Занятие 3

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Аудиторная работа

3.1. Найти неопределенные интегралы:

а) ∫(2x +3)e4x dx.

б) ∫

ln 4x dx.

x

в)

∫x arctg 2x dx.

г)

∫(x2 +1)cos(3x +1) dx.

д)

∫e−x cos 2x dx.

е)

∫ln2 x dx.

ж)

∫sin(ln x) dx.

з)

∫

ln x

dx.

3

x

и)

∫ arcsin x

dx .

к)

∫x23x dx.

1+ x

∫ arcsin

.

л)

x

м)

∫(3x +1)cos2 4x dx.

1− x

∫x2 ln(1+ x) dx.

о)

п)

∫ a2 + x2 dx .

Домашнее задание

3.2. Найти неопределенные интегралы:

а)

∫(x2 + 2x)cos 2x dx .

б)

∫e2x sin x dx .

в)

∫

x cos x

dx .

г)

∫arccos x dx .

sin2 x

д)

∫e

x

dx .

е)

∫xsin x cos x dx .

92

Ответы

3.1. а)

2x +3

e

4x

1

e

4x

+C.

б)

2

3

2

−

x 2

ln 4x −

+C.

4

8

3

3

в)

x2

arctg2x −

1

x +

1

arctg2x + C.

2

4

8

г)

x2 +1

sin(3x +1)+ 1 x cos(3x +1)−

2

sin(3x +1)+C.

3

9

27

x(ln2 x −ln x +1)+C;

д)

e−x

(2sin 2x −cos x)+C.

е)

2

x

(sin ln x

−cosln x)+C;

1

1

ж)

з)

−

ln x +

+C.

2

4x4

4

и) 2arcsin x

+ 4

+ C.

1+ x

1− x

к)

x2 3x

−

2x32

+

3x

+C.

ln 3

ln

2 3

ln3 3

л) −2arcsin

+ 4

+C.

x

1− x

x

м)

3

x2

+

x

+

3x +1

sin 8x +

3

cos8x +C.

4

2

6

144

н)

x3

ln(1+ x)−

x3

+

x2

−

x

+ln

x +1

+C.

3

9

6

3

о) x x2 + a2 + a2 ln

x + x2 + a2

+C.

3.2. а)

1 (x2

+ 2x)sin 2x + 1 (x +1) cos 2x −

1 sin 2x + C .

2

2

4

б)

2

e2x

sin x −

1 e2x cos x + C .

в)

x

x

+C .

−

+ln

tg

3

3

sin x

2

93

							д) 2e		(		−1) + C .
	г)	x arccos x − 1− x2 +C .						x
										x
	е)	1 sin 2x −	x	cos 2x +C .
			4
		8

Занятие 4

Интегрирование рациональных функций

Аудиторная работа

4.1. Записать разложение рациональной дроби на простейшие:

	а)	3x − 2	.		б)	4x + 5		.
		x3 − 2x2				(x2 +1)2 (x	−3)2
	в)	x2 + 2x + 2
				.
		(x2 + x +1)(x − 2)2

4.2. Найти неопределенные интегралы:

а)

∫

x3 −1

dx.

4x

3

− x

в)

∫

x6

− 2x4 + 3x3 −9x2 + 4

dx .

x5 −5x3 + 4x

д)

∫

x2 − x + 4

dx .

(x

+1)(x −2)(x

−3)

ж)

∫

dx

.

x(x2 +1)(x2 + 4)

и)

∫

6x4 −30x2 + 30

dx .

(x2

−1)(x + 2)

б)

г)

е)

з)

к)

∫				2x2 +		3	dx.
		x	4	−5x	2	+6
∫				dx				.
		x	3	+ 2x	2	+ 2x

∫x3 + 3 dx . x3 −8

∫x4 x+43−x1+1 dx .

∫x + 2 2 dx .x −1 x

94

Домашнее задание

4.3. Найти неопределенные интегралы

	а)	∫	6x4 − 21x2			+ 3x + 24		dx .
			(x2 + x −		2)(x +1)
	в)	∫	x2	− 6x +8		dx .
				x3 +8
	д)	∫		5x dx			.
			x4 + 3x2 − 4

Ответы

б)	∫			dx	.
				x3 + x2
г)	∫			9x −9				dx .
				(x +1)(x2		− 4x	+13)
е)	∫			2x4 −3x3		− 21x2 − 26			dx .
				(x + 3)(x2 −5x + 4)

4.2. а)

1 x +ln

x

−

7

ln

2x −1

−

9

ln

2x +1

+C.

4

16

16

б)

9

ln

3

− x

+

7

ln

2

− x

+C.

2 3

3 + x

2

2

2 + x

в)

x2

+ln

x

+

3

ln

x −1

+

1

ln

x +1

−ln

x −

2

+ln

x + 2

+

2

2

2

г)

1 ln

x

−

1 ln

x2 + 2x +

2

−

1 arctg(x +1)

+ C.

2

4

2

д)

1 ln

x +1

−2ln

x −2

+

5 ln

x −3

+C.

2

2

x +

11 ln

11 ln

11

1

е)

x +

x − 2

−

x2 + 2x + 4

−

arctg

+

8

16

8

3

3

ж) 14 ln x − 16 ln x2 +1 + 241 ln x2 + 4 +C.

з) x + 54 ln x −1 + 14 ln x +1 − 34 ln x2 +1 − arctgx + C.

C.

C.

95