FA Арсеньев Функ.Ан

Теорема 3.7.5.

Теорема 3.7.4. Если оператор

T ( ) 2 L(B 7!B)

при j j < аналитичен по как функция со значениями в банаховом пространстве L(B 7!B), точка 0 есть изолированная точка спектра оператора T (0) и размерность области значений спектрального проектора (3.196) конечна то тогда

1. Существуют такие положительные числа > 0 ; ( ) > 0, что в области

W = f ; j j 0j < ; j j < ( )g			( ; ) 6= 0
описанная в лемме 3.7.7 функция ( ; ) аналитична. При
в области W справедливо равенство
R( ; T ( )) =	1	r( ; ) + a( ; );	(3.206)
	( ; )

где операторы a( ; ) ; r( ; ) в области W аналитичны по ; как функции со значениями в банаховом пространстве L(B 7!B) и

dim(Im(r( ; ))) dim(Im(P1(0)));

\

Im(r( ; )) Im(a( ; )) = 0:

2. При j j < корни уравнения (3.203) представимы в виде (3.204) и каждый корень j( ) есть собственное знчение оператора T ( ).

Из формулы (3.206) следует, что порядок полюса резольвенты не может быть больше алгебраической кратности собственного значения, но

он может быть меньше ее, так как оператор r( ; 0) в точке = 0 может иметь ноль.

Если оператор T ( ) действует в гильбертовом пространстве, то мож-

но получить более полную информацию о поведении собственных чисел и собственных функций.

Пусть выполнены условия теоремы 3.7.4, пространство B -гильбертово и оператор T ( ) самосопряжен при действитель-

ных значениях параметра . Тогда

1.Собственные значения j( ) аналитичны по в окрестности точки = 0.

2.Определенный формулой (3.196) проектор P1( ) аналитически зависит от параметра в окрестности точки = 0 и представим в

âèäå	X
P1( ) =	P1 ; j( );	(3.207)

1 j n

219

где проекторы P1 ; j( ) удовлетворяют условию

P1 ; i( )P1 ; j( ) = 0 ; åñëè i( ) 6= j( )

и уравнениям:

T ( )P1 ; j( ) = j( )P1 ; j( ):

(3.208)

Доказательство. Так как собственные значения j( ) должны быть

действительны при значениях параметра > 0, все коэффициенты aj ; m в (3.204) должны быть действительны. Так как собственные значенияj( ) должны быть действительны и при значениях параметра < 0, должны выполняться равенства

8m : Im exp(i m=p) = 0:

Отсюда следует, что разложение в (3.204) ведется по целым степеням . Каждое собственное значение j( ) есть изолированная особая точка

резольвенты R( ; T ( )). В силу оценки

kR( j( ) + i ; T ( ))k 1=

эта особая точка есть полюс первого порядка и поэтому вычет в полюсе j( ) удовлетворяет уравнению (3.208). Так как интегал (3.196) есть сумма вычетов, то справедлива формула (3.207). Теорема доказана.

Если собственное значение 0 не вырождено, т.е. n = 1, то тогда от-

сюда следует, что отвечающую собственному значению ( ) ; (0) = 0, собственную функцию можно выбрать так, что она будет аналитичной по в окрестности точки = 0. В общем случае дело обстоит сложнее

(ñì. [16]).

Покажем, как на практике находить поправки к собственным значе- ниям и собственным функциям. Пусть выполнены условия теоремы 3.7.4

è

T ( ) = T (0) + V;

ãäå T (0) è V -самосопряженные операторы в конечномерном гильбертовом пространстве. Пусть j0 ; 1 j n -ортонормированный базис в пространстве Im(P1(0)). Будем искать собственные значения и соответствующие собственные функции в виде

j( ) = 0 + bj + O( 2) ; 1 j n;

X

j( ) = aj ; i i0 + j + O( 2):

1 i n

220

Подставляя эти разложения в уравнение

T ( ) j( ) = j( ) j( )

и собирая слагаемые с первыми степенями , мы получаем уравнения

(T (0) 0) j =	X
	(bj V )a(j ; i) i0 ; 1 j n:	(3.209)

1 i n

Чтобы эти уравнения имели решения, нужно, чтобы правая часть (3.209) была ортогональна всем функциям 0. Это дает систему уравнений

X

a(j ; i)( ikbj < k0 ; V i0 >) = 0 ; 1 j n ; 1 k n: (3.210)

1 i n

Условие существования нетривиального решения у этой системы уравнений дает уравнение для

bj : det( ikbj < k0 ; V i0 >) = 0 ; 1 i ; k n:

(3.211)

Пусть bj корень уравнения (3.211) и вектор aj = (a(j ; 1) ; a(j ; 2) : : :) есть нормированное условием

X

ja(j ; i)j2 = 1

1 i n

решение системы (3.210),

	X
j(0) =	a(j ; i) i0:
	1 i n

Пусть векторы k ; k 6= 0 -нормированные собственные векторы оператора T (0), которые состваляют базис в пространстве, ортогональном пространству Im(P1(0)):

T (0) k = k k ; k?Im(P1(0)):

Из уравнения (3.209) мы находим:

< k ; (T (0) 0) j >= ( k 0) < k ; j >= < k ; V j(0) >

и получаем:

j( ) = j(0)+			k! + O( 2)
( 0 k) 1	<	k ; V j(0) >
X
k6= 0

j( ) = 0 + bj + O( 2);

221

ãäå k ; k система собственных значений и собственных функций опе-

ратора T (0), à bj дается формулой (3.211). Так как

8( k 6= 0) : j(0)? k;

òî

kj(0) + jk2 = 1 + O( 2):

3.8Компактные операторы.

3.8.1Определения и основные свойства компактных операторов.

Определение 3.8.1. Линейный оператор

T : B1 7!B2

компактен, если он переводит единичный шар пространства B1 â ìíî- жество, замыкание которого в пространстве B2 -компакт.

В силу теоремы 2.3.3 (см. стр. 129) это определение эквивалентно следующему.

Определение 3.8.2. Оператор T компактен, если из любой последовательности fT (xn) j 1 n < 1 ; kxn j B1k 1g можно выделить сходящуюся в пространстве B2 подпоследовательность.

Предел этой последовательности может и не принадлежать множеству T (b(0 ; 1)).

Напомним (см. ту же теорему 2.3.3), что в полном метрическом пространстве множество M компакт, если оно замкнуто и сверхограниче-

но, т. е. для любого > 0 существует такой конечный набор шаров fb(xj ; ) ; 1 j n( )g, ÷òî

[

M b(xj ; ):

j

Удовлетворяющее этому условию множество fxjg M называется конечной -сетью для множества M.

Определение 3.8.1 эквивалентно следующему определению.

Определение 3.8.3. Оператор T компактен, если образ единичного шара T (b(0 ; 1)) -сверхограниченное множество.

222

Все данные выше определения эквивалентны. Иногда компактный оператор определяется как оператор, который любую слабо сходящуюся последовательность переводит в последовательность, сходящуюся по норме. Мы не будем использовать это определение.

Лемма 3.8.1. Если линейный оператор компактен, то он ограничен и поэтому непрерывен.

Доказательство. Если fxn j 1 n < 1g B1 такая последователь- ность, что

kxn j B1k 1 ; kT (xn) j B2k ! 1 ; n ! 1;

то из последовательности T (xn) нельзя извлечь сходящуюся в простран- ñòâå B2 подпоследовательность, что противоречит компактности множества Cl(T (b(0 ; 1))): Следовательно,

supfkT (x) j B2k j x 2 b(0 ; 1) B1g < 1;

откуда следует, что оператор T ограничен и поэтому непрерывен.

Однако, как мы увидим позже, если пространство B1 имеет беско-

нечную размерность, не любой непрерывный оператор в нем компактен. Иногда компактные операторы называются вполне непрерывными.

Перечислим некоторые очевидные свойства компактных операторов.

Лемма 3.8.2. 1. Если операторы T1 è T2 -компактны, то оператор

T = T1 + T2

-компактен.

2.Если оператор T компактен, а оператор A ограничен, то операторы AT ; T A -компактны.

3.Åñëè fTn j 1 n < 1g L(B1 7!B2) последовательность компактных операторов, которая сходится в норме пространства L(B1 7!

B2) к оператору T , то оператор T компактен.

Мы докажем только последнее утверждение. Достаточно доказать, что при любом > 0 множество Cl(T (b(0 ; 1))) содержит конечную - сеть . Пусть

y 2 Cl(T (b(0 ; 1))) ; fxjg b(0 ; 1) B1:

Тогда

ky T (xj) j B2k ky T (x) j B2k + kT (x xj) j B2k
ky T (x) j B2k + 2kT Tn j L(B1 7!B2k+
kTn(x xj) j B2k:	(3.212)

223

Сначала выберем x 2 T (b(0 ; 1)) так, чтобы вополнялось неравенство

ky T (x) j B2k < =3:

Затем выберем n так, чтобы выполнялось неравенство

2kT Tn j L(B1 7!B2)k < =3:

Потом выберем множество fxj j 1 j N( )g b(0 ; 1) B1 так, чтобы множество fT (xj) j 1 j N( )g было конечной =3-сетью в множестве Cl(Tn(b(0 ; 1))). Тогда из (3.212) будет следовать неравенство

minfky T (xj) j B2k j 1 j N( )g < ;

что и доказывает наше утверждение. Приведем пример компактного оператора.

Пусть D Rd -замкнутая ограниченная область с гладкой границей, k(x ; y) -непрерывная в области D D функция.

Лемма 3.8.3. Оператор

Z

K : Lp(D) 7!C(D) ; Kf(x) = k(x ; y)f(y)dy; 1 < p < 1 (3.213)

D

компактен.

Доказательство. Нам нужно доказать, что множество

Z

M = f (x) j (x) = k(x ; y)f(y)dy; kf j Lp(D)k 1g

D

равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Это утверждение есть следствие следующих оценок.

011=q

Z Z

j (x)j = j k(x ; y)f(y)dyj @ jk(x ; y)jqdyA kf j Lp(D)k;

D D

supfjk(x ; y)j j x 2 D ; y 2 Dgmes(D)1=qkf j (x) (x0)j

supfjk(x ; y) k(x0 ; y)j j y 2 Dgmes(D)1=qkf

j Lp(D)k;

j Lp(D)k:

При выводе этих оценок мы воспользовались неравенством Гельдера, положив q = p=(p 1).

Из доказаной леммы следует, что оператор (3.213) компактен как оператор из Lp(D) â Lq(D) при любом 1 < q < 1, так как из сходимости в

пространстве C(D) вытекает сходимость в каждом из пространств Lq(D). Следующая теорема называется теоремой Шаудера.

224

содержит сходящуюся в метрике

Заданная на компактном множестве ций

содержит сходящу-

Теорема 3.8.1. Оператор

T 2 L(B1 7!B2)

компактен в том и только том случае, если сопряженный оператор

T ? 2 L(B2? 7!B1?)

компактен.

Доказательство. Сначала докажем, что из компактости оператора T следует компактность оператора T ?. Пусть оператор T компактен и

ffn j 1 n < 1g b(0 ; 1) B2?:

Нам нужно доказать, что последовательность T ?(fn)

юся в пространстве B1? подпоследовательность. Имеем:

8(x 2 B1) : < (T ?(fn) T ?(fm) j x >=< (fn fm) j T (x) > : (3.214)

Cl(T b(0 ; 1)) последовательность функ-

Cl(T b(0 ; 1)) 3 y 7!fn(y)

равномерно ограничена:

8n : jfn(y)j kfn j B2?k kT j L(B1 7!B2)k kx j B1k

и равностепенно непрерывна, так как:

jfn(y) fn(y0)j = jfn(y y0)j kfn j B2?k ky y0 j B2k:

По теореме Арцела-Асколи (см. теорему 2.3.4 на стр. 133) последовательность fn

d(f ; g) = supfjf(y) g(y)j j y 2 Cl(T b(0 ; 1))g

подпоследовательность. Будем считать, что сходится сама последова- тельность fn. В силу равенства (3.214)

kT ?(fn) T ?(fm) j B1?k =

supfj < T ?(fn) T ?(fm) j x > j j kx j B1k 1g d(fn ; fm);

225

что и доказывает сходимость последовательности T ?(fn).

Теперь предположим, что оператор T ? компактен и докажем, что опе- ратор T компактен.

Если оператор T ? компактен, то в силу только что доказанного свой-

ства оператор

T ?? : B1?? 7!B2??

компактен. Пусть fxng b(0 ; 1) B1 è J -определенное формулой (3.68) (см. стр. 178) изометрическое вложение:

J : B1 7!B1??:

Тогда

8(n ; m > N( )) kT (xn) T (xm) j B2k = kT ??(J(xn)) T ??(J(xm)) j B2??k < ;

если только последовательность fxng выбрана так, что последовательность T ??(J(xn)) сходится, что можно сделать в силу компактности опе-

ратора T ?? и включения fJ(xn)g b(0 ; 1) B1??. Теорема доказана. Следующая теорема называется теоремой (или леммой ) Рисса о по-

чти перпендикуляре. Эта теорема не использует понятие компактости, но на ней основано доказательство часто используемой теоремы Рисса о компактности единичного шара в банаховом пространстве и многих других теорем о компактных операторах.

Теорема 3.8.2. Пусть B0 -замкнутое линейное подпространство банахова простанства B и BnB0 6= ;: Тогда для любого > 0 в пространстве B существует такой вектор x, что выполнены условия:

kxk = 1; dist(x ; B0) > 1 :

(3.215)

Доказательство. Пусть y 2 B n B0. Тогда dist(y ; B0) = > 0 и существует такой вектор z 2 B0, ÷òî

kz yk < (1 + ) :

Пусть

x = (z y)=kz yk:

Тогда kxk = 1 è

8(z0 2 B0) : kx z0k = kz yk 1kz kz ykz0 yk

(1 + ) > 1 :

226

Теорема доказана.

Следующая ниже теорема и есть упоминавшаяся теорема Рисса о компактности единичного шара.

Теорема 3.8.3. Если в банаховом пространстве B замыкание единич- ного шара есть компактное множество, то банахово пространство B конечномерно.

Доказательство. Пусть fe1 ; : : :g B -линейно-независимые векторы, норма которых равна единице,

Bn = Cl(spanfe1 : : : ; eng):

Тогда Bn B(n+1), è åñëè B(n+1) n Bn 6= ;, то согласно предыдущей теореме существует такой вектор yn 2 B(n+1), ÷òî

kynk = 1; dist(yn ; Bn) > 1=2:

Если последовательность fyng бесконечна, то это будет такая принад-

лежащая замыканию единичного шара последовательность, из которой нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность, поэтому если еди-

ничный шар компактен, то начиная с некоторого номера n должно быть выполнено равенство Bn = B(n+1). Теорема доказана.

3.8.2Теория Рисса-Шаудера.

Теория Рисса-Шаудера описывает резольвенту компактного оператора и устанавливает связь между областью значений и ядром оператора

( id T ) в том случае, если оператор T компактен. Эти результаты будут

подытожены нами в теореме 3.8.5.

Мы будем считать, что рассматриваемое нами банахово пространство рефлексивно:

B?? = B:

Начнем мы с доказательства нескольких лемм. В дальнейшем множество компактных операторов, действующих из пространства B â ïðî-

странство B мы обозначим символом K(B 7!B). ßñíî, ÷òî

K(B 7!B) L(B 7!B):

Лемма 3.8.4. Если T -компактный оператор и 6= 0, то пространство Im( id T ) замкнуто.

227

Доказательство. Пусть

yn 2 Im( id T ) ; yn ! y0 ; n ! 1:

Нам нужно доказать, что

y0 2 Im( id T ):

Пусть

yn = ( id T )(xn):

Положим

n = dist(xn ; Ker( id T ));

и пусть элементы wn выбраны так, что

wn 2 Ker( id T ) ; n kxn wnk (1 + 1=n) n:

Положим

zn = xn wn:

Рассмотрим два случая: n const è n ! 1. В первом случае мы имеем:

zn = (1= )(yn + T zn) ; kznk const:

(3.216)

Так как оператор T компактен, из последовательности T zn можно из- влечь сходящуюся подпоследовательность. Для простоты можно счи- тать, что сходится последовательность T zn. Переходя к пределу в преды- дущем равенстве, мы получаем:

z0 = (y0 + T z0)= ;

Следовательно,

y0 2 Im( id T ):

Теперь мы покажем, что второй случай невозможен. Пусть n ! 1 è

n = zn=kznk:

Тогда k nk = 1, и мы можем предположить, что последовательность T n

сходится. Тогда из (3.216) следует, что и сама последовательность n сходится:

n ! 0;

(3.217)

причем

0 = T 0:

228