сверху прямой y 2x 6 . Таким образом, можно записать двойной интеграл в виде повторного:
0 |
2 x 6 |
dy 3, 75 3x 2, 25y |
dx |
|
|
3 |
0 |
|
Осталось вычислить этот интеграл, начиная с внутреннего интеграла по y:
0 |
2 x 6 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
dx |
|
dy 3, 75 3x 2, 25y dx 3, 75y 3xy 1,125y2 |
|
|
2 x 6 |
|
3 |
|
x2 x 12 dx 33, 75 |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||
3 |
0 |
3 |
|
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2) Для вычисления потока через замкнутую поверхность тетраэедра ABOC воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса, согласно которой
divFdxdydz
ABOC
109
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для дивергенции |
|
F получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
divF |
P |
|
Q |
R |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 dxdydz 2 dxdydz 2 VABOC 2 |
1 |
SABO |
|
OC |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ABOC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABOC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
OB |
|
|
|
OA |
|
|
|
OC |
|
2 |
1 |
|
1 |
6 3 3 18 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
Дано |
|
векторное поле |
V |
z 2i (z 2 |
2 y) j |
(2xz 2 yz)k и точки |
M1(2;2; 1) , M 2 (6;1;1) и M 3 (1;1;2) .
1)Показать, что поле V – потенциальное.
2)Найти потенциал U (x; y; z) , если известно, что U (0;0;0) 30.
3)Найти работу поля между точками M1 и M 2 , M 2 и M 3 , M 3 и M1 и найти
циркуляцию по контуру M1 M 2 M 3 M1 .
Решение. 1) Одним из признаков потенциального поля является равен-
ство нулю ротора вектора поля.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
rotV |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
||
|
|
|
|
|||
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
Q |
|
R |
|
P |
|
|
R |
|
P |
i |
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
. |
|||
|
|
y |
|
|
|
x |
|
z |
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
В нашем примере P z |
2 , Q z 2 |
2y, R 2xz 2 yz и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
rotV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
y |
|
z |
|
||||
x |
|
|
y |
|
|
z |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 2 y |
2xz 2 yz |
|
|||||||||||||||
|
|
|
z 2 |
z 2 2 y |
2xz 2 yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j |
|
x |
|
z |
|
k |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
z 2 |
|
|
2xz 2 yz |
|
|
z |
2 2 y |
|
z 2 2 y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
(2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 |
0) 0. |
|
|
|
|
|||||||||
i |
2z) j |
(2z 2z) k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таким образом, |
rotV 0 и заданное векторное поле является потенци- |
альным.
110