FA Арсеньев Функ.Ан

Из (2.50) следует, что

\

Fn = ;:

n

Так как множество K компакт, то из (2.52) и условия 2.3.1 следует, что существует такое n( ), ÷òî Fn( ) = ;, а это означает, что

8(n > n( )) : supffn(x) j x 2 Kg < :

Теорема доказана.

Приведем критерии компактности множества в метрическом пространстве.

Сначала дадим

Определение 2.3.6. Множество K в метрическом пространстве M сверхограничено, если каково бы ни было > 0, найдется такое конечное

число шаров fb(xj ; ) j 1 j < N < 1g, что множество K содержится в объединении этих шаров:

K	1 [
	b(xj ; ):	(2.53)

j<N

Раньше свойство (2.53) называлось вполне ограниченностью, но теперь этот термин связывается с другим понятием.

Теорема 2.3.3. Если K -метрическое пространство, то следующие свойства эквивалентны.

1.K -компактное пространство.

2.Любая последовательность fxjg точек в пространстве K содержит сходящуюся к точке x0 2 K подпоследовательность.

3.K есть полное метрическое пространство и сверхограниченное

множество.

Доказательство. Докажем, что из первого условия следует второе. Пусть K -компактное пространство и fxjg K: Пусть Fn = Cl(fxj j j ng): Множества Fn замкнуты и

\

8(j < 1) : Fn 6= ;:

n j

Поэтому из условия компактости 2.3.2 следует, что

9x0 : x0 2	\
	Fn:

n1

129

ность последовательности

Следовательно, любой шар b(x0 ; 1=m) имеет непустое пересечение с каждым из множеств fxj j j ng:

\

8(m > 0 ; n < 1) ; 9xj(m) : xj(m) 2 fxj j j ng b(x0 ; 1=m):

Последовательность fxj(m)g ; m = 1; : : : есть искомая подпоследователь- fxjg.

Докажем, что из второго условия следует третье. Ясно, что из второго условия следует полнота пространства K. Докажем сверхограничен-

ность. Пусть для некоторого > 0 нужного набора шаров нет. Возьмем произвольно шар b(x0 ; ). Этот шар согласно предположению не содержит всего пространства K, поэтому в пространстве K существует точка x1 62b(x0 ; ). Рассмотрим шар b(x1 ; ). Опять согласно предположению существует такая точка x2 2 K, ÷òî

[

x2 62b(x0 ; ) b(x1 ; ):

Так мы построим последовательность точек fxng K, которая удовлетворяет условию

[
xn+1 62	b(xj ; );
0	j n

поэтому

8(m > 0 ; n > 0) : d(xn ; xn+m) >

и последовательность fxng не может содержать сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности K.

Теперь докажем, что из третьего условия следует первое. Предположим, что третье условие выполнено, но пространство не компактно. То-

гда существует открытое покрытие fV g пространства K, которое не содержит конечного подпокрытия. В силу сверхограниченности пространства K существует конечное число шаров fb(xj ; 1) ; 1 j < Ng, которые

покрывают множество K. По крайней мере один из этих шаров не покрывается никакой конечной системой множеств V . Пусть это будет шар b(x1 ; 1). Теперь рассмотрим покрытие пространства K шарами радиуса 1=4. Среди шаров радиуса 1=4, которые покрывают шар b(x1 ; 1), найдем шар b(x2 ; 1=4), который не покрывается никакой конечной системой

множеств V . Продолжая построение, мы получим такую последовательность шаров fb(xn ; 4 n+1)g, ÷òî

d(xn ; xn+m) < d(xn ; xn+1) + : : : + d(xn+m 1 ; xn+m)

< 4 n+1(1 + 1=4 + : : :) < 4 n+2=3;

130

стемой множеств

и никакой из шаров b(xn ; 4 n+1) не покрывается никакой конечной си- V . Последовательность центров этих шаров фундаментальна, и в силу полноты пространства K она сходится к некоторой

точке x0 2 K. Существует такое открытое множество V (0) 2 fV g, ÷òî

x0 2 V (0),поэтому существует такой шар b(x0 ; ), ÷òî b(x0 ; ) V (0): Òàê êàê d(xn ; x0) < 4 n+2=3 ! 0 ; n ! 1, то при достаточно большом n øàð b(xn ; 4 n+1) будет целиком содержаться в шаре b(x0 ; ), и поэто-

му будет содержаться в множестве V (0), что противоречит выбору шара b(xn ; 4 n+1). Теорема доказана.

Следствие 2.3.1. Если K -компактное множество в метрическом

пространстве, то существует такое счетное множество fxjg K, ÷òî

K = Clfxjg:

(2.54)

Доказательство. Для каждого целого числа n построим такие шары

b(xj ; 1=n), что множество K будет содержаться в конечном объединении

этих шаров, а потом рассмотрим объединение центров всех шаров. Это и будет искомое счетное множество.

Пусть C(X ; M) -множество всех непрерывных функций на топологическом пространстве X со значениями в метрическом пространстве

(M ; dM ):

f 2 C(X ; M) ; f : X 7!M:

Мы будем считать, что

supfdM (f(x) ; g(x)) j x 2 Xg < 1;

так как при необходимости мы можем заменить метрику в M на эквивалентную:

dM ! dM :

1 + dM

Множество C(X ; M) есть метрическое пространство относительно метрики

dC(f; ; g) := supfdM (f(x) ; g(x)) j x 2 Xg:

(2.55)

Лемма 2.3.3. Если M -полное метрическое пространство, то множество C(X ; M) есть полное метрическое пространство относительно метрики (2.55).

Доказательство. Если ffng -фундаментальная в метрике (2.55) последовательность, то в силу полноты пространства M

9f(x) ; f(x) := lim fn(x): (2.56)

n!1

131

Докажем, что определенная равенством (2.56) функция f(x) непрерывна. Пусть x0 2 X è m ; n -произвольны. Тогда

dM (f(x0) ; fm(x)) dM (f(x0) ; fm(x0)) + dM (fm(x0) ; fn(x0)) + dM (fn(x0); fn(x)) + dM (fn(x) ; fm(x)) 2 supfdM (fn(x) ; fm(x)) j x 2 Mg+

dM (f(x0) ; fm(x0)) + dM (fn(x) ; fn(x0)):

(2.57)

Выберем n( ) настолько большим, что

8(n > n( ) ; m > n( )) : supfdM (fn(x) ; fm(x)) j x 2 Xg < =3;

и неравенстве (2.57) перейдем к пределу m ! 1. Получим:

2

8(n > n( )) : dM (f(x0) ; f(x)) 3 + dM (fn(x0) ; fn(x)):

Фиксируем n > n( ) и для данного фиксированного n используя непрерывность функции fn(x) найдем такую окрестность V (x0) точки x0, ÷òî

8(x 2 V (x0)) : dM (fn(x0) ; fn(x)) < =3:

Тогда будет выполнено неравенство

8(x 2 V (x0)) : dM (f(x0) ; f(x)) < ;

которое доказывает непрерывность функции f(x) в точке x0. Òàê êàê точка x0 произвольна, то лемма доказана.

Отметим одно свойство функций из пространства C(K ; M).

Лемма 2.3.4. Åñëè f 2 C(K ; M), òî
8( > 0) ; 9 ( ): (dK(x ; x0) < ( )) ) (dM (f(x) ; f(x0)) < ):			(2.58)
Доказательство. Пусть утверждение леммы неверно. Тогда существу-
ет такое 0 > 0, что для любого n > 0 есть точки xn ; xn0		, удовлетворяю-
щие условию:
dK(xn ; xn0 ) < 1=n ; dM (f(xn) ; f(xn0 )) > 0:
Так как множество K -компакт, то мы можем считать, что последова-
тельности xn ; xn0	сходятся:

xn ! x0 ; x0n ! x00 ; n ! 1:

132

ff1;n(x1) j n =

Ясно, что мы должны иметь:

x0 = x00:

В силу непрерывности функции f:

dM (f(xn) ; f(x0n)) < dM (f(xn) ; f(x0)) + dM (f(x0) ; f(x0n)) ! 0;

что противоречит нашему предположению. Лемма доказана.

Получим критерии компактности множества в пространстве C(K ; M).

Определение 2.3.7. Множество A = ff j 2 Ig C(K ; M) называ-

ется равностепенно непрерывным, если

8( > 0) ; 9 ( ): (dK(x ; x0) < ( )) ) (supfdM (f (x) ; f (x0)) j 2 Ig < ):

(2.59)

Теперь докажем теорему Арцела-Асколи.

Теорема 2.3.4. Пусть выполнены следующие условия.

1.Множество K -компактное метрическое пространство.

2.Множество A = ff j 2 Ig равностепенно непрерывно.

3.Существует такое компактное множество Ke M, ÷òî

8(f 2 A) : f (K) K:		(2.60)
Тогда множество A предкомпактно в	C(K ; e	)
	M .

Доказательство. Пусть fxj j j = 1; : : :g -счетное множество, которое удовлетворяет условию (2.54). Докажем, что множество A содер-

жит последовательность, которая сходится в каждой точке множества fxj j j = 1; : : :g. Для этого мы используем прием, который называется канторовским диагональным процессом.

Фиксируем точку x1 2 fxj j j = 1; : : :g. В силу условия 2 нашей теоремы выполнено включение

B1 := ff (x1) j 2 Ig Ke M:

(2.61)

Так как множество Ke компактно, то множество B1 содержит сходящуюся последовательность. Пусть это будет последовательность

1; : : :g B1. Рассмотрим множество

B2 := ff1;n(x2) j n = 1; : : :g Ke M:

133

Это множество также содержит сходящуюся последовательность. Пусть это будет последовательность значений функций ff2;n j n = 1; : : :g ff1;n j n = 1; : : :g в точке x2. Очевидно, что функциональная последовательность ff2;n(x) j n = 1; : : :g сходится по краней мере в двух точках: x1 è x2. Далее рассмотрим множество

B3 := ff2;n(x3) j n = 1; : : :g Ke M:

и выберем подпоследовательность ff3;n j n = 1; : : :g ff2;n j n = 1; : : :g,

которая будет сходиться в точке x3. Продолжая этот процесс, мы полу- чим такие функциональные последовательности

ffm;n j n = 1; : : :g ffm 1;n j n = 1; : : :g ; m = 1; : : : ;

что последовательность ffm;n(x) j n = 1; : : :g сходится по крайней мере в точках x1 ; x2 ; : : : xm. Последовательность ffn;n j n = 1; : : :g есть искомая последовательность: она сходится в каждой точке множества fxj j j = 1; : : :g, òàê êàê

8m : ffn;n j n = 1; : : :g ffm;n j n = 1; : : :g:

Заметим, что в нашем построении мы не использовали компактности множества K.

Теперь докажем, что последовательность ffn;n j n = 1; : : :g сходится в метрике пространства C(K ; M). Фиксируем > 0 и найдем соответсвующее по (2.59) число ( ). Так как множество K -метрический компакт, то существует конечное число шаров fb(yj ( )=2) j 1 j Ng, которые покрывают все пространство K. В каждом шаре b(yj) ( )=2) есть точка

из множества (2.54). Пусть это будет точка xj 2 b(yj ( )=2). Пусть x 2 K -произвольная точка. Предположим, что эта точка принадлежит шару b(yj ( )=2). Так как точки x è xj принадлежат одному шару b(yj ( )=2),

òî dK(x ; xj) < ( ), и в силу (2.59) справедливо неравенство

dM (fn;n(x) ; fm;m(x)) dM (fn;n(x) ; fn;n(xj))+
dM (fm;m(xj) ; fn;n(xj)) + dM (fm;m(x) ; fm;m(xj))
2 + dM (fm;m(xj) ; fn;n(xj)):	(2.62)

Так как последовательность ffn;n(xj) j n = 1; : : :g сходится в кождой точке xj, òî

9n( ) ; 8(n > n( ) ; m > n( )) : supfdM (fm;m(xj) ; fn;n(xj) j 1 j Ng) < ; :

Тогда из (2.62) следует, что

8(n > n( ) ; m > n( )) : supfdM (fn;n(x) ; fm;m(x)) j x 2 Kg 3 :

134

ного умножения:

Итак, мы установили, что множество A содержит фундаментальную в метрике пространства C(K ; M) последовательность, а отсюда и следует, что замыкание множества A есть компакт. Теорема доказана.

Теперь мы перейдем к теореме Стоуна-Вейрштрасса, которая описывает структуру пространства C(K ; C1). Сначала дадим несколько опре-

делений.

Определение 2.3.8. Множество функций A называется алгеброй функ-

ций над полем действительных (комплексных) чисел, если

1. Множество функций A есть линейное пространство над полем дей-

ствительных (комплексных) чисел относительно операций поточечного сложения и умножения на число:

8(f 2 A ; g 2 A) : f + g 2 A

для любых действительных (комплексных) чисел ; .

2. Множество функций A замкнуто относительно операции поточеч-

8(f 2 A ; g 2 A) : fg 2 A:

Определение 2.3.9. Множество заданных на K функций A разделяет точки множества K, если для любой пары не совпадающих точек x 2 K ; y 2 K в множестве A существует такая функция f 2 A, ÷òî f(x) 6=

f(y):

Âдальнейшем мы не будем уточнять, над каким полем рассматривается алгебра функций, если это ясно из контекста или не имеет значения.

Приведем примеры.

Пример 2.3.1. Множество всех полиномов на отрезке [0 ; 1] есть алгебра функций.

Пример 2.3.2. Множество функций вида

f(x) = P (x); Q(x)

ãäå P (x) -произвольный полином, а Q(x) -произвольный полином, не имеющий корней на отрезке [0 ; 1], есть алгебра функций на отрезке [0 ; 1].

Пример 2.3.3. Множество всех конечных линейных комбинаций функций fsin nx ; cos nx j n = 0; 1; : : :g есть алгебра функций на отрезке [0 ; 2 ].

Пример 2.3.4. Множество всех конечных линейных комбинаций функций fexp(inx) j n = 0; 1; : : :g есть алгебра функций на отрезке [0 ; 2 ].

135

В ниже следующей теореме речь идет об алгебре действительных функций над полем действительных чисел.

Теорема 2.3.5. Предположим, что выполнены следующие условия.

1.Множество K есть компакт.

2.Алгебра непрерывных функций A C(K ; R1) разделяет точки

множества K.

3. Алгебра непрерывных функций A содержит функцию, тождественно равную единице:

(f0(x) 1) ) (f0 2 A):

Тогда замыкание алгебры A в метрике пространства C(K ; R1) совпадает с пространством C(K ; R1):

Cl(A) = C(K ; R1):

Эта теорема называется теоремой Стоуна-Вейрштрасса. Смысл этой теоремы состоит в том, что если заданное на компакте K множество

непрерывных функций A удовлетворяет условиям 2-3, то любую непрерывную на компакте K функцию можно сколь угодно точно в равномерной метрике приблизить функцией из множества A. Заметим, что если множество A удовлетворяет условиям 2-3, то и множество Cl(A) также

удовлетворяет условиям 2-3.

Перейдем к доказательству теоремы. Сначала докажем, что если f 2 A, òî jfj 2 Cl(A). Пусть a = supfjf(x)j j x 2 Kg è Pn(t) -произвольная

последовательность полиномов, которая равномерно на отрезке [0 ; 1] сходится к функции pt:

p

sup jPn(t) tj j t 2 [0 ; 1]g ! 0 ; n ! 1:

Такая последовательность полиномов существует. Можно взять соответствующие полиномы Бернштейна, можно взять определяемые по индукции полиномы

P1(t) = 1 ; Pn+1(t) = Pn(t) + (t Pn(t)2)=2:

ßñíî, ÷òî Pn((f(x)=a)2) 2 A è

sup jaPn((f(x)=a)2) jf(x)jj j x 2 Kg ! 0 ; n ! 1:

Итак, мы доказали, что jfj 2 Cl(A). Отсюда следует, что

8(fi 2 A) : maxffi j 1 i Ng 2 Cl(A) ; minffi j 1 i Ng 2 Cl(A):

(2.63)

136

Пусть теперь (x) -произвольная функция из пространства C(K ; R1),
z0 ; z00 -произвольные точки из K. Построим такую функцию f(z0 ; z00; x)					2
A, которая удовлетворяет условиям:
	f(z0 ; z00; z0) = (z0) ; f(z0 ; z00; z00) = (z00):			(2.64)
Такая функция обязятельно существует. Действительно, пусть f			(z0	; z00; x)			2
		0				:
A	существующая по условию функция, которая разделяет точки z0 ; z00
	f0(z0 ; z00; z0) 6= f0(z0 ; z00; z00) ïðè z0 6= z00:
Тогда функцию f(z0 ; z00; x) мы можем построить как линейную комби-
нацию
	f(z0 ; z00; x) = f0(z0 ; z00; x) + ;
так как для определения констант ; мы получаем разрешимую си-
стему уравнений
	(z0) = f0(z0 ; z00; z0) +
	(z00) = f0(z0 ; z00; z00) + :
Теперь фиксируем произвольно > 0 и определим открытые окрестности
	V (z0 ; z00) = fx j f(z0 ; z00; x) < (x) + g:
ßñíî, ÷òî
	z0 2 V (z0 ; z00):
При фиксированном z00 открытые множества fV (z0 ; z00) j z0 2 Kg îá-
разуют покрытие компакта K, поэтому существует конечное покрытие
компакта K множествами V (z0 ; z00):
	K	[
		V (zj0 ; z00):
	1	j N
Пусть

g(z00 ; x) := minff(zj0 ; z00 ; x) j 1 j Ng:

В силу (2.63) справедливо включение

g(z00; x) 2 Cl(A):

ßñíî, ÷òî

8(x 2 K) : g(z00 ; x) < (x) + ; è g(z00; z00) = (z00):

137

Теперь определим открытые окрестности

U(z00) = fx j g(z00; x) > (x) g:

Òàê êàê z00 2 U(z00), то окрестности fU(z00) j z00 2 Kg образуют открытое покрытие компактого пространства K, и поэтому существует такой конечный набор точек fzj00 j 1 j N0g, ÷òî

K	[
	U(zj00):
	1 j N0
Определим функцию

ge(x) := maxfg(zj00; x) j 1 j Ng:

Так как множество Cl(A) замкнуто, то в силу (2.63) справедливо вклю- чение

ge(x) 2 Cl(A):

Очевидно, что

8(x 2 K) : (x) < ge(x) < (x) + ;

Поэтому

dC( ; ge) < :

Теорема доказана.

Из этой теоремы сразу же следует теорема Стоуна-Вейрштрасса для алгебры функций над полем комплексных чисел. Ниже символом z ìû

обозначаем число, комплексно-сопряженное числу z:

(a + ib) = a ib

и алгебра понимается как алгебра над полем комплексных чисел.

Теорема 2.3.6. Предположим, что выполнены следующие условия.

1.Множество K есть компакт.

2.Алгебра непрерывных функций A C(K ; C1) разделяет точки

множества K.

3. Алгебра непрерывных функций A содержит функцию, тождественно равную единице:

(f0(x) 1) ) (f0 2 A):

138