FA Арсеньев Функ.Ан

Теорема доказана.

Åñëè 0 -изолированная особая точка, то число dim (Im(P ( 0)) íàçû-

вается алгебраической кратностью собственного значения, а число dim (Ker( 0id T )) называется геометрической кратностью собственного значения.

Из (3.169) следует, что всегда выполнено неравенство

dim(Ker( 0id T )) dim(Im(P ( 0));

(3.177)

причем, как показывают примеры, неравенство может быть строгим. Ниже мы уточним теорему 3.6.5 и докажем, что если условия тео-

ремы выполнены, то порядок полюса резольвенты не может превышать алгебраичесой кратности собственного значения.

3.7Возмущение изолированного собственного значения.

3.7.1 Зависящие от параметра проекторы.

Напомним, что оператор

P 2 L(B 7!B)

называется проектором, если

P 2 = P;

а пространство B есть прямая сумма своих подпространств Bj:

X

B = B1 B2 : : : Bj;

j

если все подпространства Bj замкнуты,

X

8(x 2 B) : x = xj ; xj 2 Bj;

j

è

8j : Bj	Bi!	= 0:
	\ [
	i6=j

Выясним связь между проектором и разложением пространства в прямую сумму своих подпространств.

209

Если оператор P -проектор, то оператор (id P ) -проектор, так как

(id P )2 = id 2P + P 2 = id P:

Åñëè \

x 2 Im(P ) Im(id P );

òî x = 0, так как если справедливы равенства x = P z = (id P )y;

òî

P z = P 2z = (P P )y = 0:

Легко видеть, что

(x 2 Im(P )) () (x = P x)

Следовательно, для любого проектора P 2 L(B 7!B) пространство Im(P ) замкнуто и для любого проектора P 2 L(B 7!B) все пространство B есть прямая сумма своих замкнутых подпространств:

B = Im(P ) Im(id P ):

Предположим, что банахово пространство B есть прямая сумма своих замкнутых подпространств:

B = B1 B2:

Тогда любой вектор x 2 B единственным образом представим в виде

x = x1 + x2 ; x1 2 B1 ; x2 2 B2;

(3.178)

и поэтому разложение (3.178) корректно определяет линейный оператор

P : x 7!x1 2 B1;

(3.179)

который удовлетворяет равенству P 2 = P . В силу замкнутости простран-

ñòâà B1 и этого равенства определенный во всем пространстве формулой

(3.179) оператор замкнут и поэтому непрерывен. Очевидна

Лемма 3.7.1. Если P 2 L(B 7!B) -проектор и U 2 L(B 7!B) - обратимый оператор, то оператор

Q = UP U 1

(3.180)

-проектор.

210

Определение 3.7.1. Проекторы P è Q подобны, если они связаны равенством (3.180).

Лемма 3.7.2. Если проекторы P и Q подобны и

dim(Im(P )) = n < 1;		(3.181)
òî
dim(Im(Q)) = n:
Доказательство. Если выполнено условие (3.181), то существуют та-
кие векторы ej 2 B è l(j) 2 B?, ÷òî	X
8(x 2 B) : P x =
	l(j)(x)ej:	(3.182)
	1 j n
Тогда из (3.180) следует, что
X
8(x 2 B) : Qx =	l(j)(U 1x)Uej:	(3.183)

1 j n

Следовательно,

dim(Im(Q)) dim(Im(P )) = n:

Осталось заметить, что соотношение подобия рефлексивно.

Напомним, что если векторы ej 2 B составляют базис в некотором подпространстве пространства B, то векторы l(j) 2 B?, которые удовле-

творяют условию

l(j)(ei) = ij;

называются базисом, сопряженным к базису ej 2 B. Из приведенных выше выкладок вытекает

Лемма 3.7.3. Пусть проекторы P и Q связаны равенством (3.180),

векторы ej 2 B ; 1 j n; составляют базис в подпространстве Im(P ) и векторы l(j) 2 B? ; -сопряженный базис. Тогда векторы Uej ; 1 j n составляют базис в пространстве Im(Q), а функционалы

x 7!l(j)(U 1x) ; 1 j n

составляют базис, сопряженный к базису Uej ; 1 j n.

Теорема 3.7.1. Если проекторы P и Q удовлетворяют условию

kP Qk < 1;

(3.184)

то они подобны.

211

Теорема 3.7.2.

Доказательство. Определим операторы

U := QP + (id Q)(id P );

V := P Q + (id P )(id Q);

W := id (P Q)2:

Прямой выкладкой доказывается, что справедливы равенства

QU = UP;

UV = V U = W:

Если выполнено условие (3.184), то оператор W обратим. Из равенства

U(V W 1) = (W 1V )U = id

следует, что тогда и оператор U обратим и поэтому проекторы P è Q подобны.

Если P ( ) 2 L(B 7!B) -семейство проекторов, аналитически зависящих от параметра 2 f j j j < g, то существует такое аналитически зависящее от параметра 2 f j j j < g семейство обратимых операторов U( ), что

P ( ) = U( )P (0)U 1( ) ; j j < :						(3.185)
Доказательство. Положим
L( ) :=	dP ( )		P ( ) P ( )	dP ( )	:
	d			d

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции со значениями в банаховой алгебре L(B 7!B):

dU( )	= L( )U( ); U(0) = id; j j < :	(3.186)
d

Решение этого уравнения существует, единственно и аналитически зависит от параметра (доказательство: сведение к интегральному уравне-

нию и традиционный метод последовательных приближений для доказательства существования решения интегрального уравнения).

Аналогично доказывается, что решение уравнения

dV ( )	= V ( )L( ); V (0) = id; j j <	(3.187)
d

212

существует, единственно и аналитически зависит от . Далее замечаем, что

dd V ( )U( ) = V ( )L( )U( ) + V ( )L( )U( ) 0;

поэтому

V ( )U( ) id; j j < :

Аналогично показывается, что оператор

W ( ) := U( )V ( ) id

удовлетворяет дифференциальному уравнению

dW ( )

d

= L( )W ( ) W ( )L( ); W (0) = 0;

и поэтому

U( )V ( ) id:

Следовательно, определенный как решение уравнения (3.186) оператор U( ) обратим и

U 1( ) = V ( ):

Положим по определению

Q( ) := U( )P (0)V ( ):

(3.188)

Легко проверить, что определенный равенством (3.188) оператор удовлетворяет дифференциальному уравнению

dQ( )

d

= [L( ) ; Q( )] ; Q(0) = P (0):

Дифференцируя равенство

P 2( ) = P ( );

легко показать, что этому же уравнению удовлетворяет оператор P ( ). Следовательно,

P ( ) Q( ):

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы и конструкции, использованной при доказательстве теоремы 3.7.3 вытекает

213

Теорема 3.7.3. Пусть P ( ) -семейство проекторов, которые аналитичны при j j < как функции со значениями в L(B 7!B). Пусть

dim(Im(P (0))) = n < 1:

Тогда

8(j j < ) : dim(Im(P ( ))) = n;

в пространстве Im(P ( )) есть такой базис fej( ) ; 1 j ng, а в пространстве B? есть такие векторы fl(j)( ) ; 1 j ng, ÷òî

< li( ) j ej( ) >= ji;

и функции

7!ej( ) 2 B ; 7!l(i)( ) 2 B?

аналитичны.

3.7.2Аналитическое возмущение изолированного собственного значения.

1. Нам потребуются некоторые элементарные алгебраические факты. Сейчас мы не будем предполагать, что алгебра A снабжена какой-либо

топологией. Пусть алгебра A как линейное пространство представлена в виде прямой суммы своих подпространств:

\

A = A1 A2 ; A1 A2 = 0: (3.189)

Пусть каждое из подпространств Aj в (3.189) есть алгебра относительно сложения и умножения в A:

8(ai ; bi 2 Ai) : aibi 2 Ai ; 8(i 6= j ; ai 2 Ai ; bj 2 Aj) : aibj = 0: (3.190)

Примером такой констукции является простанство C2, рассматриваемое

как алгебра с покомпонентным сложением и умножением. В этом случае A1 есть алгебра элементов вида (z ; 0), алгебра A2 есть алгебра элементов

âèäà (0 ; z). Ниже будет рассмотрен и другой пример.

Мы назовем элемент idj 2 Aj локальной единицей, åñëè

8(aj 2 Aj) : idjaj = ajidj = aj ; 8(ai 2 Ai ; i 6= j) : idjai = aiidj = 0

(3.191) Мы назовем элемент ai;loc1 2 Ai локально обратным элементу ai 2 Ai,

åñëè

ai;loc1 ai = aiai;loc1 = idj:

(3.192)

Прямой выкадкой на основе введенных определений проверяется

214

Лемма 3.7.4. 1. Справедливо равенство id1 + id2 = id;

где id -единица алгебры A.

2. Если элементы ai 2 Ai имеют локально обратные ai;loc1 2 Ai, òî элемент (a1 + a2) обратим в алгебре A и

a1;loc1 + a2;loc1 = (a1 + a2) 1:

В рассмотреном выше примере локальными единицами являются элементы (1 ; 0) ; (0 ; 1).

Другой пример. Пусть банахово пространство B есть прямая сумма своих подпространств:

B = B1 B2:

Рассмотрим алгебру A0 L(B 7!B), которая состоит из коммутирующих операторов, каждый из которых приводит подпространства Bj:

8(a 2 A0) : aBj Bj:

Пусть Pj -проектор на подпространство Bj B. Разложим алгебру A0 в прямую сумму:

A0 = A0P1 A0P2:

Тогда операторы Pj есть локальные единицы в подалгебрах A0Pj. 2. Пусть

b(0 ; 0) 3 7!T ( ) 2 L(B 7!B)

-аналитическая функция параметра 2 b(0 ; 0) C1 со значениями в банаховом пространстве L(B 7!B).

Пусть точка 0 есть изолированная точка спектра оператора T (0). Напомним, что это означает следующее:

0 2 (T (0)) ; dist( 0 ; (T (0)) n 0) > 0:

Ясно, что изолированная точка спектра оператора есть изолированная особая точка его резольвенты.

Пусть число > 0 и открытая область D C1 с гладкой границей @D выбраны так, что

\

(T (0)) n 0) D ; D b( 0 ; 2 ) = ;:

В силу этого выбора множество

\

M := C(D) C(b( 0 ; ))

215

Лемма 3.7.5.

есть резольвентное множество оператора T (0). Из теоремы 3.5.2 (см. стр. 189) следует, что существует такое ( ) > 0, что множество M есть резольвентное множество оператора T ( ) ïðè j j < ( ). Следовательно

[

8(j j < ( )) : (T ( )) D b( 0 ; ): (3.193)

В дальнейшем мы считаем, что числа > 0 ; ( ) удовлетворяют условию (3.193), а параметры ; изменяются в области

W = f ; j j 0j < ; j j < ( )g:

(3.194)

3. Пусть A( ) L(B 7!B) -коммутативная алгебра аналитических функций от оператора T ( ), которая построена по формуле (3.120) (см. стр. 193):

			A( ) = Opa(Fa) ; a = T ( ):	(3.195)
Пусть
			2 < dist( 0 ; @D):
Положим
P1( ) =	1	lI1	R( ; T ( ))d ; l1 = f j j 0j = 2 g;	(3.196)
	2 i
P2( ) =	1	lI2	R( ; T ( ))d ; l2 = @D:	(3.197)
	2 i

1. При j j < ( ) проекторы Pj( ) ; j = 1 ; 2; аналитиче- ски зависят от параметра как функции со значениями в банаховом пространстве B.

2. Алгебра A( ) есть прямая сумма своих подалгебр:

A( ) = A1( ) A2( ) ; Aj( ) = A( )Pj( );

и операторы Pj( ) есть локальные единицы в подалгебрах Aj( ), причем справедливо равенство

P1( ) + P2( ) = id:

(3.198)

Доказательство. Это утверждение есть следствие формул (3.196)-(3.198), аналитической зависимости оператора T ( ) от параметра и теоремы 3.5.14.

216

Лемма 3.7.6. Оператор

a2( ; ) := ( id T ( ))P2( )

в алгебре A2( ) имеет локальный обратный:

a2;loc1 ( ; ) = 2 i lI2		( ) 1R( ; T ( ))d	(3.199)
1

который аналитичен по ; ; 8( ; 2 W ) как функция со значениями в A(B 7!B):

W 3 ( ; ) 7!a2;loc1 ( ; ) 2 A(B 7!B):

Доказательство. Аналитичность оператора a2;loc1 ( ; ) есть следствие формулы (3.199). Справедливо равенство

( id T ( ))a2;loc1 =			2 i lI2		R( ; T ( ))d =
2 i lI2		( )( ) 1R( ; T ( ))d =
1			1

P1( ):

Лемма доказана.

Пусть выполнено условие

dim(Im(P1(0))) = n < 1:

(3.200)

Тогда в силу теоремы 3.7.3

dim(Im(P1( ))) n;

и поэтому

dim(P1( )B) n:

Пусть fej( )g ; fl(i)( )g -базисы, которые описаны в теореме 3.7.3. Следующая лемма очевидна.

Лемма 3.7.7. 1. Положим
ji ( ; ) =< l(i)( ) j ( id T ( ))ej( ) >	(3.201)
( ; ) = detf ji ( ; )g:	(3.202)

217

Заметим, что кратность нуля детерминанта

= 0

в точке

(3.204)

Определенная равенством (3.202) функция ( ; ) аналитична:

( ; ) = n + 1( ) (n 1) + : : : + n( );

ãäå j( ) аналитические функции при j j < ( ). 2. Функция

7! ( ; 0)

âточке = 0 имеет ноль порядка n и в области W уравнение

( ; ) = 0

(3.203)

имеет (с учетом кратности) точно n корней f j( ) ; 1 j ng.

Уравнение (3.203) относительно параметра называется характеристическим уравнением и исследованию поведения его корней как функции коэффициентов уравнения и параметра посвящено много работ.

В теории функций комплексного переменного известна теорема Вейрштрасса, из которой следует, что в окрестности точки = 0 корни уравнения (3.203) имеют разложение

X

j( ) = aj ; m m=p ; 1 j n;

1 m<1

ãäå p -целое число.

( ; 0)

совпадает с размерностью пространства Im(P ( 0)), и часто алгебраиче- ская кратность собственного значения по опеределению полагается равной кратности нуля детерминанта ( ; 0).

Пусть

a1( ; ) := ( id T ( ))P1( ):

Лемма 3.7.8. Оператор a1( ; ) имеет локальный обратный в алгебре A( ) в том и только том случае, если ( ; ) 6= 0, причем

8( ( ; ) 6= 0) : a1;loc1 ( ; ) =	1	r( ; );	(3.205)
	( ; )

где оператор r( ; ) 2 A( ) аналитичен в области W как функция со значениями в L(B 7!B)

Это утверждение следует из того факта, что оператор a1( ; ) есть оператор в линейном пространстве P1( )B размерности n и оператор

a1( ; ) приводит пространство P1( )B.

Окончательно наши результаты мы сформулируем в виде теоремы.

218