Математика РГР
.pdfПостроим график функции.
Рисунок 3 – График искомой функции |
|
|
|
||
6. Провести полное исследование функции |
у |
х2 |
20 |
методами |
|
х 4 |
|||||
|
|
|
дифференциального исчисления и построить ее график.
Решение.
1) Область определения функции
D( y) x ( Ґ;4) (4; Ґ) .
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
lim |
f (x) lim |
x 2 |
20 |
Ґ; |
|
x 4 |
|||||
x4 0 |
x4 0 |
|
|||
lim |
f (x) lim |
x 2 |
20 |
Ґ. |
|
x 4 |
|||||
x4 0 |
x4 0 |
|
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.
3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.
71
|
|
у |
|
2х(х 4) (х2 20) |
|
|
х2 |
8х 20 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
(х 4)2 |
|
(х |
4)2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
х2 8х 20 |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(х 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
х2 8х 20 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
х1 2; х2 |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х |
|
Ґ; 2 |
|
–2 |
|
(–2; 4) |
|
|
4 |
|
(4; 10) |
10 |
10; Ґ |
|||||
f |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
– |
|
|
не |
|
– |
0 |
+ |
||
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
сущ. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уmax y( 2) 4; |
уmin y(10) 20 . |
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
y |
(2x 8)(x |
4)2 2(x 4)(x2 8x 20) |
|
|||||
|
(x 4)4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2(x 4) (x 4) |
2 (x2 8x 20) |
|
36 |
|
. |
||
|
(x |
4)4 |
|
(x 4) |
3 |
|||
|
|
|
|
Так как y 0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Оста-
ется выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:
|
|
|
|
|
|
х |
Ґ; 4 |
4 |
4; Ґ |
f |
|
– |
не |
+ |
(x) |
сущ. |
|||
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Исследование графика на |
|
наличие наклонных асимптот. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
20 |
|
||||
|
|
|
x2 |
20 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k lim |
f (x) |
lim |
lim |
|
|
|
|
|
x2 |
1; |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|||||||
xҐ |
x |
xҐ x2 |
4x |
xҐ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
72
|
|
x2 20 |
|
|
4x 20 |
|
|
b lim ( f (x) kx) lim |
|
|
x |
lim |
|
4. |
|
|
|
||||||
xҐ |
xҐ |
|
x 4 |
|
xҐ |
x 4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Таким образом, прямая y x 4 – наклонная асимптота графика.
6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).
По результатам исследования строим график.
Рисунок 4 – Гипербола
7. а) Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные z1, z2 , z z1 z2 , u z1 z2 изобра-
зить на комплексной плоскости; z1 и z2 , v z1 z2 , w z1 : z2 записать в по-
казательной и тригонометрической формах; найти 6w , записать в показа-
тельной и алгебраической формах и изобразить геометрически.
1 j z1 2z2 3 j;2 jz1 ( 1 j)z2 j.
73
Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам
Крамера |
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
, |
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
. Для этого вычислим главный определитель |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
системы |
и определители |
|
1, 2 , учитывая, что |
z x jy – комплексное |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j 2 1 |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
число, где |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 j |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
j j4 j2; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
3 j |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 j2 1 j2 4 j4; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
1 j |
|
|
3 j |
|
|
j 1 j6 2 1 j7. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим z1 и z2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z 1 4 j4 |
2 |
|
2 2 j2 (т.к. |
1 |
j ); |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z |
|
2 |
1 j7 |
|
|
1 |
|
1 |
3 |
1 |
3,5 j ( 0,5) 3,5 j0,5. |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
j |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме
записи:
z1 2 j2;
z2 3,5 j0,5;
в векторной форме записи
z1 ( 2; 2);z2 (3,5;0,5).
Для того, чтобы найти z z1 z2 в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел z1 и z2 :
z z1 z2 ( 2 3,5) j( 2 0,5) 1,5 j1,5.
Вектор, соответствующий числу z , строим как сумму векторов по правилу параллелограмма.
74
Для того, чтобы найти u z1 z2 в алгебраической форме, вычитаем действительные и мнимые части чисел z1 и z2 :
u z1 z2 2 j2 (3,5 j0,5) 2 3,5 j2 j0,5 5,5 j2,5.
Вектор, соответствующий числу u z1 z2 , записываем как сумму векторов z1 и ( z2 ) и u z1 ( z2 ) , строим его по правилу параллелограмма.
Рисунок 5 – Векторные диаграммы суммы и разности векторов z1 и z2
|
|
Найдем |
модуль |
r |
|
и |
|
аргумент |
|
комплексных |
чисел |
z1 и z2 ( |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
r |
x2 y 2 |
|
или |
|
|
r |
|
|
|
|
; |
arctg |
в 1 и |
4 |
четвертях; |
|||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1800 arctg |
|
y |
|
во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
аргумент был наименьшим по модулю). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Число z1 2 j2 принадлежит 3 четверти: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) 1800 arctg |
1800 450 1350 (аргумент z ); |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) sin sin 1350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
1: |
|
|
2 |
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) r 2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 2 |
2 2,83 |
(модуль z1 ). |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
Число z2 3,5 j0,5 принадлежит 1 четверти:
1)arctg 03,,55 arctg 17 8,130 ;
2)sin sin 8,130 0,14;
1 |
|
1 |
7,07; |
|
3) |
|
|
||
sin |
0,14 |
4) r 0,5 7,07 3,53.
|
|
|
Запишем числа |
z и z |
2 |
в показательной |
z re j |
и тригонометриче- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ской z r(cos j sin ) формах: |
|
|
||||||||||
z |
|
2,83e j1350 , |
z |
2,83(cos( 1350 ) j sin( 1350 )); |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
3,53e j8,130 , |
z |
2 |
3,53(cos8,130 j sin 8,130 ). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v z |
z |
2 |
2,83e j1350 |
3,53e j8,130 9,99e j( 1350 8,130 ) 9,99e j126,870 , |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v 9,99(cos( 126,870 ) j sin( 126,870 )),
так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а ар-
гументы складываются.
w z1 : z2 2,83e j1350 : 3,53e j8,130 3,532,83e j( 1350 8,130 ) 0,8e j143,130 ,
w 0,8(cos( 143,130 ) j sin( 143,130 )),
так как при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вы-
читаются.
7. б) Найти скорость v (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки,
траектория которой задана параметрическими уравнениями
|
|
|
|
|
х 2 |
3cos |
6 t, |
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
5 |
|
|
|
|||
y 9 cos |
|
|||
|
|
3 |
|
|
в момент времени t0 6 с.
76
Решение. Вектор |
|
|
|
|
есть радиус-вектор движущейся |
|||||||
r (t) x(t)i |
y(t) j |
|||||||||||
материальной точки. В нашем случае |
|
|
3cos |
|
|
|
|
t 5 |
|
|||
r (t) 2 |
|
t i |
9 cos |
|
j . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
Найдем уравнение траектории (годографа) движущейся материальной точки.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
3cos |
6 t, |
х 2 |
3cos |
|
6 t, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
5, |
9cos |
|
t. |
||
y 9cos |
|
y 5 |
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
В первом уравнении обе части возведем в квадрат
х 2 2 |
9 cos2 |
t, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
х 2 2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos2 |
|
t , |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
х 2 |
|
|
1 cos2 |
|
|
t , |
||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
х 2 2 |
9 9cos t. |
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Система уравнений примет вид
2 х 2 2 |
9 9cos |
t, |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9cos t, |
|
||
y 5 |
|
||
|
|
3 |
|
Исключая cos 3 t , получим уравнение
2 х 2 2 9 у 5, 2 х 2 2 у 4,х 2 2 12 у 4 .
77
Это есть уравнение параболы с вершиной А(2; 4) с осью, параллельной оси
Оу, |
параметром |
|
р |
1 |
и ветви |
направлены вверх. Координаты точки |
||
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0 х0 ; у0 в момент времени t0 6 с будут |
||||||||
х |
|
|
6 |
|
5, |
|
|
|
2 3cos |
|
|
|
y 9cos |
6 5 14, |
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
т.е. М0 5;14 .
Построим полученную траекторию.
Рисунок 6 – Годограф материальной точки – парабола
dr
Вектор v есть вектор скорости материальной точки, который направлен dt
по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае
78
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3cos |
|
t |
i |
9 cos |
|
t |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
6 |
t |
|
|
|
3 |
|
||
или |
dr |
|
sin |
t i 3 sin |
t |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
2 |
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
5 |
|
j |
|
|
sin |
|
t |
i |
|
|
|
|
sin |
|
t j |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
t |
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j; |
v(t) |
2 sin |
6 t i |
|
3 sin |
3 t |
j. |
|
|
|
В момент времени t0 6 с скорость материальной точки равна
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|||
|
(6) |
|
sin |
6 |
i |
3 sin |
6 |
|
j |
или v(6) |
|
(6) 0; |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||
dt |
|
2 |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||
|
|
|
а величина скорости |
v |
|
|
|
|
|
|
0 |
м/с. |
|||||
v(6 c) |
0, |
v(6 c) |
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, вектор ускорения движения материальной точки равен
a(t)
a(t)
a(t)
|
|
a(6 c) |
|
|
|
a(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d 2r |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(t) v (t). В нашей задаче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dt 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(t) v (t) |
|
|
sin |
|
|
t i |
|
3 sin |
|
t |
j |
|
|
|
cos |
|
t i |
|
|
cos |
|
t j, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
t |
|
12 |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos t i |
2 cos |
t j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( 1)i |
2 |
1 j |
|
|
i |
2 j |
. Отметим этот вектор на чертеже. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
145 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
м/с . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: В момент времени t 6 с величина скорости точки v(6) 0 м/с, а
ускорение a(6) 2 145 м/с2. 12
7. в) Найти скорость v (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки,
траектория которой задана параметрическими уравнениями
|
|
|
|
х 8sin |
6 t 2, |
||
|
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
|
||
y 9cos |
|
||
|
|
6 |
|
в момент времени t0 6 с.
79
Решение. Вектор |
|
|
|
|
есть радиус-вектор движущейся |
||||||
r (t) x(t)i |
y(t) j |
||||||||||
материальной точки. В нашем случае |
|
|
8sin |
|
|
|
|
|
|||
r (t) |
|
t 2 i |
9cos |
|
t 3 j . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
Найдем уравнение траектории (годографа) движущейся материальной точки.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 |
|
|
|
||||
х 8sin |
6 t 2, |
|
х 2 |
8sin |
|
6 t, |
|
|
|
|
sin |
|
6 t, |
||||
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y 9cos |
|
t 3, |
|
y 3 |
9cos |
|
t, |
|
|
|
|
cos |
|
t. |
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
9 |
|
|
|
6 |
|
Обе части уравнений возведем в квадрат и почленно сложим.
|
х 2 2 |
sin 2 |
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
х 2 2 |
|
y 3 2 |
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
1. |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
8 |
2 |
9 |
2 |
|||
y 3 |
cos2 |
t. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
9 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и полуосями а 8; |
Получили уравнение эллипса с центром в точке О ( 2; 3) |
|||||||||
b 8. Координаты точки М0 х0 ; у0 в момент времени t0 6 с будут |
|||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
х0 8sin |
|
2 2; |
y |
0 |
9cos |
6 3 12. |
|
||
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
Вектор v |
|
|
есть вектор скорости материальной точки, который направлен |
||||||
dt |
по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||
|
|
8sin |
|
t 2 |
|
i |
9cos |
|
|
t 3 |
j |
|
|
cos |
|
t i |
|
|
|
sin |
|
t j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
6 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
6 |
|
t |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
||
|
|
|
dr |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или v(t) |
|
|
|
|
|
cos |
6 t i |
|
|
sin |
6 t j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dt |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80